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2018年高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题试题理

时间:2017-10-29

专题突破练(6)
一、选择题

圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题
2

1.设 AB 为过抛物线 y =2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( A.

)

p
2

B.p C.2p

D.无法确定

答案 C 解析 当弦 AB 垂直于对称轴时|AB|最短,这时 x= ,∴y=±p,|AB|min=2p. 2 2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+ 4 12 |PA|的最小值为( 答案 D 解析 注意到 P 点在双曲线的右支上,且双曲线右焦点为 F′(4,0),于是由双曲线定义 得|PF|-|PF′|=2a=4,故|PF|+|PA|=2a+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=9,当且仅当 A、 ) A.4 B.6 C.8 D.9

p

x2

y2

P、F′三点共线时等号成立.
3.[2016?哈三中模拟]直线 l 与抛物线 C:y =2x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 2 直线 OA,OB 的斜率 k1,k2 满足 k1k2= ,则 l 一定过点( 3 A.(-3,0) B.(3,0) C.(-1,3) D.(-2,0) 答案 A 解析 设直线 l 的方程为 x=my+b,联立直线和抛物线的方程得?
?x=my+b, ? ? ?y =2x,
2 2

)

整理得

y2-2my-2b=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-2b,y1+y2=2m,故 y1y2 x1x2=(my1+b)?(my2+b)=m2y1y2+mb(y1+y2)+b2=-2bm2+2bm2+b2=b2.因为 k1k2= = x1x2
-2b 2 = ,解得 b=-3,故 l 的横截距为定值-3,即 l 一定过点(-3,0). b2 3 4.[2016?贵州遵义联考]设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点, 10 即 P,Q 两点间的最大距离是( A.5 2 答案 C 解析 解法一:设 Q(x,y),-1≤y≤1. 因为圆 x +(y-6) =2 的圆心为 T(0,6),半径 r= 2, 则|QT|= x +?y-6? = 10?1-y ?+?y-6? = 2 =- 时取等号,所以|PQ|max=5 2+ 2=6 2.故选 C. 3
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

) D.7+ 2

B. 46+ 2

C.6 2

? 2?2 -9?y+ ? +50≤5 2,当 y ? 3?

1

解法二:设 Q( 10cosθ ,sinθ ),圆心为 M,由已知得 M(0,6), 则|MQ|= ? 10cosθ -0? +?sinθ -6?
2 2

= 10cos θ +sin θ -12sinθ +36 = -9sin θ -12sinθ +46 = 2?2 ? -9?sinθ + ? +50 3? ?
2

2

2

≤5 2

?当sinθ =-2时取等号?, ? ? 3 ? ?
故|PQ|max=5 2+ 2=6 2. 5.[2016?贵阳摸底]已知椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且 4 3 直线 PA2 的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 的斜率的取值范围是( )

x2 y2

?1 3? A.? , ? ?2 4?
答案 B

?3 3? B.? , ? ?8 4?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

?3 ? D.? ,1? ?4 ?

解析 解法一: 设 P(x, y), 直线 PA1, PA2 的斜率分别为 k1, k2, 易知 A1(-2,0), A2(2,0), 3?1- ? y y y 3 3 ? 4? 则有 k1k2= ? = = 2 =- , 因为-2≤k2≤-1, 所以 k1>0 且-2≤- ≤ x+2 x-2 x2-4 x -4 4 4k1
2

?

x2?

3 3 3 -1,即 1≤ ≤2,解得 ≤k1≤ .故选 B. 4k1 8 4 解法二:设直线 PA2 的斜率为 k2,令 k2=-1,则直线 PA2 的方程为 y=-(x-2),代入 2 ?2 12? 2 椭圆方程并整理得 7x -16x+4=0,解得 x1=2,x2= ,从而可得点 P 的坐标为? , ?,于 7 ?7 7 ? 12 -0 7 3 3 是直线 PA1 的斜率 k1= = .同理,令 k2=-2,可得 k1= .结合选项知,选项 B 正确. 2 4 8 +2 7 6.[2016?山西运城调研]已知 A,B 为抛物线 y =2px(p>0)上的两动点,F 为其焦点,
2
2

