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高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1

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。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

1.2.2 函数的表示法

整体设计 教学分析 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函 数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境 下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体 会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在 研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广, 这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习, 让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程. 三维目标 1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择 合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题 的能力,增加学习数学的兴趣. 3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力. 4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射, 感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一 步认识. 重点难点 教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念. 教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解. 课时安排 3 课时 教学过程
第 1 课时 导入新课 思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如, 简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为:生日快樂!英文为:Happy Birthday!法文是 Bon Anniversaire!德文是 Alles Gute Zum Geburtstag!印度尼西亚文是 Selamat Ulang

1

Tahun!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?引出课题:函数的表示法.

思路 2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个

函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢?这节课我们就来研究这个

问题(板书课题).

推进新课

新知探究

提出问题

初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的?

讨论结果:(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫

做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.

(2)图象法:以自变量 x 的取值为横坐标,对应的函数值 y 为纵坐标,在平面直角坐标

系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法

叫做图象法.

(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,

这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.

应用示例

例 1 某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用函数的 三种表示法表示函数 y=f(x).

活动:学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,

它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有 5

个元素.

解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},

用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数 y=f(x)表示为

笔记本数 x 1 2 3 4 5

钱数 y

5 10 15 20 25

用图象法可将函数 y=f(x)表示为图 1.

2

图1 点评:本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间 的关系,可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函 数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观、形象地表示自变量变化时 相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生 活中有许多应用,如企业生产图、股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接 看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率 表、列车时刻表等等.并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发 生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表 示.例如:张丹的年龄 n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高 y(单位:cm)总有唯一确定的值 与之对应,因此身高 y 是年龄 n 的函数 y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数 y= f(n)不能用解析法来表示. 注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函 数的定义域; ③图象法:根据实际情境来决定是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
3

变式训练 1.如图所示为 y=ax2+bx+c 的图象,下列结论正确的是( )

图2

A.abc>0

B.a+b+c<0

C.a-b+c>0 D.2c<3b

解析:由图象研究二次函数 y=ax2+bx+c 的性质,易知 a<0,b>0,c>0.当 x

=1 时,y=a+b+c>0;当 x=-1 时,a-b+c<0,故 A,B,C 都错.

答案:D

2.已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,则 f(x)=________.

?2 f (x) ? f (?x) ? 3x ? 2, 解析:由题意得 ??2 f (?x) ? f (x) ? ?3x ? 2,
把 f(x)和 f(-x)看成未知数,解方程即得. 答案:3x+23

例 2 下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分

表:

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

王伟

98

87

91

92

88

95

张城

90

76

88

75

86

80

赵磊

68

65

73

72

75

82

班平均分

88.2

78.3

85.4

80.3

75.7

82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

活动:学生思考做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?本题利用表

格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由

于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学

习成绩是否稳定,成绩变化趋势.

解:把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数 y=f(x),如图 3 所

示.

4

图3 由图 3 可看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. 点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解 决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋 势. 注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变 化特点.
5

变式训练 1.函数 y=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域是________. 答案:[2,11) 2.将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数关系式,并求定义域和 值域,作出函数的图象. 分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积 y 表示为 x 的函数,用 数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解:设矩形一边长为 x,则另一边长为12(a-2x),则面积 y=12(a-2x)x=-x2+12ax.又

?x ??a

? ?

0, 2x

?

0,



0<x<a2,即定义域为???0,a2???.由于

y=-???x-a4???2+116a2≤116a2,如图

4

所示,结合函数的图象得值域为???0,116a2???.

图4 3.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 5 所示,那么水瓶的形状是( )
图5
6

图6 解析:要求由水瓶的形状识别容积 V 和高度 h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观察图象,根据图象的特点发现:取水深 h=H2,注水量 V′>V20, 即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半. A 中 V′<V20,C、D 中 V′=V20,故排除 A,C,D. 答案:B
知能训练 课本本节练习 2,3. 【补充练习】 1.等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是一腰长 x 的函数,则( )
7

A.y=10-x(0<x≤10)

B.y=10-x(0<x<10)

C.y=20-2x(5≤x≤10)

D.y=20-2x(5<x<10)

解析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式.

