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6.轨迹方程.交轨法

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第六讲:轨迹方程.交轨法

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第六讲:轨迹方程.交轨法
若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变 量?设出这个变量为 t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数 t,化简整理即得动点的轨迹方程,这 种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

一.解析形式 例 1:(2003 年新课程高考试题)己知常数 a>0,向量 c=(0,a),i=(1,0),经过原点 O,以 c+λ i 为方向向量的直线与经过定
点 A(0,a),以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R,试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若 存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.

解析:(Ⅰ)由 c=(0,a),i=(1,0) ? c+λ i=(λ ,a),i-2λ c=(1,-2λ a) ? 直线 OP、AP 的方程分别为λ y=ax、y-a=-2λ ax,
x2 消去参数λ ,得点 P(x,y)的坐标满足 y(y-a)=-2a x ,即 ? 1 8
2 2

a ( y ? )2 2 =1.①当 a= 2 时,点 P 的轨迹为圆,故不存在满足题 a 2 2 ( ) 2

意的定点;②当 a≠

2 时,点 P 的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意. 2

类题:
1.(2011 年安徽高考试题)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (Ⅰ)证明 l1 与 l2 相交; (Ⅱ)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1 上. 2.(2005 年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数 a>0,向量 p=(1,0),q=(0,a),经过定点 M(0,-a),方向向量为λ p+q 的直线与经过定点 N(0,a),方向向量为 p+2λ q 的直线相交于点 R,其中λ ∈R. (Ⅰ)求点 R 的轨迹方程; (Ⅱ)设 a=
2 ,过 F(0,1)的直线 l 交点 R 的轨迹于 A、B 两点,求 FA ? FB 的取值范围. 2
2 2

二.平几形式 例 2:(2013 年福建高考试题)如图,在正方形 OABC 中,
O 为坐标原点,点 A 的坐标为(10,0),点 C 的坐标为(0, 10),分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2, …,A9 和 B1,B2,…,B9,连接 OBi,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N+,1≤i≤9). O C

y B Bi B1 A1 Ai A x

(Ⅰ)求证:点 Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过点 C 作直线 l 与交抛物线 E 于不同的两点 M、N,若△OCM 与△OCN 的面积比为 4:1,求直线 l 的方程.

解析:(Ⅰ)因 Bi(10,i) ? 直线 OBi:y=

i i2 2 x;直线 AiPi:x=i ? Pi(i, ) ? 点 Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线 E:x =10y 上; 10 10

(Ⅱ)设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l:y=kx+10;由 ?

? y ? kx ? 10 2 ? x -10kx-100=0 ? x1+x2=10k,x1x2=-100;因△OCM 与△OCN 的面 2 x ? 10 y ?
2

积比为 4:1 ? |x1|=4|x2|(x1x2<0) ? x1=-4x2 ? -3x2=10k,-4x2 =-100 ? k= ?

3 3 ? 直线 l 的方程:y= ? x+10. 2 2

类题:
1.(1983 年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形 OABC 的边 长 OA=a,CO=b,点 D 在 AO 的延长线上,OD=a,设 M、N 分别是 OC、BC 边上的动点,使 OM:MC=BN:NC≠0,求直线 DM 与 AN 的交点 P 的轨迹方 程,并画出图形. D C M O y N P A x B

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2.(2003 年大纲卷高考试题)己知常数 a>0,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=4a, O 为 AB 的中点.点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且
BE CF DG , ? ? BC CD DA

第六讲:轨迹方程.交轨法
y D G A F P O C E B x

P 为 CE 与 OF 的交点(如图)问是否存在两个定点,使 P 到这两点的距离的 和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

三.解析条件 例 3:(2004 年全国高中数学联赛山东预赛试题)设 A1、A2 是椭圆
的弦,直线 A1P1 与 A2P2 的交点为 P.则点 P 的轨迹的方程是
x2 a
2

+ .

y2 b2

=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2 是垂直于长轴

解析:设点 P1 的坐标为(m,n),则有 P2(m,-n),A1P1 所在直线的方程为 y=
两式相乘,并利用
m2 a
2

n ?n (x+a),A2P2 所在直线的方程为 y= (x-a), m?a m?a

+

n2 b
2

=1 消去 m、n 有

x2 a
2

-

y2 b2

=1.

类题:
1.(1990 年上海高考试题)己知点 P 在直线 x=2 上移动,直线 l 过原点且与 OP 垂直,通过点 A(1,0)及点 P 的直线 m 与直线 l 交于点 Q,求点 Q 的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标. 2.(1986 年全国高考试题)已知两点 P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为 2 的线段 AB 在直线 L 上移动,求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).

