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2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6节二次函数与幂函数课件新人教A版_图文

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第6节 二次函数与幂函数 最新考纲 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数特 征性质 定义域 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 {x|x∈R,且 x≠0} {y|y∈R,且 y≠0} 奇 R R R [0,+∞) 值域 奇偶性 R 奇 [0,+∞) 偶 R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为 (m,n) . 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) ?4ac-b2 ? ? ,+∞? 4 a ? ? (-∞,+∞) ? 4ac-b2? ?-∞, ? 4 a ? ? ? b? 在?-∞,-2a?上单调递 ? ? 在 ? b? ?-∞,- ? 2a? ? 上 单调性 在 减; ? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? 单调递增; 上单 ? ? b ? 在 -2a,+∞?上单调 ? ? 调递增 对称性 递减 b 函数的图象关于 x=- 对称 2a (3)二次函数的零点的分布问题 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)两个零点为 x1, x2 的分布情况如 下表 (只讨论 a>0 的情况,a<0 时可变形为 a>0 的情况): 根的分布(m<n<p<s 为常数) 图象 满足的条件 x1<x2<m ?Δ>0 ? b ?-2a<m ? ?f?m?>0 m<x1<x2 ?Δ>0 ? b ?-2a>m ? ?f?m?>0 x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n ?Δ>0 ? ?m<- b <n 2a ? ?f?m?>0 ?f?n?>0 ? f?m?>0 ? ? ?f?n?<0 ? ?f?p?>0 m<x1<n<x2<p 只有一根在(m,n)之 间 ? ?Δ=0 ? b m<-2a<n ? ? 或 f(m)· f(n)<0 m<x1<n p<x2<s ?f?m?>0 ?f?n?<0 ? ?f?p?<0 ?f?s?>0 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2 ? ?a>0, +bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是? ? ?Δ<0. ? ?a<0, +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是? ? ?Δ<0. (2)ax 2 [思考辨析] 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”, 错误的打“×”. (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( (3)当 n<0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数.( ) ) (4) 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c , x ∈ [m , n] 的 最 值 一 定 是 4ac-b2 4a .( ) (5) 关 于 x 的 不 等 式 ax2 + bx + c>0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ? ?a>0, ? 2 ?b -4ac<0. ? ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× [小题查验] 1.(导学号 14576123)(2018· 济南市诊断)已知幂函数 f(x)=k· xα 的 ?1 图象过点? , ?2 2? ?,则 k+α=( 2? ) B.1 D.2 ?1? k=1.又 f?2?= ? ? ?1?α 2 2 ? ? 2 ,所以?2? = 2 , 1 A.2 3 C. 2 解析:C [由幂函数的定义知 1 3 解得 α=2,从而 k+α=2.] 2.(导学号 14576124)下面给出 4 个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是( ) 解析:B [图象①对应的幂函数的幂指数必然大于 1,排除 A, D.图象②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶数,排除 C.故选 B.] 3. (导学号 14576125)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 C.m=-1 ) B.m=2 D.m=1 m 解析:A [函数 f(x)=x2+mx+1 的图象的对称轴为 x=- 2 ,且 m 只有一条对称轴,所以- 2 =1,即 m=-2.] 4.(北师大版教材习题改编)二次函数的图象与 x 轴只有一个交 点 , 对 称 轴 为 x = 3 , 与 y 轴 交 于 点 (0,3) . 则 它 的 解 析 式 为 __________ . 1 2 答案:y=3x -2x+3 2 ? ?m -3m+3=1 解析:由? 2 ? ?m -m-2≤0 ,解得 m=1 或 2. 经检验 m=1 或 2 都适合. 答案:1 或 2 考点一 幂函数的图象与性质(自主练透) 1.(导学号 14576127)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( ) 1 1 解析:C [令 f(x)=x ,则 4 =2,∴α=2,∴f(x)=x2.] α α 解析:分别作出 f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示,由图可知 h(x)>g(x)>f(x). 答案:h(x)>g(x)>f(x) A.-3 C.2 B.1 D.1 或 2 解析:B [由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1, 解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B.] ?2 3? 答案:(-∞,-1)∪?3,2? ? ? (1)幂函数的形式是 y=xα(α∈R),其中

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