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2016高考数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用试题 理 苏教版

时间:2015-12-03


第5讲
一、填空题

独立性、二项分布及其应用

1.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球.从箱中一次摸出两个球,记下 号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.现有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人 获奖的概率是________. 答案 96 625

2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败,第二次成 功的概率是________. 解析 设 A 为“第一次失败”,B 为“第二次成功”, 9 1 则 P(A)= ,P(B|A)= , 10 9 1 ∴P (AB)=P (A)P(B|A)= . 10 答案 1 10

3.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概 率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是________. 解析 设事件 A 发生的概率为 p,则 C4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,解得 p≥0.4. 答案 [0.4,1] 4.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊, 他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意 抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2.则 p1 和 p2 的大小关系是________. 1 ?10 ? ? 99 ?10 ? 9 801 ?5, 解析 p1=1-?1- ? =1-? ? =1-? ? ? 100? ?100? ?10 000?
1 3 2 2 2

p2=1-?

? C299 ?5=1-? 98 ?5,则 p <p . ? ?100? 1 2 ?C100? ? ?

2

答案 p1<p2 5.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为 1 向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率 2 是________. 解析 由于质点每次移动一个单位, 移动的方向为向上或向右, 移动五次后位于点(2,3), 所以质点 P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为

1

?1?2 3?1?5 2?1?5 5 3?1?3 C5? ? ·? ? =C5? ? =C5? ? = . ?2? ?2? ?2? ?2? 16
答案 5 16

6.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取 一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析 设种子发芽为事件 A, 种子成长为幼苗为事件 B(发芽, 又成活为幼苗)出芽后的幼 苗成活率为: P(B|A) = 0.8 , P(A) = 0.9. 根据条件概率公式 P(AB) = P(B|A)·P(A) = 0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 答案 0.72 3 4 7.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为 和 ,且各次射击相互独立.按甲、乙、甲?? 4 5 的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时甲射击了两次的概率 是________. 解析 停止射击时甲射击了两次,分两种情况:①甲未中、乙未中、甲命中的概率是

?1-3??1-4?×3= 3 ; ? 4?? 5? 4 80 ? ?? ? ? 3?? 4?? 3? 4 1 ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是?1- ??1- ??1- ?× = ,故甲射击 ? 4?? 5?? 4? 5 100
3 1 19 两次的概率为: + = . 80 100 400 答案 19 400

8.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合 1 的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是________. 2 解析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T, E 与 F 至少 有一个不闭合的事件为 R, 1 1 3 则 P(T)=P(R)=1- × = , 2 2 4 所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)= 答案 55 64 55 . 64

9.将一枚硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 解析 由题意知,正面可以出现 6 次,5 次,4 次,所求概率

2

6 5 6 4 6 P=C6 6? ? +C6? ? +C6? ? = 2 2 2

?1? ? ?

?1? ? ?

?1? ? ?

1+6+15 11 = . 64 32

答案

11 32

10.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续 正确回答出两 .. 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8, 且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率 等于________. 解析 记“该选手回答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5), 且 P(Ai)=0.8.选手恰 好回答了 4 个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错,第三、第四个问题必回 答对, ∴所求事件概率 P = P( A 2·A3·A4) = P( A 2)·P(A3)·P(A4) = (1 -0.8)×0.8×0.8= 0.128. 答案 0.128 二、解答题 11.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位): (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 解 设“5 次预报中恰有 2 次准确”为事件 A, “5 次预报中至少有 2 次准确”为事件 B, “5 次预报恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”为事件 C. 4?3 16 1 2?4? 2? (1)P(A)=C5? ? ?1- ? =10× × ≈0.05; 25 125 ?5? ? 5? 4?5 1 4? 4?4 0?4?0? (2)P(B)=1-C5? ? ?1- ? -C5× ?1- ? ≈0.99; 5? 5? ?5? ? 5? 4? 4?3 4 1 (3)P(C)=C4× ?1- ? × ≈0.02. 5? 5? 5 12.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解 记 A 表示事件:“该地的 1 位车主购买甲种保险”;

B 表示事件:“该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”; C 表示事件:“该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”; D 表示事件:“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”;
3

E 表示事件:“该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”,则
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B.

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
2 P(E)=C2 3×0.2×0.8 =0.384.

13.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同 意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人 1 投三类票中的任何一类票的概率都为 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果 3 中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为
2 3 3 P=C2 . 3? ? ? ? +C3? ? = ?3? ?3? ?3? 27

?1? ?2?

?1?

7

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形: “同意”票张数 事件 A 事件 B 事件 C 事件 D
3 P(A)=C3 , 3? ? = 3

“中立”票张数 0 0 1 1

“反对”票张数 3 2 1 2

0 1 1 0 1 27 1 9

?1? ? ? ?1? ? ?

3 P(B)=C1 3? ? = , 3

1 3 P(C)=C1 3C2? ? = , 3

?1? ? ?

2 9

3 P(D)=C1 3? ? = .∵A、B、C、D 互斥, 3

?1? ? ?

1 9

13 ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= . 27 14.投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予 以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审, 则再由第三位专家进行复审, 若能通过复审专家的评审, 则予以录用, 否则不予录用. 设 稿件能通过各初审专家评审的概率均 为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各

4

专家独立评审. (1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (2)求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率. 解 (1)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;

B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用.
则 D=A+BC.

P(A)=0.5×0.5=0.25, P(B)=C1 2×0.5×0.5=0.5, P(C)=0.3,P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)
=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40. (2)记 A0 表示事件:4 篇稿件中没有 1 篇被录用;

A1 表示事件:4 篇稿件中恰有 1 篇被录用; A2 表示事件:4 篇稿件中至少有 2 篇被录用. A2=A0+A1, P(A0)=(1-0.4)4=0.129 6,
3 P(A1)=C1 4×0.4×(1-0.4) =0.345 6,

P(A2)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)
=0.129 6+0.345 6=0.475 2,

P(A2)=1-P(A2)=1-0.475 2=0.524 8.

5


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