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选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解

时间:2016-01-21


人教版高二数学选修 1-1 双曲线及其标准方程练习题 一、选择题
1.平面内到两定点 E、F 的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( A.双曲线 B.一条直线 C.一条线段 ) D.两条射线 )

x2 y2 2.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1+k 1-k A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0

D.k>1 或 k<-1 )

3.动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都相外切,则动圆圆心的轨迹为( A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线

x2 y2 4.以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是 3 4 x2 A. -y2=1 3 x2 B.y2- =1 3 x2 y2 C. - =1 3 4 ) y2 x2 D. - =1 3 4

5.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线的两个焦点为 F1(- 5, 0)、 F2( 5, 0), P 是此双曲线上的一点, 且 PF1⊥PF2, |PF1|· |PF2| =2,则该双曲线的方程是( x y A. - =1 2 3
2 2

) x2 2 C. -y =1 4 y2 D.x - =1 4
2

x y B. - =1 3 2

2

2

x2 y2 x2 y2 7.椭圆 + 2=1 与双曲线 2- =1 有相同的焦点,则 m 的值是( 4 m m 2 A.± 1 x2 y2 A. - =1 9 7 x2 y2 x2 y2 C. - =1 或 - =1 9 7 7 9 B.1 C.-1 D.不存在

)

8.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1、F2 距离之差为 6,则曲线方程为( x2 y2 B. - =1(y>0) 9 7 x2 y2 D. - =1(x>0) 9 7

)

9.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( A.16 ) B.18 C.21 D.26

x2 y2 x2 y2 10.若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0,b>0)有相同的焦点,P 是两曲线的一个交点, m n a b 则|PF1|· |PF2|的值为( A.m-a ) C.m2-a2 D. m- b

B.m-b

1

二、填空题
11.双曲线的焦点在 x 轴上,且经过点 M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是________. x2 y2 12.过双曲线 - =1 的焦点且与 x 轴垂直的弦的长度为________. 3 4 x2 y2 x2 y2 13.如果椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 的焦点相同,那么 a=________. 4 a a 2 14. 一动圆过定点 A(-4,0), 且与定圆 B: (x-4)2+y2=16 相外切, 则动圆圆心的轨迹方程为________.

三、解答题
x2 y2 15.设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4, 27 36 求此双曲线的方程.

y2 → → 16.已知双曲线 x2- =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且MF1· MF2=0,求点 M 到 x 轴的距离. 2

2

人教版高二数学选修 1-1 双曲线及其标准方程练习题答案及详解
1、D 2、A 由题意得(1+k)(1-k)>0,∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1. 3、A 设动圆半径为 r,圆心为 O,x2+y2=1 的圆心为 O1,圆 x2+y2-8x+12=0 的圆心为 O2, 由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4,

由双曲线的定义知,动圆圆心 O 的轨迹是双曲线的一支. x2 4、B 由题意知双曲线的焦点在 y 轴上,且 a=1,c=2, ∴b2=3,双曲线方程为 y2- =1. 3 5、C ab<0?曲线 ax2+by2=1 是双曲线,曲线 ax2+by2=1 是双曲线?ab<0. 6、C ∵c= 5,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|=4c2, ∴4a2=4c2-4=16,∴a2=4,b2=1. 7、A 验证法:当 m=± 1 时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. 对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当 m=± 1 时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,故 4-m2=m2+2.∴m2=1,即 m=± 1. 8、D 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,其方程为: x2 y2 - =1(x>0) 9 7 9、D |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 10、A 设点 P 为双曲线右支上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2 m, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2 a.∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a,∴|PF1|· |PF2|=m-a. x2 y2 11、 - =1 7 7 3 5 8 3 12、 ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c= 7,该弦所在直线方程为 x= 7, 3

? ?x= 7 由?x2 y2 ? ? 3 - 4 =1

16 4 3 8 3 得 y2= ,∴|y|= ,弦长为 . 3 3 3

13、1 由题意得 a>0,且 4-a2=a+2,∴a=1. 14、 x2 y2 - =1(x≤-2) 4 12 设动圆圆心为 P(x,y),由题意得|PB|-|PA|=4<|AB|=8,

由双曲线定义知,点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,且 2a=4,a=2 的双曲线的左支. x2 y2 其方程为: - =1(x≤-2). 4 12 x2 y2 y2 x2 15、椭圆 + =1 的焦点为(0,± 3),由题意,设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), 27 36 a b

3

x2 y2 y2 x2 16 15 2 又点 A(x0,4)在椭圆 + =1 上,∴x0 =15,又点 A 在双曲线 2- 2=1 上,∴ 2 - 2 =1, 27 36 a b a b y2 x2 又 a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5,所求的双曲线方程为: - =1. 4 5 16、解法一: → → 设 M(xM,yM),F1(- 3,0),F2( 3,0),MF1=(- 3-xM,-yM),MF2=( 3-xM,-yM) → → ∵MF1· MF2=0,∴(- 3-xM)· ( 3-xM)+y2 M=0,
2 y2 yM 2 又 M(xM,yM)在双曲线 x - =1 上,∴xM- =1, 2 2 2 2 ? ?(- 3-xM)( 3-xM)+yM=1 2 3 解? 2 y2 得 yM=± , M 3 ?xM- 2 =1 ?

∴M 到 x 轴的距离是|yM|=

2 3 . 3

→ → 解法二:连结 OM,设 M(xM,yM),∵MF1· MF2=0, 1 ∴∠F1MF2=90° ,∴|OM|= |F1F2|= 3, 2
2 ∴ x2 M+yM= 3①

y2 M 2 又 xM - =1② 2 ∴M 到 x 轴的距离是|yM|= 2 3 . 3

2 3 由①②解得 yM=± , 3

4


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