且满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 N,|MN|=λ |AB|,则 λ 的最大值为( 2 3 A.1 B. 3 答案 A 解析 过点 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 D,C,因为 M 为线段 AB 的中点,BC∥AD, 1 1 所以|MN|= (|BC|+|AD|),又因为|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,所以|MN|= (|BF|+|AF|), 2 2 又 |MN| = λ |AB| ,所以 2λ |AB| = |AF| + |BF| ,两边平方得 4λ |AB| = |AF| + |BF| + 2|AF||BF|,即 4λ =
2 2 2 2 2 2 2

) C. 3 3 D.2

|AF| +|BF| +2|AF||BF| 2 2 .在△ABF 中,由余弦定理得|AB| =|AF| + 2 |AB|
2 2 2 2

2

2

|BF| - 2|AF||BF|?cos60° , 即 |AB| = |AF| + |BF| - |AF||BF| , 所 以 4λ



|AB| +3|AF||BF| 2 2 2 ,由|AB| =|AF| +|BF| -|AF||BF|≥2|AF||BF|-|AF||BF|=|AF||BF|, 2 |AB| 故 |AB| ≥|AF||BF| ,所以 4λ =
2 2

|AB| +3|AF||BF| |AB| +3|AB| ≤ = 4 ,因为 λ >0 ,所以 2 2 |AB| |AB|

2

2

2

0<λ ≤1,故 λ 的最大值为 1.故选 A.

二、填空题 7.已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P 在双曲线的右支上,点 M(m,0)到 直线 AP 的距离为 1,若 AP 的斜率为 k 且|k|∈? 2 3? ?2 3 ? ? 答案 ?-1,1- ?∪? +1,3? 3 ? ? 3 ? ? |mk-k| 解析 直线 AP 的方程为 y=k(x-1),k≠0,即 kx-y-k=0,由 =1,得|m-1| 2 1+k = 1 ? 3 ? 1+ 2.∵|k|∈? , 3?, k ?3 ? ∴ 2 3 ≤|m-1|≤2, 3

? 3 ? , 3?,则实数 m 的取值范围是________. ?3 ?

3

2 3? ?2 3 ? ? 解得 m∈?-1,1- ?∪? +1,3?. 3 ? ? 3 ? ? 8.过抛物线 y =8x 上的任意一点为圆心作与直线 x+2=0 相切的圆,这些圆必过一定 点,则定点的坐标是________. 答案 (2,0) 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),准线 l 的方程为 x=-2,即 x+2=0,又抛物线上任意 一点到 F 与到准线 l 的距离相等,所以这些圆一定过焦点 F(2,0). 9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 → →
2

x2 y2

OP?FP的最大值为________.
答案 6 →

? x0? 解析 由题意,得 F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 y =3?1- ?.因为FP 4 3 ? 4?
2 0

x2 y2 0 0

2






2

=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP?FP=x0(x0+1)+y0=x0(x0+1)+3?1- ?= +x0+3, ? 4? 4 → → 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时,OP?FP取 2 得最大值 +2+3=6. 4 三、解答题 10.[2017?安徽联考]已知抛物线 C:y =2px 经过点 M(2,2),C 在点 M 处的切线交 x 轴 于点 N,直线 l1 经过点 N 且垂直于 x 轴. (1)求线段 ON 的长; (2)设不经过点 M 和 N 的动直线 l2:x=my+b 交 C 于点 A 和 B,交 l1 于点 E,若直线 MA,
2 2

?

x2 0? x2 0

ME,MB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由.
解 (1)由抛物线 C:y =2px 经过点 M(2,2),得 2 =4p,故 p=1,抛物线 C 的方程为 1 2x
2 2

y2=2x. C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= 2x,则 y′=


1 1 故 C 在点 M 处的切线斜率为 ,切线的方程为 y-2= (x-2). 2 2 令 y=0,得 x=-2,所以点 N 的坐标为(-2,0),故线段 ON 的长为 2. (2)l2 恒过定点(2,0),理由如下: 由题意可知直线 l1 的方程为 x=-2. 因为 l2 与 l1 相交,所以 m≠0. 由 l2:x=my+b,令 x=-2,得 y=- 故 E?-2,-

b+2 , m

? ?

