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2016年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题及答案

时间:2016-03-28


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2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

文科数学
第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.
2 (1)已知集合 A ? x ?1 ? x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(A) x ?1 ? x ? 2 (2)已知复数 z ?

?

?

(B) x ?1 ? x ? 0

?

?

(C) x 1 ? x ? 2

?

?

(D) x 0 ? x ? 1

?

?

3?i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 所对应的点在 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

? x 2 ? x, x ? 1, ? (3)已知函数 f ? x ? ? ? 1 则 f ? f ? ?2? ? 的值为 , x ? 1, ? ?1 ? x
(A)

1 2

(B)

1 5

(C) ?

1 5

(D) ?

1 2

(4)设 P 是△ ABC 所在平面内的一点,且 CP ? 2 PA ,则△ PAB 与△ PBC 的面积之比是 (A)

??? ?

??? ?

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5)如果函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 6 ,则 ? 的值为 4?
(D)24

(A)3 (B)6 (C)12 (6)执行如图所示的程序框图,如果输入 x ? 3 ,则输出 k 的值为

(A)6 (7) 在平面区域 的概率为 (A)

(B)8

(C)10

(D)12

?? x, y ? 0 ? x ? 1,1 ? y ? 2? 内随机投入一点 P ,则点 P 的坐标 ? x, y ? 满足 y ? 2 x
(B)

1 4

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(8)已知 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

3 ?? ?? ? ? ,若 sin ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ,则 6? ?2 ?

?? ? f ?? ? ? ? 12 ? ?

(A) ?

7 2 10

(B) ?

2 10

(C)

2 10

(D)

7 2 10

C : y 2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, xn , (9)如果 P1 ,P 2 ,?, P n 是抛物线
F 是抛物线 C 的焦点,若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 10 ,则 PF ? P2 F ? ?? Pn F ? 1
(A) n ? 10 (B) n ? 20 (C) 2 n ? 10 (D) 2n ? 20

(10) 一个六棱柱的底面是正六边形, 侧棱垂直于底面, 所有棱的长都为 1 , 顶点都在同一个球面上, 则该球的体积为 (A) ??? (11)已知下列四个命题:

(B)

20 5? 3

(C) 5?

(D)

5 5? 6

p1 :若直线 l 和平面 ? 内的无数条直线垂直,则 l ? ? ; p2 :若 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,则 ?x ? R , f ? ? x ? ? ? f ? x ? ; p3 :若 f ? x ? ? x ?
1 ,则 ?x0 ? ? 0, ?? ? , f ? x0 ? ? 1 ; x ?1

p4 :在△ ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B .
其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是 某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为 (A) 8 ? 8 2 ? 4 6 (C) 2 ? 2 2 ? 6 (B) 8 ? 8 2 ? 2 6

(D)

1 2

?

2 2

?

6 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)函数 f ? x ? ? x ? 3x 的极小值为
3



? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? (14)设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 z ? ?2 x ? 3 y 的取值范围是 ? x ? ?3, ?



( 15 )已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B ? 0, b ? ,且 a 2 b2


??? ? ??? ? BA?BF ? 0 ,则双曲线 C 的离心率为

(16)在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD ? BC , AC ? 5 3 ,CD ? 5 , BD ? 2 AD ,则 AD 的 长为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列, a2 ? 4 , a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2log 2 an ? 1,求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn .

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所 示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55, 65 ? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为

4:2:1 .
(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间
频率 组距 0.030

?75,85? 内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 ?45,75? 内抽 取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一 个总体,从中任意抽取 2 件产品,求这 2 件产品都在区间 ?45,65? 内的概率.

0.019 0.012

0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD , 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 1

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ)证明: BD ? 平面 ACO ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求点 C 到平面 OBB1 的距离.
?

D1 A1 B1

C1

D O A B

C

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 左顶点为 A , 左焦点为 F 点 B 2, 2 , 0? , 1? ?2

?

?

