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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练) 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2013-07-12


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :8.3
一、选择题 1. 已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A、B、C,A′、B′、C′分别在 PA、PB、

空间点、直线、平面之间的位置关系

PC 上, 若延长 A′B′、 ′C′、 ′C′与平面分别交于 D、 、 三点, D、 、 三点( B A E F 则 E F
A.成钝角三角形 C.成直角三角形 B.成锐角三角形 D.在一条直线上

)

解析:D、E、F 为已知平面与平面 A′B′C′的公共点,D、E、F 共线. 答案:D 2.平面 α ∩β =l,点 A∈α ,点 B∈α ,且 C?l,C∈β ,又 AB∩l=R,如图所示, 过 A、B、C 三点确定的平面为 γ ,则 β ∩γ 是( )

A.直线 AC B.直线 BC C.直线 CR D.直线 AR 解析:由已知条件可知,C∈γ ,AB∩l=R,AB? γ ,∴R∈γ . 又∵C,R∈β ,故 CR=β ∩γ . 答案:C 3.若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 )

1

解析:依题意,直线 l∩α =A(如图).α 内的直线若经过点 A,则与直线 l 相交;若 不经过点 A,则与直线 l 是异面直线,故选 B. 答案:B 4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M, 则下列结论正确的是( A.A、M、O 三点共线 B.A、M、O、A1 不共面 C.A、M、C、O 不共面 D.B、B1、O、M 共面 )

解析:连接 A1C1,AC 则 A1C1∥AC, ∴A1、C1、C、A 四点共面. ∴A1C? 平面 ACC1A1. ∵M∈A1C,∴M∈平面 ACC1A1. 又 M∈平面 AB1D1, ∴M 为平面 ACC1A1 与 AB1D1 的公共点. 同理 OA 为平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的公共点. ∴A、M、O 三点共线.

2

答案:A 5.(2013·沈阳质检)正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 BC、CD1 的中点,则直线 A1B 与直 线 EF 的位置关系是( A.相交 ) C.平行 D.垂直

B.异面

解析:如图所示,直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF? 平面 A1BCD1,且 两直线不平行,故两直线相交.

答案:A 6.(2013·烟台调研)如图所示是三棱锥 D-ABC 的三视图,点 O 在三个视图中都是所 在边的中点,则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( )

A.

3 3

B.

1 2

3

C. 3

D.

2 2

解析:该题我们可以通过补形处理,由于△ABC 中 AB=AC,且∠A=90°,同时 AD⊥平 面 ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱 DB′C′-ABC, 则异面直线 DO 和 AB 所成角等于△B′DO 中∠B′DO 的度数. 其中 B′D=2,DO= DA +AO = 1+?
2 2

2?

2

= 3, 3 . 3

B′O= B′B2+BO2= 3,可得 cos∠B′DO=
答案:A 二、填空题

7.(2012·四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则 异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是__________.

解析:如图,连接 D1M,可证 D1M⊥DN. 又∵A1D1⊥DN,A1D1,MD1? 平面 A1MD1,A1D1∩MD1=D1, ∴DN⊥平面 A1MD1, ∴DN⊥A1M,即夹角为 90°. 答案:90°

4

8.如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶AB= 2∶1,则异面直 线 AB1 与 BD 所成的角为________.

解析:在平面 ABC 内,过 A 作 DB 的平行线 AE,过 B 作 BH⊥AE 于 H,连接 B1H,则在 Rt △AHB1 中 ,∠B1AH 为 AB1 与 BD 所成角.设 AB=1,则 A1A= 2,∴B1A= 3,AH=BD= ∴cos∠B1AH= 3 , 2

AH 1 = , AB1 2

∴∠B1AH=60°. 答案:60° 9.(2013·金华联考)在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱 的中点,则 表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有__________.(填上所有正确答案的序号)

解析:如题干图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面. 所以图②④中 GH 与 MN 异面. 答案:②④

5

三、解答题

10.在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3,且 AD⊥BC,对角线 BD= = 3 ,求 AC 和 BD 所成的角. 2

13 ,AC 2

解析:如图所示,分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、F、G、H, 连接 EF、FH、HG、GE、

GF.
由三角形的中位线定理,知 EF∥AC,且 EF= 3 13 ,GE∥BD,且 GE= . 4 4

GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所成的角.
1 3 同理,GH= ,HF= ,GH∥AD,HF∥BC. 2 2 又 AD⊥BC,∴∠GHF=90°, ∴GF =GH +HF =1. 在△EFG 中,EG +EF =1=GF , ∴∠GEF=90°,即 A C 和 BD 所成的角为 90°.
2 2 2 2 2 2

6

1 11.如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊 AD,BE 2 1 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 解析:(1)由已知 FG=GA,FH=HD, 1 可得 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC. 2 ∴四边形 B CHG 为平行四边形. 1 (2)方法一:由 BE 綊 AF,G 为 FA 中点知,BE 綊 FG, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形. ∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH, ∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

7

方法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 1 ∵BE 綊 AF, 2 ∴B 为 MA 中点. 1 ∵BC 綊 AD, 2 ∴B 为 M′A 中点. ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′). ∴C、D、F、 E 四点共面. 12.(1)已知异面直线 a 与 b 所成的角 θ =60°,P 为空间一点,则过 P 点与 a 和 b 所 成角 φ =45°的直线有几条? (2)已知异面直线 a 与 b 所成的角 θ =60°,P 为空间一点,则过 P 点与 a 和 b 所成角 φ =60°的直线有几条? (3)已知异面直线 a 与 b 所成的角 θ =60°,P 为空间一点,则过 P 点与 a 与 b 所成角 φ =70°的直线有几条? 解析:过点 P 作直线 a′∥a,b′∥b,且 a′与 b′所确定的平面为 α . (1)过 P 点在平面 α 外存在两条直线与 a、b 所成的角为 45°. (2)过 P 点在平面 α 内存在一条直线(120°的角平分线)与 a、 所成的角为 60°; P b 过 点在平面 α 外存在两条直线与 a、b 所成的角为 60°,则与 a、b 所成的角为 60°的直线有 3 条. (3)过 P 点在平面 α 外 a′、b′成 60°夹角平分线上、下存在两条直线与 a、b 所成的 角为 70°,过 P 点在平面 α 外 a′、b′成 120°夹角平分线上、下存在两条 直线与 a、b 所成的角为 70°,则与 a、b 所成的角为 70°的直线有 4 条.

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