b+2? . m ? ?
4

设 A(x1,y1),B(x2,y2).由?
2

?x=my+b, ? ?y =2x ?
2

消去 x,

得 y -2my-2b=0,则 y1+y2=2m,y1?y2=-2b. 直线 MA 的斜率为

y1-2 y1-2 2 = 2 = , x1-2 y1 y1+2
2 -2 2 , y2+2

同理,直线 MB 的斜率为

b+2 2+ m 直线 ME 的斜率为 . 4
因为直线 MA,ME,MB 的斜率依次成等差数列,

b+2 2+ m 2 2 b+2 所以 + =2? =1+ , y1+2 y2+2 4 2m
即 2?y1+y2+4? 4-y1y2 b+2 =1+ =1+ , 2?y1+y2?+y1y2+4 2?y1+y2?+y1y2+4 2m

b+2 b+2 整理得 = . 2m-b+2 2m
因为 l2 不经过点 N,所以 b≠-2,所以 2m-b+2=2m,即 b=2, 故 l2 的方程为 x=my+2,即 l2 恒过定点(2,0).

x y 1 11.[2016?东北育才模拟] 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其离心率 e= ,过椭圆 E a b 2
→ 5 中 λ 为实数.当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 λ = . 7 → → → 内一点 P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点 A,C 和 B,D,且满足AP=λ PC,BP=λ PD,其

2

2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)当 λ 变化时,kAB 是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. 解

x y 1 1 2 2 3 2 2 (1)因为椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,即 a =c ,所以 b = a . a b 2 4 4

2

2

5

→ → 5 因为 C(a,0),λ = 成立,所以由AP=λ PC, 7 得 A?

?12-5a,12?, 7? ? 7 ?
2 2

?12-5a? 12 将其代入椭圆方程中,得 + =1,解得 a=2,所以 a=2,b= 3, 2 49a 3 2 49? a 4 所求椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4),由AP=λ PC,得?
?x2+λ ? ?y2+λ ? ?x1+λ ? ?y1+λ ?

x2 y2

x3=1+λ , y3=1+λ .

同理?

x4=1+λ , y4=1+λ .
2 2

?3x1+4y1=12, ? 将 A,B 的坐标代入椭圆方程得? 2 2 ?3x2+4y2=12, ?

两式相减得,3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1

+y2)(y1-y2)=0, 即 3(x1+x2)+4(y1+y2)kAB=0. 同理,3(x3+x4)+4(y3+y4)kCD=0. → → → → 因为AP=λ PC, BP=λ PD, 所以 AB∥CD, 所以 kAB=kCD, 所以 3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0, 所以 3λ (x3+x4)+4λ (y3+y4)kAB=0, 所以 3(x1+λ x3+x2+λ x4)+4(y1+λ y3+y2+λ y4)kAB=0,即 6(1+λ )+8(1+λ )kAB 3 =0,所以 kAB=- 为定值. 4 12.[2016?贵阳检测]已知抛物线 C:y =2px(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点, 已知点 N(2,m)为抛物线 C 上一点,且|NF|=4. (1)求抛物线 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B,交 y 轴于点 M,且MA=aAF,MB=bBF,
2

a,b∈R,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是,求出 a+b 的值;否则,说明理由.
解 (1)因为|NF|=4,由抛物线的定义知 xN+ =4, 2

p

即 2+ =4,所以 p=4, 2 所以抛物线 C 的方程为 y =8x. (2)显然直线 l 的斜率存在且一定不等于零, 设其方程为 x=ty+2(t≠0), 则直线 l 与 y 2? ? 轴交点为 M?0,- ?.
2

p

?

t?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

6

由?

?x=ty+2, ? ?y =8x ?
2 2

消去 x 得 y -8ty-16=0,
2

2

所以 Δ =(-8t) -(-64)=64(t +1)>0,y1+y2=8t,y1y2=-16. 2? ? 由MA=aAF,得?x1,y1+ ?=a(2-x1,-y1), → →

?

t?

x1 ty1+2 2 所以 a= =- =-1- , 2-x1 ty1 ty1
同理可得 b=-1- 2

ty2

, 2?

a+b=?-1- ?+?-1- ? ty1? ? ty2? ?
2?y1+y2? 16t =-2- =-2+ =-1. ty1y2 16t 所以 a+b 为定值-1. 13.[2017?广东四校联考] 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l 与 l′相交于 O 点,夹角 为 30°,l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面.已知直线 l∥平面 α ,l 与 α 的距离为 2,平面 α 与圆锥面相交得到双曲线 Γ .在平面 α 内,以双曲线 Γ 的中心为原 点,以双曲线的两个焦点所在直线为 y 轴,建立直角坐标系.

?

2? ?