∵2x+y=20,∴y=20-2x.则 20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大

于第三边)可知 2x>20-2x,得 x>5,∴函数的定义域为{x|5<x<10}.

∴y=20-2x(5<x<10).

答案:D

2.定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+1)的值域为( )

A.[a,b]

B.[a+1,b+1]

C.[a-1,b-1] D.无法确定

解析:将函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数 y=f(x+1)的图象,由于定义域

均是 R,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以 y=f(x+1)的值域也是[a,

b].

答案:A

3.函数 f(x)=1+1 x2(x∈R)的值域是(

)

A.(0,1) B.(0,1]

C.[0,1) D.[0,1]

解析:(观察法)定义域是

R,由于

x2≥0,则

1+x2≥1,从而

1 0<1+x2≤1.

答案:B

拓展提升

问题:变换法画函数的图象都有哪些?

解答:变换法画函数的图象有三类:

1.平移变换:

(1)将函数 y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x+a)的图象;

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位得函数 y=f(x-a)的图象;

(3)将函数 y=f(x)的图象向上平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)+b 的图象;

(4)将函数 y=f(x)的图象向下平移 b(b>0)个单位得函数 y=f(x)-b 的图象.

简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.

2.对称变换:

(1)函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 即 y 轴对称;

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(2)函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0 即 x 轴对称; (3)函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称. 3.翻折变换: (1)函数 y=|f(x)|的图象可以将函数 y=f(x)的图象位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y=f(x)的 x 轴上方部分即可得到. (2)函数 y=f(|x|)的图象可以将函数 y=f(x)的图象位于 y 轴右边部分翻折到 y 轴左边 替代原 y 轴左边部分并保留 y=f(x)在 y 轴右边部分图象即可得到. 函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况 及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的 基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函 数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质, 当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的 图象问题是高考的热点之一,应引起重视.

课堂小结

本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表 示函数.

作业

课本习题 1.2A 组 7,8,9.

设计感想 本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表 示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行 了总结以满足高考的要求.
第 2 课时 作者:刘菲 导入新课 思路 1.当 x>1 时,f(x)=x+1;当 x≤1 时,f(x)=-x,请写出函数 f(x)的解析式.这 个函数的解析式有什么特点?教师指出本节课题. 思路 2.化简函数 y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题. 推进新课

新知探究

提出问题

①函数 h(x)=?????x-,x+1,

x<-1, 与 f(x)=x-1,g(x)=x2 在解析式上有什么
x≥-1

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区别?

②请举出几个分段函数的例子.

活动:学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同

部分,有不同对应法则的函数. 讨论结果:①函数 h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分

段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,

值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、

个人所得税纳税额等等.

②例如:y=???0, ??1,

x>0, 等.
x<0

应用示例

例 1 画出函数 y=|x|的图象.

活动:学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法

画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.

解法一:由绝对值的概念,我们有 y=?????x-,x, 所以,函数 y=|x|的图象如图 7 所示.

x≥0, x<0.

图7 解法二:画函数 y=x 的图象,将其位于 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方,与函数 y=x 的图象位于 x 轴上方的部分合起来得函数 y=|x|的图象如图 7 所示. 点评:函数 y=f(x)的图象位于 x 轴上方的部分和 y=|f(x)|的图象相同,函数 y=f(x) 的图象位于 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方就是函数 y=|f(x)|图象的一部分.利用函数 y =f(x)的图象和函数 y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数 y=f(x)的图象画出函数 y= |f(x)|的图象.
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变式训练

?x ? 4, x ? 0,

1.已知函数

y=

?? ?

x2

?

2 x, 0

?

x

?

4,

????x ? 2, x ? 4.

(1)求 f{f[f(5)]}的值;

(2)画出函数的图象.

分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求 f{f[f(5)]},

需要确定 f[f(5)]的取值范围,为此又需确定 f(5)的取值范围,然后根据所在定

义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分

段函数的图象.

解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4

=1.∵0<1<4,∴f{f[f(5)]}=f(1)=12-2×1=-1,即 f{f[f(5)]}=-1.