在椭圆 C 上,直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交于 点M ,N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? mex ? ln x ?1. (Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1 ,f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)当 m ? 1 时,证明: f ? x ? ? 1 . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D ,过点

?

?

D 作 DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E .
(Ⅰ)求证: DE ? AE ?BE ;
2

F O . E A

B

(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长.

C D

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 并求出点 D 的直角坐标. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ?

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数,t ? R )的距离最短, ? ? y ? ?3t ? 2

1 的解集; 2

(Ⅱ)若对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学答案
一.选择题:1-5:DDCBB 6-10:CABAD 11-12:BA 12 解析:该几何体为如图中的三棱锥 C-A1C1E,EC=EA1= 2 5 ,A1C= 16+ 16+ 16 =4 3 , 三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为:2 2 , 表面积为:S=

1 1 1 1 ? 2 ? 4+ ? 2 ? 4+ ? 4 2 ? 4+ ? 2 2 ? 4 3 = 8 ? 8 2 ? 4 6 2 2 2 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)-2 (14) ??6,15? (15)

5 ?1 (16) 5 2

16 解析:因为 BD=2AD,设 AD=x,则 BD=2x,因为 CD ? BC ,所以,BC= 4 x2 ? 25 , 在三角形 ACD 中,cosA= 所以,

75 ? x 2 ? 25 75 ? 9 x 2 ? (4 x 2 ? 25) ,在三角形 ABC 中,cosA= , 10 3x 30 3x

75 ? x 2 ? 25 75 ? 9 x 2 ? (4 x 2 ? 25) = ,解得: x =5,所以,AD=5。 10 3x 30 3x

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)解析:解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q , 因为 a2 ? 4 ,所以 a3 ? 4q , a4

? 4q2 .????????????????1 分

因为 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项,所以 2 ? a3 ? 2? ? a2 ? a4 .????????2 分

即 2 ? 4q ? 2? ? 4 ? 4q2 ,化简得 q 2 ? 2q ? 0 . 因为公比 q ? 0 ,所以 q ? 2 .?????????????????????4 分 所以 an ? a2 qn?2 ? 4 ? 2n?2 ? 2n ( n ? N ).????????????????5 分 (Ⅱ)因为 an
*

? 2 n ,所以 bn ? 2log2 an ?1 ? 2n ?1 .

所以 an bn ? 2n ? 1 2 .???????????????????????7 分
n

?

?

则 Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ???? ? ? 2n ? 3? 2n?1 ? ? 2n ?1? 2n ,
2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ???? ? ? 2n ? 3? 2n ? ? 2n ?1? 2n?1 .

① ②??????9 分

①-②得,
?Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? 2n?1 ??????????????10 分
4 1 ? 2n?1 1? 2

? 2 ? 2?

?

??

? 2n ? 1? 2

n ?1

? ?6 ? ? 2n ? 3? 2n ?1 ,

所以 Tn ? 6 ? ? 2n ? 3? 2n?1 .???????????????????????12 分 (18)解析:解:(Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x .??????????1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.030? ?10 ? 4x ? 2x ? x ? 1 ,?????3 分 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .??????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,区间 ?45,55? , ?55,65? , ?65,75? 内的频率依次为 0.3 , 0.2 , 0.1 . 用分层抽样的方法在区间 ?45,75? 内抽取一个容量为 6 的样本,

0.3 ? 3 件,记为 A1 , A2 , A3 . 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.2 ? 2 件,记为 B1 , B2 . 在区间 ?55,65? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.1 ? 1 件,记为 C .???????6 分 在区间 ?65,75? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1
则在区间 ?45,55 ? 内应抽取 6 ? 设“从样本中任意抽取 2 件产品,这 2 件产品都在区间 ?45,65? 内”为事件 M, 则所有的基本事件有: ? A 1, A 2? , ? A 1, A 3? , ? A 1, B 1? , ? A 1 , B2 ? , ? A 1 , C? , ? A 2, A 3? ,