(1)求双曲线 Γ 的方程; (2)在平面 α 内,以双曲线 Γ 的中心为圆心,半径为 2 2的圆记为曲线 Γ ′,在 Γ ′ 上任取一点 P,过点 P 作双曲线 Γ 的两条切线交曲线 Γ ′于两点 M,N,试证明线段 MN 的长 为定值,并求出这个定值. 解 (1)如图,设 O′为双曲线的中心,则轴 l 与平面 α 的距离为|OO′|=2,A 为双曲 线的一个顶点,∠AOO′=60°,所以|O′A|=2 3.

7

在轴 l 上取点 C,使得|OC|=4 3,过 C 作与轴 l 垂直的平面,交圆锥面得到圆 C,圆 C 与双曲线相交于 D,E 两点. 设 DE 的中点为 B,易知|CB|=2,|CD|=4, 可得|BD|=2 3,从而可知双曲线的实半轴长为 2 3,且过点(2 3,4 3). 设双曲线的标准方程为 - 2=1, 12 b 将点(2 3,4 3)代入方程得 b =4, 所以双曲线的标准方程为 - =1. 12 4 (2)证明:在条件(1)下,显然双曲线 Γ 的两切线 PM,PN 都不垂直 x 轴. 设点 P 的坐标为(x0,y0),令过点 P 的切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x-x0)+y0,
2

y2

x2

y2

x2

y=k?x-x0?+y0, ? ? 2 2 由? y x - =1 ? ?12 4
2 2 2 2

消去 y,
2

得(k -3)x -2k(kx0-y0)x+(kx0-y0) -12=0, 由 Δ =0,化简得(x0+4)k -2x0y0k+(y0-12)=0. 令 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=
2 2 2

y2 0-12 , x2 0+ 4 y2 0-12 =-1,∴k1k2=-1. x2 0+4

由点 P(x0,y0)在圆 Γ ′上,得 x0+y0=8,得

所以 PM⊥PN,线段 MN 是圆 Γ ′的直径,为定值,|MN|=4 2. 14. [2016?重庆统考]如图,F 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点,O 是坐标原点,|OF| 4 5 = 5,过 F 作 OF 的垂线交椭圆于 P0,Q0 两点,△OP0Q0 的面积为 . 3

x2 y2 a b

8

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若直线 l 与上、下半椭圆分别交于点 P,Q,与 x 轴交于点 M,且|PM|=2|MQ|,求△

OPQ 的面积取得最大值时直线 l 的方程. S△OP0Q0 4 = = , |OF| 5 3
4 5 3



(1)由已知条件,|P0F|=
2 2

b b 4 易知|P0F|= ,从而 = . a a 3
4 5 2 2 2 又 c=|OF|= 5,即 a -b =5,因此 a - a-5=0,解得 a=3 或 a=- , 3 3 又因为 a>0,故 a=3,从而 b=2. 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 9 4 (2)设 P(x1, y1), Q(x2, y2), M(m,0), 由题意知 y1>0, y2<0, 并可设直线 l: x=ty+m(t≠0), ?ty+m? y 2 2 2 代入椭圆方程得 + =1,即(4t +9)y +8tmy+4(m -9)=0. 9 4 8tm 由题意可知|m|<3,Δ >0,从而 y1+y2=- 2 , 4t + 9
2 2

x2 y2

y1y2=

4?m -9? . 2 4t +9

2

由|PM|=2|MQ|,得

y1 |PM| = =2,即 y1=-2y2, -y2 |MQ|

8tm 2 因此 y2=-(y1+y2)= 2 ,y1y2=-2y2, 4t +9
2 2 8tm ?2 4?m -9? 4t +9 ? 2 故 =-2? 2 ? ,从而 m = 2 , 2 4t +9 4t +1 ?4t +9?

1 1 所以 S△OPQ= |OM||y1-y2|= |m||-3y2| 2 2 = 12|t|m 12|t| = 2 = 2 4t +9 4t +1
2

≤3, 1 4|t|+ |t|

12

9

1 4? +9 4 1 1 2 当且仅当 4|t|= ,即 t=± 时,等式成立,此时 m = =5,所以 m=± 5. |t| 2 1 4? +1 4 8tm 1 因为 y2= 2 ,且 y2<0,所以 tm<0,故满足题意的直线 l 的方程为 x= y- 5或 x= 4t +9 2 1 - y+ 5. 2

10


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