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2013级高二上期半期考试数学试题1

时间:2014-12-20


高 2013 级第三学期第二学月考试

数 学 试 题
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 统计某校 1000 名学生的某次数学测试成绩,得到样本 频率分布直方图如右图所示,若满分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率为( A. 20% C. 6% 2. 如果事件 A、B 互斥,那么( A. A+B 是必然事件 C. A与B 一定不互斥 3. 已知 0<x<1 ,a=2 x,b ? 1 ? x,c ? A. c C. a 4. 不等式 A. C. ) B. A+B 是必然事件 D. A与B 一定互斥 ) B. 25% D. 80%

1 ,则其中最大的是( 1? x
B. b D. 不确定



x?2 ? 2 的解集是( x ?1

) B. D.

? ??, ?1? ?4, ??? ? ??, ?1? ?4, ???

??4, ?1? ??1, 4?

5. 用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学生从 1~160 编号, 按编 号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,...,153~160 号) 。若第 16 组抽出的号码是 126,则 第 1 组抽出的号码是( A. 4 6. 若 ) B. 5 C. 6 D.7 )

1 1 ? ?0, 则下列不等式: ①a ? b ? ab ; ②a ? b ; ③a ? b 中, 正确的不等式有 ( a b
B. 1 个 )
第 1 页共 4 页

A. 0 个

C. 2 个

D. 3 个

7. 下面程序输出的结果为(

i=1 DO i=i+2 S=2*i+3 LOOP UNTIL i > = 8 PRINT S END A. 17 B. 19 C. 21 D. 23

8. 过点 P(1,1)作圆 C:(x-3)2+y2=9 的弦,交圆于 M、N 两点,当弦 MN 最短时,弦 MN 所在直线方程为( A. 2x+y-3=0 C. x+2y-3=0 ) B. 2x-y-1=0 D. x-2y+1=0

9. 右图所示的程序框图输出的结果为( A. 1 B. 2 C. 4 )

) D. 8

10. 下列各进制数中,最小的是( A. 111111(2) C. 1000(4)

B. 210(6) D. 85(9)

11. 设一元二次方程 x2+Bx+C=0,若 B,C 是一颗骰子先后掷两次出现的点数,则方程有实 根的概率为( A. ) B.

1 12

7 36

C.

13 36

D.

19 36

12. 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最 小值为( ) B. -3+ 2 C. -4+2 2 D. -4+ 2

A. -3+2 2

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
第 2 页共 4 页

13. 从一堆苹果中任取 5 个,称得它们的质量如下(单位:克) 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s= (克)(用数字作答)

14. 在区间(0,1)内随机地取出两个数,则两数之和小于
2

6 的概率是 5

15. 若关于 x 的不等式 ax ? x ? 2a ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为

?x ? 0 ? 16. 已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k= ?2 x ? y ? k ? 0 ?
三、解答题(共 44 分) 17. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率;

.

(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率。

18. 设 a≥0,解关于 x 的不等式

ax ? 1 ? 0。 x?a

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19. 已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 。 (1)直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A,B 两点,若 AB =2 3 ,求直线 l 的方程; (2)圆 C 上有一动点 M(x0,y0) ,O N = 0( , ) y0 ,若向量 OQ=OM+ON ,求动点 Q 的 轨迹方程。

20. 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中。为了治污,根据环保部 门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放

a(1 ? a ? 4,且a ? R) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(天)变化的
? 16 ? 1(0 ? x ? 4) ? ?8 ? x 函数关系式近似为 y=a· f(x),其中 f ( x) ? ? 若多次投放,则某一时刻水中的药 ?5 ? 1 x(4 ? x ? 10) ? ? 2
剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和。根据经验,当水中药剂的浓度不低于 4 克/升时,它才能起到有效治污的作用。 (1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能 够持续有效治污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4)

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绵阳中学高 2013 级第三学期第二学月考试

数 学 答 卷
二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13、 三、解答题(共 44 分) 17、 (10 分) 14、 15、 16、

18、 (10 分)

第 5 页共 4 页

19、 (12 分)

20、 (12 分)

第 6 页共 4 页

绵阳中学高 2013 级第三学期第二学月考试

数 学 答 案
一、选择题:1~6 DBACCB 二、填空题 13、2 三、解答题 17、 (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个。从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件有 1 和 2,1 和 3 共 2 个。因此所求事件的概率 P= 14、 7~12 CBDADD

17 25

15、 a ?

2 4

16、k=-6

2 1 = 6 3

(4 分)

(2)先从袋中随机取一个球,记下编号 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号 n, 其一切可能的结果(m,n)有(1,1) , (1,2) , ( 1, 3 ) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4, 4)共 16 个,又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4) , (2,4) ,共 3 个,所以满 足 条 件 n≥m+2 的 事 件 的 概 率 为 P1 =

3 。 故 满 足 条 件 n<m+2 的 事 件 的 概 率 为 16

1-P1 =1-

3 13 = 16 16

(10 分)

18、解:① 当 a=0 时,不等式为 -

1 ? 0 ,解集为 (-?,0) ; (2 分) x 1 1 (-?,a)( , ??) ② 当 0<a<1 时, a ? ,解集为 ; (4 分) a a x ?1 ? 0 ,解集为 (-?, 1)( 1, +?) ③ 当 a=1 时,不等式为 ; (7 分) x ?1 1 1 (-?, )(a, +? ) ④ 当 a>1 时, a ? ,解集为 (10 分) a a

19、 解: (1) ① 若直线 l 垂直于 x 轴, 则此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点的坐标分别为 ( 1,3) 和 ,这两点间的距离为 2 3 ,满足题意。 ( 1,- 3)
第 7 页共 4 页

(2 分)

② 若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的
2 距离为 d,所以 2 3=2 4? d ,得 d=1。

(4 分)

所以 1=

-k ? 2 k 2 ?1

,解得 k=

3 ,故所求直线方程为 3x-4y+5=0. 4
(6 分)

综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1.

(2)设 Q 点坐标为(x,y) ,因为 M 点坐标是(x0,y0) , ON =(0,y0), OQ=OM+ON ,
2 2 所以 (x, y) =(x0, 2y0), 所以 x=x0, y=2y0, (10 分) 因为 x0 所以 x ? ( ) ? 4 , ? y0 ?4,
2 2

y 2

所以 x ? ( ) ? 4 ,即
2 2

y 2

x2 y 2 ? ?1 4 16
(12 分)

所以 Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ?1 4 16

? 64 ? 4(0 ? x ? 4) ? 20、解析: (1)因为 a=4,所以 y ? ? 8 ? x , (1 分) ? ?20 ? 2 x(4 ? x ? 10)
则当 0≤x≤4 时,由

64 ? 4 ? 4 ,解得 x≥0,所以此时 0≤x≤4; (4 分) 8-x

当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 综上所述,得 0≤x≤8,若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达 8 天。 (6 分) (2)当 6≤x≤10 时, y ? 2 ? (5 ?

1 16 x) ? a[ ? 1] 2 8 ? ( x ? 6)

(7 分)

? 10 ? x +

16a 16a ? a ? (14 ? x) ? ? a ? 4 , 因 为 1 4- x ? [ 4 , 8 ] 而 1≤x≤4 , 所 以 , 14 ? x 14 ? x

4 a ?[4,8] ,故当且仅当 14 ? x=4 a 时,y 有最小值为 8 a ? a ? 4 。 (10 分)
令 8 a ? a ? 4 ? 4 ,解得 24 ? 16 2 ? a ? 4 ,所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6 (12 分)

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