? A2 , B1? ,? A2 , B2? ,? A2 , C? ,?A3 , B1? ,? A3 , B2? ,? A3 , C? ,?B1, B2? ,?B1, C? ,?B2 , C? ,
共 15 种.?????????????????????????8 分 事件 M 包含的基本事件有: ? A 1, A 2? , ? A 1, A 3? , ? A 1, B 1? , ? A 1 , B2 ? , ? A 2, A 3? ,

? A2 , B1? , ? A2 , B2? , ?A3 , B1? , ? A3 , B2? , ?B1, B2? ,共 10 种.????10 分
所以这 2 件产品都在区间 ?45,65? 内的概率为

10 2 ? .?????????12 分 15 3

(19)解析: (Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 1 所以 AO ? BD .??????????????????????????1 分 1 因为 ABCD 是菱形,所以 CO ? BD .?????????????????2 分 因为 AO CO , 1 ? CO ? O , AO 1 , CO ? 平面 A 1 所以 BD ? 平面 A1CO .???????????????????????3 分 (Ⅱ)解法一:因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 .?????????????????4 分 所以 ?OBC 的面积为 S?OBC ?

1 1 3 .???????5 分 ? OB ? OC ? ? 1? 3 ? 2 2 2

因为 AO ? 平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD , 1 所以 AO ? AO , A1O ? 1 因为 A1B1

AA12 ? OA2 ? 1 .???????????????6 分

? 平面 ABCD ,

所以点 B1 到平面 ABCD 的距离等于点 A 1 到平面 ABCD 的距离 AO 1 .????7 分 由(Ⅰ)得, BD ? 平面 A 1 AC .

? A1 A . 因为 A1 A ? 平面 A 1 AC ,所以 BD
因为 A1 A ? B1B ,所以 BD ? B1B .??????????????????8 分 所以△ OBB1 的面积为 S ?OBB ?
1

1 1 ? OB ? BB1 ? ? 1? 2 ? 1 .????????9 分 2 2

设点 C 到平面 OBB1 的距离为 d ,

因为 VC ?OBB ? VB ?OBC ,
1 1

d= 所以 S D OBB 1 g
S ?OBC ? A1O S ?OBB
1

1 3

1 S D OBC gA1O .??????????????????10 分 3
3 ? 2 1 ?1 ? 3 2

所以 d ?



所以点 C 到平面 OBB1 的距离为

3 .?????????????????12 分 2
D1 O1 A1 C1

解法二:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 A1CO , 因为 BD ? 平面 BB1 D1 D , 所以平面 A1CO ⊥平面 BB1 D1 D .?4 分 连接 A1C1 与 B1 D1 交于点 O1 , 连接 CO1 , OO1 ,

H D O

B1

C B

A

因为 AA1 ? CC1 , AA1 // CC1 ,所以 CAA1C1 为平行四边形. 又 O , O1 分别是 AC , A1C1 的中点,所以 OA1O1C 为平行四边形. 所以 O1C ? OA1 ? 1 .?????????????????????????6 分 因为平面 OA1O1C 与平面 BB1 D1 D 交线为 OO1 , 过点 C 作 CH ? OO1 于 H ,则 CH ? 平面 BB1 D1 D .????????????8 分
ABCD . ? 平面 ABCD ,所以 O· 因为 O1C ? A1O , AO 1 1C ? 平面 OC ,即△ OCO1 为直角三角形.???10 分 因为 OC ? 平面 ABCD ,所以 O· 1C ?

所以 CH ?

O1C ? OC OO1

?

1? 3 2

?

3 2


3

所以点 C 到平面 OBB1 的距离为

2

.?????????????????12 分

(20)解析:(Ⅰ)解法一:设椭圆 C 的方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
2

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a ? b ? 4 .???????????1 分 1? ?2

设椭圆的右焦点为 F2 ? 2, 0? ,已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上, 由椭圆的定义知 BF 1 ? BF 2 ? 2a , 所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 .?????????????????????2 分 所以 a ? 2 2 ,从而 b ? 2 .?????????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为

?

?