(2)图象如图 8 所示:

图8

2.课本本节练习 3.

3.画出函数

y=

??( ?

x

?

1)2

,

x

?

0,

的图象.

???x, x ? 0

步骤:①画整个二次函数 y=(x+1)2 的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,

其他部分删去不要;②画一次函数 y=-x 的图象,再取其在区间(0,+∞)上的

图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如 图 9 所示.

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图9
例 2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车 5 千米以内(含 5 千米),票价 2 元; (2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元(不足 5 千米按 5 千米计算), 如果某条线路的总里程为 20 千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象. 活动:学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义, 由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.
图 10 解:设里程为 x 千米时,票价为 y 元,根据题意得 x∈(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
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??32,, y=?4,
??5,

0<x≤5, 5<x≤10, 10<x≤15, 15<x≤20.

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图 10 所示. 点评:本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很 多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解 析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式. 注意: ①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; ②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值不同的几种表达式并用 一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练 某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千 米 0.5 元,如果超过 100 千米,超过部分按每千米 0.4 元定价,则客运票价 y(元)与行程 x(千米)之间的函数关系式是________. 解析:根据行程是否大于 100 千米来求出解析式.

答案:y=

?0.5x,0 ? x ? 100, ??10 ? 0.4x, x ? 100

知能训练

1.函数 f(x)=|x-1|的图象是( )

图 11

解析:方法一:函数的解析式化为 y=?????x1- -1x, ,

x≥1, 画出此分段函数的图象,
x<1.

故选 B. 方法二:将函数 f(x)=x-1 位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,与 f(x)=x-1
位于 x 轴上方部分合起来,即可得到函数 f(x)=|x-1|的图象,故选 B. 方法三:由 f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除 A,C,D,故选 B.

答案:B

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x2, x>0,
?? 2.已知函数 f(x)= 1, x=0, ???-1x,x<0.
(1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f[f(-1)]的值. 解:分别作出 f(x)在 x>0,x=0,x<0 上的图象,合在一起得函数的图象. (1)如图 12 所示,画法略.

图 12 (2)f(1)=12=1,f(-1)=--11=1,f[f(-1)]=f(1)=1. 3.某人驱车以 52 千米/时的速度从 A 地驶往 260 千米远处的 B 地,到达 B 地并停留 1.5 小时后,再以 65 千米/时的速度返回 A 地.试将此人驱车走过的路程 s(千米)表示为时间 t 的函数. 分析:本题中的函数是分段函数,要由时间 t 属于哪个时间段,得到相应的解析式. 解:从 A 地到 B 地,路上的时间为25620=5(小时);从 B 地回到 A 地,路上的时间为26650= 4(小时).所以走过的路程 s(千米)与时间 t 的函数关系式为

?? 52t, s=?260,
??260+65(t-6.5),

0≤t<5, 5≤t≤6.5, 6.5<t≤10.5.

拓展提升 问题:已知函数 f(x)满足 f(1)=1,f(n+1)=f(n)+2,n∈N*. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想 f(n),n∈N*. 探究:(1)由题意得 f(1)=1,则有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5,

