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2013学年秀全中学广州市高二数学学业水平测试模拟试卷

时间:2013-12-16


2013 学年度秀全中学高二数学学业水平测试模拟题
满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置 上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以 上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U = {a,b,c,d,e},集合 A = {a,b,c,d},B = {d , e},则集合 A ? B = (A){d} (B){ a ,b} (C){b ,c ,d} (D){a,b,c,d,e}

2.2sin15° cos15° 的值等于 (A) 0 (B)

3 2

(C) 1

(D)

1 2

2) 4) 3.、已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a∥b ,则 x ?
(A) ?

?

?

?

?

1 2

(B)

1 2

(C) ? 2

(D)2

4.同时转动如图 2 所示的两个转盘,记转盘(甲)得 到的数为 x ,转盘(乙)得到的数为 y ,则事件

1 4 5

2 3

1 4 5

2 3

x ? y ? 6 的概率为
(A)

(甲) (C)

图 2 (乙)

3 4

(B)

5 16

3 8

(D)

3 16
3 3
正视图 2 2 侧视图 2

5. 下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位: cm ), 可知几何体的表面积是 A. 18 ? 2 3 cm C. 18 ? 3 cm
2
2

21 3 cm 2 2 2 D. 6 ? 2 3 cm
B.
俯视图

2

1

6.在 ?ABC 中,若 A ? 120 ? ,AB = 5,BC = 7,则 ?ABC 的面积 S 为 (A)

5 3 2

(B)

15 3 4

(C)

15 3 8

(D)

5 3 8

2 2 7. 已知圆 C : x ? y ? 1 ,点 A( ? 2,0 ) 及点 B (2, a ) ,若直线 AB 与圆 C 没有公共点, 则 a 的

取值范围是 (A) (??,?1) ? (1,??) (B) (??,?2) ? (2,??)

(C) (??,?

4 3 4 3 )?( ,??) 3 3

(D) (??,?4) ? (4,??)

8.以下给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序框图如图 3 , 开始 ? ? ??? 2 4 6 20
(B) i ? 10 (D) i ? 20 s: = 0 n: = 2 i:=1 是 否 1 s: = s + n n:= n +2 i: = i +1

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 10 (C) i ? 20

输出 s 结束

图4 图3 9.将棱长相等的正方体按图 4 所示的形状摆放,从上往下依次为第 1 层,第 2 层,…… , 则第 20 层正方体的个数是 (A) 420 10.已知函数 f ( x) ? a
x

(B) 440

(C) 210

(D) 220

(a ? 0 且 a ? 1) 在区间 [ ? 2,2 ] 上的最大值不大于 2 ,

2

则函数 g (a) ? log 2 a 的值域是(

(A) (??,? ) ? (0, ] (B) [?

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 ,0) ? (0, ] (C) [? , ] (D) [? ,0) ? [ ,??) 2 2 2 2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 12.一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中 x,y∈N*) 分/组 频 数 [10,20) 2 [20,30) x [30,40) 3 [40,50) [50,60) y . 2 [60,70) 4

则样本在区间 [10,50 ) 上的频率为 13.非负实数 x, y 满足 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 则 x + 3 y 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0

,最小值为

14.已知点 P( x, y ) 在曲线 y ?

1 上运动,作 PM 垂直于 x 轴于 M ,则 ?OPM (O 为坐标原点)的 x

周长的最小值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ?

?
6

) ,其中 x ? R .

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求 f (x) 的递增区间.

16. (本小题满分 12 分) 柜子里有 2 双不同的鞋,随机地取出 2 只,求下列事件的概率. (1)取出的鞋不成对; (2)取出的鞋都是同一只脚的.
P

17. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示 ,四棱锥 P – ABCD 的底面为一直角梯形, BA⊥AD, CD⊥AD,CD = 2AB,PA ⊥ 底面 ABCD ,
D C E

E 为 PC 的中点 . (1)证明:EB ∥ 平面 PAD ; (2)若 PA = AD ,证明:BE ⊥平面 PDC.
A B

3

18. (本小题满分 14 分) 设 O 为坐标原点,曲线 x2 + y2 +2x-6y + 1 = 0 上有两点 P、Q ,满足关于直线 x + my + 4 = 0 对 称,又满足 OP · OQ = 0 . (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.

19. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?a n ?共有 m 项 ( m ≥ 3 ),且各项均为正数, a1 = 1, a1 + a 2 + a 3 = 7. (1)求数列 ?a n ?的通项 a n ; (2)若数列 ?bn ? 是等差数列,且 b1 = a 1,bm = a m,判断数列 ?a n ? 前 m 项的和 S m 与数列

1? ? ?bn ? ? 的前 m 项和 Tm 的大小并加以证明. 2? ?

20. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,(a>b>c), 且 f (1) = 0 ,
2

g (x) = ax + b .

(1)求证:函数 y = f (x) 与 y = g (x) 的图象有两个交点; (2)设 f (x) 与 g (x) 的图象交点 A、B 在 x 轴上的射影为 A1、B1,求|A1B1|的取值范围; (3)求证:当 x ≤ - 3 时,恒有 f (x) > g (x) .

4

2013 学年度秀全中学高二数学学业水平测试模拟试卷 参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
题 号 答 案 1 A 2 D 3 D 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B

二、填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) (
11、 669 12、 0.7 13、 9 , 0 14、

2? 2

三、解答题: 本大题共 6 个小题,共 80 分) (
15、解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

……2 分

?

1 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 2 2 3 3

? sin(2 x ?

?
3

) 2? ?? 2 ? 2k? ? 2 x ?

……5 分 ……7 分

∴最小正周期 T = (2)由题意,解不等式 ? 得

?

?
3

5? ? k? (k ? Z ) 12 12 ? 5? ? f (x) 的递增区间是 [? ? k? , ? k? ]( k ? Z ) 12 12 ? ? k? ? x ?
16、 (1)解:设两双鞋用 ( A1 , A2 ), ( B1 , B2 ) 表示 则基本事件有 ( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( B1 , B2 ) 取出的鞋不成对的事件有 ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ) 所求的概率是

?

2

?

?
2

? 2k?

…9 分



… 12 分 1分 5分 7分 9分 11 分

4 2 ? 6 3

(2)取出的鞋是同一足脚的事件有 ( A1 , B1 ), ( A2 , B2 )

5

所求的概率是

2 1 ? 6 3

12 分 ……1 分 ……3 分

17、证明: (1)取 PD 中点 Q,连 EQ、AQ, 则 ∵QE∥CD,CD∥AB,∴QE∥AB, 又 QE ?

1 CD ? AB 2

则ABEQ是平行四边形,? BE ∥AQ
? BE ∥平面 PAD
…6 分

又 AQ ? 平面PAD

P
Q

(2)PA⊥底面 ABCD ∴CD⊥PA,又 CD⊥AD … 8 分 ∴CD⊥平面 PAD 若 PA=AD, ∴Q 为 PD 中点,∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面 PCD … … 12 分 ∵BE∥AQ, ∴BE⊥平面 PCD ∴AQ⊥CD … … 10 分
D H

E C
G

A

B
… … 14 分

18、解: (1)曲线方程为(x+1)2 +(y-3)2 = 9 表示圆心为(-1,3) ,半径为 3 的圆. 2 分 ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x + my + 4 = 0 对称, ∴圆心(-1,3)在直线上. 代入得 m = -1. (2)∵直线 PQ 与直线 y = x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,PQ 方程为 y = -x+b. 将直线 y = -x+b 代入圆方程,得 2x2 +2(4-b)x + b2-6 b + 1 = 0. Δ = 4(4-b)2-4× (b2-6b+1)>0,得 2-3 2 <b<2+3 2 . 2× … … 5 分 … … 7 分 … … 9 分 … … 10 分 … … 11 分 … … 4 分

b 2 ? 6b ? 1 . 2 b 2 ? 6b ? 1 ∴ y1·2=b2-b(x1+x2)+x1·2= y x +4b. 2
由韦达定理得 x1+x2 = -(4-b) 1·2= ,x x

OQ ∵ OP · =0,
即 b2-6b+1+4b=0.