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????4 分 8 4 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
2 2

解法二:设椭圆 C 的方程为

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a ? b ? 4 . 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以

①???????1 分 ②???????2 分

?

?

4 2 ? ? 1. a 2 b2

由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 .???????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????4 分 8 4

(Ⅱ)解法一:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .????5 分

?

?

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 8 4 设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ),则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .
? y ? kx, 8 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y 得 x2 ? . 1 ? 2k 2 ?1 ? ? 4 ?8

所以 x0 ?

2 2 1 ? 2k
2

, y0 ?

2 2k 1 ? 2k 2

.??????????????????6 分

所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 2k 2

? x ? 2 2 ? .???????????7 分

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M , 令x ? 0得 y ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

,即点 M ? 0, ?

?

? ? .????????8 分 2 ? ? 1 ? 1 ? 2k ? 2 2k

同理可得点 N ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

? ? ? .???????????????????9 分 ?

假设在 x 轴上存在点 P(t , 0) ,使得 ?MPN 为直角,则 MP ? NP ? 0 .???10 分 即 t2 ?

???? ??? ?

?2 2k 1 ? 1 ? 2k
2

?

?2 2k 1 ? 1 ? 2k
2

? 0 ,即 t 2 ? 4 ? 0 .?????????11 分

解得 t ? 2 或 t ? ?2 . 故存在点 P ? 2,0? 或 P ? ?2,0? ,无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角. ????????????12 分 解法二: 因为椭圆 C 的左端点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .?????5 分

?

?

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 8 4 设点 E( x0 , y0 ) ,则点 F (? x0 , ? y0 ) .
所以直线 AE 的方程为 y ?

y0 x0 ? 2 2

? x ? 2 2 ? .????????????6 分
2 2 y0 ? ? .???????????7 分 x0 ? 2 2 ? ?

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M , 令x ? 0得 y ?

2 2 y0 x0 ? 2 2

,即点 M ? 0,

? ? ?

同理可得点 N ? 0,

? ? ?

2 2 y0 ? ? .????????????????????8 分 x0 ? 2 2 ? ?

假设在 x 轴上存在点 P ? t , 0 ? ,使得 ?MPN 为直角,则 MP ? NP ? 0 . 即 t2 ?

???? ??? ?

2 2 y0 x0 ? 2 2

?

2 2 y0 x0 ? 2 2

? 0 ,即 t 2 ?

2 8 y0 ? 0. 2 x0 ?8

(※)????9 分

因为点 E( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,
2 2 x0 y2 8 ? x0 2 ? 0 ? 1 ,即 y0 ? .?????????????????10 分 8 4 2

所以

2 8 ? x0 2 将y ? 代入(※)得 t ? 4 ? 0 .???????????????11 分 2 2 0

解得 t ? 2 或 t ? ?2 . 故存在点 P ? 2,0? 或 P ? ?2,0? ,无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角. ????????????12 分 解法三:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .?????5 分

?

?

因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

设点 E 2 2 cos ? , 2sin ? ( 0 ? ? ? ? ),则点 F ?2 2 cos ? , ?2sin ? .??6 分 所以直线 AE 的方程为 y ?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

?

?

2sin ? x ? 2 2 .?????????7 分 2 2 cos ? ? 2 2

?

?

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M , 令x ? 0得 y ?

2 sin ? ? 2sin ? ? ,即点 M ? 0, ? .????????????8 分 cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ?

同理可得点 N ? 0,

? ?

2sin ? ? ? .?????????????????????9 分 cos ? ? 1 ?

假设在 x 轴上存在点 P(t , 0) ,使得 ?MPN 为直角,则 MP ? NP ? 0 .???10 分

???? ??? ?

?2sin ? ?2sin ? ? ? 0 ,即 t 2 ? 4 ? 0 .?????????????11 分 cos ? ? 1 cos ? ? 1 解得 t ? 2 或 t ? ?2 .
即t ?
2

故存在点 P ? 2,0? 或 P ? ?2,0? ,无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角. ????????????12 分 (21)解析:(Ⅰ)解:当 m ? 1 时, f ( x) ? e x ? ln x ?1 ,
x 所以 f ?( x ) ? e ?