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f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1, f(3)=5=2×3-1, f(4)=7=2×4-1, f(5)=9=2×5-1. 因此猜想 f(n)=2n-1,n∈N*.
课堂小结 本节课学习了:画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用.
作业 课本习题 1.2B 组 3,4.
设计感想 本节教学设计容量较大,特别是例题涉及图象,建议使用信息技术来完成.本节重点为 分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次, 因此教学中应予以重视.
第 3 课时 作者:林大华 导入新课 思路 1.复习初中常见的对应关系 1.对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应. 2.对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应. 3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应. 4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应. 5.函数的概念. 我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数 集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关 系,这种对应就叫映射(板书课题). 思路 2.前面学习了函数的概念是:一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种 对应法则 f,对于集合 A 中的每个元素 x,在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应. (1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.
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那么这些对应又有什么特点呢? 这种对应称为映射,引出课题. 推进新课
新知探究 提出问题 ①给出以下对应关系:
图 13 这三个对应关系有什么共同特点? ②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义? ③“都有唯一”是什么意思? ④函数与映射有什么关系? 讨论结果:①集合 A,B 均为非空集合,并且集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的元 素与之对应. ②一般地,设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射,记作“f:A→B”. 如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中的元素 y,那么集合 A 中的元素 x 叫集合 B 中元素 y 的原象,集合 B 中元素 y 叫集合 A 中的元素 x 的象. ③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是 一对一或多对一. ④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
应用示例 例题 下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实 数对应; (2)集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关 系 f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应
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它的内切圆; (4)集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:
每一个班级都对应班里的学生. 活动:学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义. (1)中数轴上的点对应着唯一的实数; (2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对; (3)中每一个三角形都有唯一的内切圆; (4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生. 解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射; (4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的
定义. 变式训练 1.图 14(1),(2),(3)用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则,是不是 映射?
图 14 答案:(1)不是;(2)是;(3)是. 2.在图 15 中的映射中,A 中元素 60°对应的元素是什么?在 A 中的什么元素与 B 中元素 22对应?
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图 15

答案:A

中元素

60°对应的元素是

3 2 ,在

A

中的元素

45°与

B

中元素

2 2 对应.

知能训练

1.下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是( ) A.S=N,T={-1,1},对应法则是(-1)n,n∈S B.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应法则是开平方 C.S={0,1,2,5},T={1,12,15},对应法则是取倒数

D.S={x|x∈R},T={y|y∈R},对应法则是 x→y=11+ -xx

解析:判断映射的方法简单地说应考虑 A 中的元素是否都可以受对应法则 f 的作用,作 用的结果是否一定在 B 中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显 A 符合定义;B 是一对 多的对应;C 中集合 S 中的元素 0 没有象;D 中集合 S 中的元素 1 也无象.
答案:A 2.已知集合 M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中不能看作从 M 到 P 的映射的是( ) A.f:x→y=12x

B.f:x→y=13x

C.f:x→y=x D.f:x→y=16x

解析:选项 C 中,集合 M 中部分元素没有象,其他均是映射. 答案:C 3.已知集合 A=N*,B={a|a=2n-1,n∈Z},映射 f:A→B,使 A 中任一元素 a 与 B 中元素 2a-1 对应,则与 B 中元素 17 对应的 A 中元素是( )

