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山东省济宁市2012届高三第一次高考模拟 数学(理工类)试题及答案

时间:2012-03-20


山东省济宁市 2012 届高三第一次模拟考试

数学(理工类)试题
一、选择题: 1.设全集 U = x ∈ N x < 6},集合 A = (1,3), B = {3,5} ,则 CU ( A ∪ B ) 等于
*

{

A. { ,4} 1

B. { ,5} 1

C. {2,5}

D. {2,4}

2.已知 i 是虚数单位,复数 z = 1? 3i A.4 B.—4 C.2
2

(

)(

3 ? i , z 是 z 的共轭复数,则 z 的虚部为

)

D.—2

3.已知 p: x + 1 ≤ 4; q : x < 5 x ? 6 .则 p 是 q 成立的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A. 5π B. 6π C. 7π D. 8π D.既不充分又不必要条件

5.在 ?ABC 中, AB = 3 , AC = 1, B = 30o 则 ?ABC 的面积等于

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 3 或 2 4

D.

3 或 3 2

6.已知 A.20

2 8 + = 1( x >0, y > 0) ,则 x + y 的最小值为 x y
B.18
n

C.16

D.14

3 ? ? 7.已知 ? 2 x + ? 的展开式中二项式系数的和为 16,则展开式中含 x 项的系数为 x? ?
A. 2500 B.240 C.224 D.14 8.函数 y = e sin x (? π ≤ x ≤ π ) 的图象大致为

9.若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM = A. 2 3 B. ? 2 3 C.2 D. ? 2
-1-

1 1 CB + CA ,则 MA ? MB 等于 3 3

10.已知抛物线 x 2 = 12 y 的焦点与双曲线

x2 ? y 3 = ?1 的一个焦点重合,则以此抛物线的焦点 a

为圆心,双曲线的离心率为半径的圆的方程是 A. x +( y ? 3) = 9
2 2

B. ( x ? 3) + y = 3
2 2

C. x + ( y ? 3) = 3
2 2

D. ( x ? 3) + y = 9
2 2

11. 已 知 平 面 向 量 a = (1.2 ), b = (2,1), c = ( x, y ) , 且 满 足 x ≥ 0, y ≥ 0. 若

a ? c ≥ 1, b ? c ≥ 1, z = ?(a + b ) ? c ,则
A.z 有最小值 ? 2 C.z 有最小值 ? 3 B.z 有最大值 ? 2 D.z 有最大值 ? 3

12.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ∈ ? 0, ? 时,

? ?

3? 2?

?3? f ( x ) = sin πx, f ? ? = 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 [0,6] 上的零点个数是 ?2?
A.9 B.7 C.5 D.3

13.执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 的值是_____▲______. 14.如图, O : x 2 + y 2 = π 2 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围成的区域 圆 记为 M(图中阴影部分) ,在圆 O 内随机取一个点 A,则点 A 取自区域 M 内的概率是_____▲______.

15.已知数列 {an }为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为数列 {an } 的 前 n 项和, n ∈ N ,则 S13 的值为_____▲______.
*

16.给出下列命题: ①命题“ ?x ∈ R, x 2 ? x >0”的否定是“ ?x ∈ R, x 2 ? x ≤ 0 ” ; ②命题“若 am < bm ,则 a <b”的逆命题是真命题;
2 2

-2-

③ f ( x ) 是 (? ∞,0 ) ∪ (0,+∞ ) 上的奇函数, x >0 时的解析式是 f ( x ) = 2 . 则 x <0 时的解析式
* ?x 为 f ( x ) = ?2 ;

④若随机变量 ξ ~ N 1, σ , 且 P (0 ≤ ξ ≤ 1) = 0.3 ,则 P (ξ ≥ 2 ) = 0.2.
2

(

)

其中真命题的序号是_____▲______.(写出所有你认为正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 3 sin ( x ? ? ) cos( x ? ? ) ? cos ( x ? ? ) +
2

1? π? ? 0 ≤ ? ≤ ? 为偶函数. 2? 2?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调减区间; (II) 把函数 f ( x ) 的图象向右平移 的对称中心. 18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an }的前 n 项和为 An,且满足 a1 + a5 = 6, A9 = 63; 数列 {bn }的前 n 项和为 Bn, 且满足 Bn = 2bn ? 1 n ∈ N .
*

π
6

个单位 (纵坐标不变)得到函数 g ( x ) 的图象, , 求函数 g ( x )

(

)

(I)求数列 {an }, {bn }的通项公式 ab,bn; (II)设 cn = an ? bn 求数列 {cn }的前 n 项和 Sn.

19.(本小题满分 12 分) 某高中社团进行社会实验,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博” 的调查,若开通“微博”的为“时尚族” ,否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数 的频率分布直方图如图所示,其中在 [40,45) 岁、 [45,50 ) 岁年龄段人数中, “时尚族”人数分 别占本组人数的 40%、30%.

-3-

请完成以下问题: (I)求 [40,45) 岁与 [45,50 ) 岁年龄段“时尚族”的人数; (II)从 [40,45) 岁和 [45,50 ) 岁年龄段的“时尚族”中,采用分层抽样法抽取 9 人参加网络时 尚达人大赛,其中选取 3 人作为领队,已选取的 3 名领队中年龄在 [40,45) 岁的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 EX. 20.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ⊥ 平面 ABCD,∠ABC=60°,E、F 分别是 BC,PC 的中点,AB=2,AP=2. (I)求证:AE ⊥ PD; (II)求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴为半 2 a b 2

径的圆与直线 x ? y + 6 = 0 相切. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)设点 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 与另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x ) =

1 3 1 2 ax + x + b, f ( x ) = g ′( x )e x ,其中 e 为自然对数的底数 3 2

(I)若函数 g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线与直线 2 x ? y + 1 = 0 垂直,求实数 a 的值; (II)若 f ( x ) 在 [? 1,1] 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围; (III)当 a=0 时,求整数 k 的所有值,使方程 f ( x ) = x + 2 在 [k , k + 1] 上有解.

-4-

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