1 .????????????????????????1 分 x

所以 f (1) ? e ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 . ???????????????????2 分 所以曲线 y ? f ( x) 在点 1 ,f ?1? 处的切线方程为 y ? (e ?1) ? (e ? 1)( x ? 1) . 即 y ? ? e ?1? x .???????????????????????????3 分 (Ⅱ)证法一:当 m ? 1 时, f ( x) ? mex ? ln x ?1 ? e x ? ln x ?1. 要证明 f ( x) ? 1 ,只需证明 e ? ln x ? 2 ? 0 .??????????????4 分
x

?

?

以下给出三种思路证明 e ? ln x ? 2 ? 0 .
x
x x 思路 1:设 g ( x) ? e ? ln x ? 2 ,则 g ?( x ) ? e ? x 设 h( x ) ? e ?

1 . x

1 1 x ,则 h?( x) ? e ? 2 ? 0 , x x

x 所以函数 h( x) ? g ?( x ) ? e ?

1 (0, +?) 在 上单调递增.??????????6 分 x

因为 g ? ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 , g ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,

?1? ?2?

1

x 所以函数 g ?( x) ? e ?

1 ?1 ? (0, +?) 在 上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? ,1? .????8 分 x ?2 ?
x0

因为 g ?( x0 ) ? 0 时,所以 e

?

1 ,即 ln x0 ? ? x0 .????????????9 分 x0

当 x ? ? 0, x0 ? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, g ?( x) ? 0 . 所以当 x ? x0 时, g ( x) 取得最小值 g ? x0 ? .??????????????10 分 故 g ( x) ? g ? x0 ? = e 0 ? ln x0 ? 2 ?
x

1 ? x0 ? 2 ? 0 . x0

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 .??????????????????12 分 思路 2:先证明 e ? x ? 1 ? x ? R ? .??????????????????5 分
x

设 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h? ? x ? ? e ?1 .
x x

因为当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? 0 时,函数 h ? x ? 单调递减,当 x ? 0 时,函数 h ? x ? 单调递增. 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 . 所以 e ? x ? 1 (当且仅当 x ? 0 时取等号).???????????????7 分
x

所以要证明 e ? ln x ? 2 ? 0 ,
x

只需证明 ? x ? 1? ? ln x ? 2 ? 0 .????????????????????8 分 下面证明 x ? ln x ? 1 ? 0 . 设 p ? x ? ? x ? ln x ? 1,则 p? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 . ? x x

当 0 ? x ? 1 时, p? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, p? ? x ? ? 0 , 所以当 0 ? x ? 1 时,函数 p ? x ? 单调递减,当 x ? 1 时,函数 p ? x ? 单调递增. 所以 p ? x ? ? p ?1? ? 0 .

所以 x ? ln x ? 1 ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号).????????????10 分 由于取等号的条件不同, 所以 e ? ln x ? 2 ? 0 .
x

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 .??????????????????12 分 (若考生先放缩 ln x ,或 e 、 ln x 同时放缩,请参考此思路给分!) 思路 3:先证明 e ? ln x ? 2 .
x

x

因为曲线 y ? e x 与曲线 y ? ln x 的图像关于直线 y ? x 对称, 设直线 x ? t ? t ? 0? 与曲线 y ? e , y ? ln x 分别交于点 A , B ,点 A , B 到直线 y ? x
x

的距离分别为 d 1 , d2 , 则 AB ? 2 ? d1 ? d2 ? . 其中 d1 ?
et ? t 2

, d2 ?

t ? ln t 2

? t ? 0? .