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A.3 B.5 C.17 D.9 解析:利用对应法则转化为解方程.由题意得 2a-1=17,解得 a=9. 答案:D 4.若映射 f:A→B 的象的集合是 Y,原象的集合是 X,则 X 与 A 的关系是________;Y 与 B 的关系是________. 解析:根据映射的定义,可知集合 A 中的元素必有象且唯一;集合 B 中的元素在集合 A 中不一定有原象.故象的集合是 B 的子集.所以 X=A,Y? B. 答案:X=A Y? B 5.已知集合 M={a,b,c,d},P={x,y,z},则从 M 到 P 能建立不同映射的个数是 ________. 解析:集合 M 中有 4 个元素,集合 P 中有 3 个元素,则从 M 到 P 能建立 34=81 个不同 的映射. 答案:81 6.下列对应哪个是集合 M 到集合 N 的映射?哪个不是映射?为什么? (1)设 M={矩形},N={实数},对应法则 f 为矩形到它的面积的对应. (2)设 M={实数},N={正实数},对应法则 f 为 x→|1x|. (3)设 M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},对应法则 f 为开方再乘 10. 解:(1)是 M 到 N 的映射,因为它是多对一的对应. (2)不是映射,因为当 x=0 时,集合 N 中没有元素与之对应. (3)是映射,因为它是一对一的对应. 7.设集合 A 和 B 都是自然数集,映射 f:A→B 把 A 中的元素 n 映射到 B 中的元素 2n+n, 则在映射 f 下,A 中的元素________对应 B 中的元素 3.( ) A.1 B.3 C.9 D.11 解析:对应法则为 f:n→2n+n,根据选项验证 2n+n=3,可得 n=1. 答案:A 8.已知集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且 a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映 射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值. 分析:先从集合 A 和对应法则 f 入手,同时考虑集合中元素的互异性,可以分析出此映 射必为一一映射,再由 3→10,求得 a 值,进而求得 k 值. 解:∵B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应, ∴A 中元素 1 的象是 4;2 的象是 7;3 的象是 10,即 a4=10 或 a2+3a=10. ∵a∈N, ∴由 a2+3a=10,得 a=2.
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∵k 的象是 a4, ∴3k+1=16,得 k=5. ∴a=2,k=5. 9.已知集合 A={(x,y)|x+y<3,x∈N,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,则 这个对应是否为映射?是否为函数?请说明理由. 解:是映射,不是函数.由题意得 A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}, 显然对于 A 中的每一个有序实数对,它们的和是 0 或 1 或 2,则在 B 中都有唯一一个数与它 对应,所以是映射,因为集合 A 不是数集而是点集,所以不是函数.
拓展提升 问题:集合 M 中有 m 个元素,集合 N 中有 n 个元素,则从 M 到 N 能建立多少个不同的映 射? 探究:当 m=1,n=1 时,从 M 到 N 能建立 1=11 个不同的映射; 当 m=2,n=1 时,从 M 到 N 能建立 1=12 个不同的映射; 当 m=3,n=1 时,从 M 到 N 能建立 1=13 个不同的映射; 当 m=2,n=2 时,从 M 到 N 能建立 4=22 个不同的映射; 当 m=2,n=3 时,从 M 到 N 能建立 9=32 个不同的映射. 集合 M 中有 m 个元素,集合 N 中有 n 个元素,则从 M 到 N 能建立 nm 个不同的映射.
课堂小结 本节课学习了: (1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”. (2)映射由三个部分组成:集合 A,集合 B 及对应法则 f,称为映射的三要素. (3)映射中集合 A,B 中的元素可以为任意的.
作业 课本本节练习 4. 补充作业: 已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射,并说明理由. (1)A=N,B=Z,对应法则 f 为“取相反数”; (2)A={-1,0,2},B=???-1,0,12???,对应法则:“取倒数”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”; (4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则 f:a→b=(a-1)2; (5)A=N*,B={0,1},对应法则:除以 2 所得的余数. 答案:(2)不是映射,(1)(3)(4)(5)是映射.
设计感想
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本节教学设计的内容拓展较深,在实际教学中根据学生实际选取例题和练习.本节重点 为映射的概念,对于映射来说,只需要掌握概念即可,不要求拓展其内容,以免加重学生的 负担,也偏离了课标要求和高考的方向.
备课资料 【备选例题】 【例 1】区间[0,m]在映射 f:x→2x+m 下所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的 长度比区间[0,m]的长度大 5,则 m 等于( ) A.5 B.10 C.2.5 D.1 解析:函数 f(x)=2x+m 在区间[0,m]上的值域是[m,3m], 则有[m,3m]=[a,b],则 a=m,b=3m, 又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大 5, 则有 b-a=(m-0)+5,即 b-a=m+5, 所以 3m-m=m+5, 解得 m=5. 答案:A 【例 2】设 x∈R,对于函数 f(x)满足条件 f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有的 x∈R, f(x2-1)=________. 解析:(换元法)设 x2+1=t, 则 x2=t-1, 则 f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=t2+3t-7, 即 f(x)=x2+3x-7. 所以 f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9. 答案:x4+x2-9 【知识总结】 1.函数与映射的知识记忆口诀: 函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连; 函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见; 对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集. 2.映射到底是什么?怎样理解映射的概念? 剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解:(1)映射中的两个集合 A 和 B 可以 是数集、点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射 往往是不一样的;(3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应,而 这个与之对应的元素是唯一的,这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一 性构成了映射的核心;(4)映射允许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应;(5)映射允
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许集合 A 中不同的元素在集合 B 中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对 一”,不能是“一对多”;(6)映射是特殊的对应,函数是特殊的映射.
3.函数与映射的关系 函数是特殊的映射,对于映射 f:A→B,当两个集合 A,B 均为非空数集时,则从 A 到 B 的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
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