四.曲线条件 例 4:(2012 年辽宁高考试题)如图,
动圆 C1:x +y =t ,1<t<3,与椭圆 C2:
x2 2 +y =1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1, 9
2 2 2

A2 分别为 C2 的左,右顶点. (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取 得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

解析:(Ⅰ)设 D(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 x0 +y02=1,矩形 ABCD 的面积 S=4x0y0 ? S2=16x02y02=16x02(19

2

16 9 2 x0 2 2 )=- (x0 - ) +36, 9 2 9

当 x0 =

2

9 1 9 1 2 2 2 2 时,S 取得最大值 6,此时,y0 = ? t =x0 +y0 = + =5 ? t= 5 ; 2 2 2 2
b b a2 2 2 +b =1;直线 AA1:y= (x+3),A2B:y=(x-3),两式相乘得:y = a?3 a?3 9

(Ⅱ)由 A1(-3,0),A2(3,0),设 A(a,b),则 B(a,-b),且 b2 a ?9
2

(x -9) ? y =

2

2

1 x2 x2 2 2 2 (x -9) ? -y =1;由-3<a<0,0<b<1 ? x<-3,y<0 ? M 的轨迹方程: -y =1(x<-3,y<0). 9 9 9

类题:
1.(2010 年广东高考试题)已知双曲线 点. (Ⅰ)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (Ⅱ)若过点 H(O,h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1⊥l2,l1 求 h 的值. 2.(2012 年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
x2 a
2

x2 2 -y =1 的左、 右顶点分别为 A1,A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动 2

+

y2 b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).

第六讲:轨迹方程.交轨法
已知(1,e)和(e,
3 )都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2

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y A P B

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1-BF2=
6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

F1

O

F2

x

(ii)求证:PF1+PF2 是定值.

五.动弦上点 例 5:(2005 年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图,
过原点 O 作抛物线 y =2px(p>0)的两条互相垂直的弦 OA、OB,再作∠AOB 的平分线交 AB 于 C. 求点 C 的轨迹方程. O
2

y A C B x

解析:设 A(2pa2,2pa)(a>0),B(2pb2,2pb)(ab≠0),由 OA⊥OB
? ab=-1 ?
| OA | 2 p | a | a 2 ? 1 | AC | | OA | | a |3 a 2 ? 1 3 3 3 = = =|a| ,由 OC 平分∠AOB ? = =|a| ? AC =|a| CB ,设 C(x,y), | OB | 2 p | b | b 2 ? 1 | ab | (ab) 2 ? a 2 | CB | | OB |

则 x-2pa =a (2pb -x),y-2pa=a (2pb-y) ? x= (

2

3

2

3

2 pa2 (ab2 ? 1) 1? a
3

=

2 pa(a ? 1) 1? a
3

,y=

2 pa(1 ? a) 1? a
3

?

x 1? a x? y = ? a= ? y[1+ y 1? a x? y

x? y 3 x? y x? y 2 2 2 2 ) ]=2p ( +1) ? y(x +3y )=2p(x -y ). x? y x? y x? y

类题:
1.(2008 年北京、安徽春招试题)设点 A 和 B 为抛物线 y =4px(p>0)上原点以外的两个动点,己知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 2.(2007 年天津高考试题)设椭圆 C: 线 AF1 的距离为 |OF1|. (Ⅰ)证明:a= 2 b; (Ⅱ)设 Q1、Q2 为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD,垂足为 D,求点 D 的轨迹方程.
1 3
x2 y2 ? =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点 O 到直 a2 b2
2

六.动弦交点

例6:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0),
D在双曲线x -y =1的左支上,D≠A,直线CD交双曲线x -y =1的右支于点E,求证: 直线AD与BE的交点P在直线x=
1 上. 2
2 2 2 2

y P

A D

B

C x

解析:设 D(x1,y1)(x1<0),E(x2,y2)(x2>0),直线 DE:y=k(x-2);
由?

? y ? k ( x ? 2) 1 4 1 4k 2 4k 2 ? 1 2 2 2 2 ,x1x2= 2 = (x1+x2)-1, ? (1-k )x +4k x-4k -1=0(k≠ ? 1) ? x1+x2= 2 ? x1+x2=4+ 2 ? 2 2 2 x ? y ? 1 k ?1 k ?1 4 k ?1 k ?1 ? 4k 2 k 2 ?1

x1x2=

+

1 k 2 ?1

=(x1+x2)+

1 5 y k ( x ? 2) y (x1+x2)-1= (x1+x2)-1;直线 AD:y= 1 (x+1)= 1 (x+1),直线 BE:y= 2 (x-1)= 4 4 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

k ( x 2 ? 2) k ( x ? 2) k ( x 2 ? 2) x ? 2 x2 ? 2 x ?2 (x-1) ? 直线 AD 与 BE 交点 P 的横坐标 x 满足: 1 (x+1)= (x-1) ? ( 1 )x=-( 1 + x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

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5 ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 3x1 ? x2 1 x2 ? 2 2 x1x2 ? 3x1 ? x2 ) ? x==- 2 = . 2 x2 ? 1 x1 ? 3x2 ? 4 x1 ? 3x2 ? 4

第六讲:轨迹方程.交轨法

类题:
1.(2011 年四川高考试题)(文)过点 C(0,1)的椭圆 B(-a,0),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于 点 Q. (Ⅰ)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值. 2.(2011 年四川高考试题)(理)椭圆有两顶 点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交与 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ)当|CD|=
3 2
2

x2 y2 3 ? ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0), a 2 b2 2

y C B O P D y D C A O B P x A x Q

时,求直线 l 的方程;

(Ⅱ)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值.


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