①设 h ? t ? ? et ? t ? t ? 0? ,则 h? ?t ? ? et ? 1 . 因为 t ? 0 ,所以 h? ? t ? ? et ? 1 ? 0 . 所以 h ? t ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,则 h ? t ? ? h ? 0? ? 1 . 所以 d1 ?
et ? t 2 ? 2 . 2

1 t ?1 ②设 g ? t ? ? t ? ln t ? t ? 0? ,则 g ? ? t ? ? 1 ? ? . t t
因为当 0 ? t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 ;当 t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 , 所以当 0 ? t ? 1 时, g ? t ? ? t ? ln t 单调递减;当 t ? 1 时, g ? t ? ? t ? ln t 单调递增. 所以 g ? t ? ? g ?1? ? 1 . 所以 d 2 ?
t ? ln t 2 ? 2 . 2

? 2 2? 所以 AB ? 2 ? d1 ? d2 ? ? 2 ? ? ? ? 2. ? 2 2 ? ? ?

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 .??????????????????12 分

证法二:因为 f ( x) ? me x ? ln x ?1 , 要证明 f ? x ? ? 1 ,只需证明 me ? ln x ? 2 ? 0 .?????????????4 分
x

以下给出两种思路证明 me ? ln x ? 2 ? 0 .
x
x 思路 1:设 g ( x) ? me x ? ln x ? 2 ,则 g ?( x ) ? me ? x 设 h( x) ? me ?

1 . x

1 1 x ,则 h?( x) ? me ? 2 ? 0 . x x 1 x 所以函数 h ? x ? ? g ? ? x ? ? me ? 在 ? 0, +? ? 上单调递增.????????6 分 x
因为 g ? ?
1 ? 21m ? ? 1 ? 2m ? m e ? 2 m ? m ? e ? 2 ? ? 0 , g? ?1? ? me ?1 ? 0 , ? ? 2m ? ? ?

x 所以函数 g ?( x ) ? me ?

1 ? 1 ? ,1? .??8 分 在 ? 0, +? ? 上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? x ? 2m ?
x0

因为 g ? ? x0 ? ? 0 ,所以 me

?

1 ,即 ln x0 ? ? x0 ? ln m .????????9 分 x0

当 x ? ? 0, x0 ? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 . 所以当 x ? x0 时, g ? x ? 取得最小值 g ? x0 ? .??????????????10 分 故 g ? x ? ? g ? x0 ? ? me 0 ? ln x0 ? 2 ?
x

1 ? x0 ? ln m ? 2 ? 0 . x0

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 .??????????????????12 分 思路 2:先证明 e ? x ? 1( x ? R) ,且 ln x ? x ? 1 ( x ? 0) .????????5 分
x

设 F ( x) ? e ? x ?1 ,则 F ?( x) ? e x ?1 .
x

因为当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , 所以 F ( x ) 在 ( ??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增. 所以当 x ? 0 时, F ( x ) 取得最小值 F (0) ? 0 . 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 e ? x ? 1 (当且仅当 x ? 0 时取等号).?????7 分
x

由 e ? x ? 1( x ? R) ,得 e
x

x ?1

? x (当且仅当 x ? 1 时取等号).??????8 分

所以 ln x ? x ? 1 ( x ? 0) (当且仅当 x ? 1 时取等号).???????????9 分 再证明 me ? ln x ? 2 ? 0 .
x

x 因为 x ? 0 , m ? 1 ,且 e ? x ? 1 与 ln x ? x ? 1 不同时取等号,

所以 mex ? ln x ? 2 ? m ? x ?1? ? ? x ?1? ? 2
? ? m ? 1?? x ? 1? ? 0 .

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 .??????????????????12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D ,过点

D 作 DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E .
(Ⅰ)求证: DE ? AE ?BE ;
2

F O . E A

B

(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长.

C D

解析: (Ⅰ)证明:因为 AD 是⊙ O 的切线, 所以 ?DAC ? ?B (弦切角定理) .??????1 分 因为 DE ? CA , 所以 ?DAC ? ?EDA .???????????2 分 所以 ?EDA ? ?B . 因为 ?AED ? ?DEB (公共角) , E A F O .