∴x1x2+y1y2=0, … … 12 分 … … 13 分 … … 14 分

解得 b =1 ∈(2-3 2 ,2+3 2 ). ∴ 所求的直线方程为 y = -x+1. 19、解: (1)设等比数列 ?a n ?的公比为 q,则 1+q+q2=7,
6

∴q = 2 或 q = -3, ∵ ?a n ?的各项均为正数,∴ q = 2 所以 a n = 2 n?1 … . (2)由 a n = 2 n?1 得 S m ? 2 ? 1 .
m

……2 分 ……4 分 …5 分

……6 分


数列 ?bn ? 是等差数列,b1=a1=1,bm=am=2m 1, 而 Tm= (b1-

1 1 1 1 m )+(b2- )+(b3- )+……+(bm- )=(b1+b2+b3+……+bm)- 2 2 2 2 2
……9 分

=

1 ? 2 m ?1 m 2 m ?1 m- = m=m· m ? 2 2 2 2 2

∵Tm-Sm= m· m ? 2 -( 2 m -1)=(m-4) 2 m ? 2 +1, 2 ∴ 当 m = 3 时,T3 - S3 = -1,∴T3 < S3. ∴ 当 m ≥ 4 时,Tm > Sm.

……11 分

……14 分

20、 (本小题主要考查函数的性质等有关知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力.) (1)证明:由 y = f (x )= ax2+bx+c y = g (x) = ax+b 得 ax2+(b-a)x+(c-b) = 0 …………… (*) Δ = (b-a)2-4a (c-b) ∵ f(x) = ax2+bx+c, f(1)=0 ∴ f(1) = a+b+c=0 ………………3 分

又 a>b>c ∴3a>a+b+c>3c 即 a>0,c<0 ∴b-a<0,c-b<0,a>0 ∴Δ = (b-a)2-4a(c-b)>0 故函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点; ………………5 分

(2)解:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 , 则 x1、x2 是方程(*)的两根 故 x1+x2=-

b?a c?b , x1x2= , a a

所以|A1B1|=|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
7

(b ? a) 2 ? 4a(c ? b) b?a 2 c?b = ( = ) ?4 a a a
又 a + b + c = 0,故 b = -(a+c) 因而 (b-a)2-4a (c-b) = (-2a-c)2-4a (a+2c) = c2-4ac 故|A1B1|=

c 2 ? 4ac c c c = ( ) 2 ? 4( ) = ( ? 2) 2 ? 4 a a a a
∴a >-(a+c)>c ∴-2<

……………… 8 分

∵a>b>c, a + b + c = 0 ∴|A1B1|的取值范围是(

c 1 <- 2 a

3 ,2 3 ) ……………… 10 分. 2 3 (3) 证明:不妨设 x1>x2,则由(2)知: <x1-x2<2 3 ……… ① 2 b?a b c b b c x1+x2=- =1- 由 a>b>c 得: < <1, 故 0<1- <1- …… 12 分 a a a a a a c 1 3 c b 3 3 又-2< <- , 故 <1- <3, 因而 0<1- ≤ 即 0< x1 + x2 ≤ …② 2 2 2 a a a 2
由①、②得:- 3 <x2≤0, 即方程(*) ,也就是方程 f(x)-g(x)=0 的较小根的范围是(- 3 ,0]. 又 a>0,故当 x ≤- 3 时, f(x)-g(x)>0 恒成立, 即当 x ≤- 3 时,恒有 f(x)>g(x) …… 14 分

8


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