B

C

D 所以△ AED ∽△ DEB .???????????????????????3 分

所以

DE BE
2

?

AE DE



即 DE ? AE ?BE .?????????????????????????4 分 (Ⅱ)解:因为 EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 的割线, 所以 EF ? EA?EB (切割线定理) .?????????????????5 分
2

因为 EF ? 4 , EA ? 2 ,所以 EB ? 8 , AB ? EB ? EA ? 6 .???????7 分 由(Ⅰ)知 DE ? AE ?BE ,所以 DE ? 4 .???????????????8 分
2

因为 DE ? CA ,所以△ BAC ∽△ BED . ???????????????9 分 所以

BA BE

?

所以 AC ?

. ED BA ? ED

AC

BE

?

6? 4 8

? 3 . ???????????????????10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 并求出点 D 的直角坐标. 解析: (Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? , 可得 ? ? 2? sin ? .?????????????????????????1 分
2 2 2 2 因为 ? ? x ? y , ? sin ? ? y ,???????????????????2 分
2 2 2 所以曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 (或 x ? ? y ? 1? ? 1 ). ????4 分 2

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数,t ? R )的距离最短, ? ? y ? ?3t ? 2

(Ⅱ)解法一:因为直线的参数方程为 ?

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R ), ? ? y ? ?3t ? 2

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 . ??????????????5 分

2 因为曲线 C : x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

设点 D ? x0 , y0 ? ,且点 D 到直线 l : y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y ? ? 3x ? 5 平行. 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 ? 1 ,即
2 因为 x0 ? ? y0 ? 1? ? 1 , 2

y0 ? 1 ? ? 3 ? ?1.??????7 分 x0

?

?

解得 x0 ? ?

3 3 或 x0 ? . 2 2
? ? ? 3 1? ? 3 3? , ?或? ,? ? ? .??????????????9 分 2 2? ? ? 2 2?

所以点 D 的坐标为 ? ?

由于点 D 到直线 y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ? .????????????????????10 分 ? 2 , 2? ? ? ? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R ), ? ? y ? ?3t ? 2

解法二:因为直线 l 的参数方程为 ?

消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .??????????????5 分
2 因为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? .???7 分

?

?

所以点 D 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? .????????????8 分 3? ?
因为 ? ??0, 2?? ,所以当 ? ? 此时 D ? ?

? ?

? 时, d min ? 1.?????????????9 分 6 ? 3 3? 3 3? ,? ,所以点 D 的坐标为 ? ? ? 2 , ? .???????????10 分 2 2? 2 ? ? ?

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ?

1 的解集; 2

(Ⅱ)若对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围. 解析: (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ?

1 1 等价于 x ? 1 ? x ? .????????1 分 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 2 4 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 .??????????3 分 2
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .????????????4 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max .???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 思路 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x ? ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? ? a ? 1? a < 0 .

当?

a ? x ? 1? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? 2x ? a ? 1? a
? 2 1? a ? a ? 1? a ? a ? 1? a .

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

思路 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1? a

? a ? 1? a ,
当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号. 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集, 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?

?

? max .?????????????????????8 分

以下给出三种思路求 g ? a ? ? 思路 1:令 g ? a ? ?

a ? 1 ? a 的最大值.

a ? 1? a ,

所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

1 时等号成立. 2

2.

所以 b 的取值范围为 思路 2:令 g ? a ? ?

?

2, +? .???????????????????10 分

?

a ? 1? a ,
2

因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ? 则 g ?a? ?

? ?

?? ?, 2?

?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ?? ? ? ? 2 , 4? ?
? 时等号成立. 4

当且仅当 ? ?

所以 b 的取值范围为 思路 3:令 g ? a ? ? 因为 0 ? a ? 1 ,设 í
2

?

2, +? .???????????????????10 分

?

a ? 1? a ,

ì ? ? x = a, 2 2 则 x + y = 1 (0 #x 1,0 #y 1) . ? ? ? y = 1- a ,
2

问题转化为在 x + y = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

y

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2

O

x

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?


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