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第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的基本性质及其应用教案新人教A版必修5

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2.4.2 项目 2.4.2 课题 等比数列的概基本性质及其应用 内容 等比数列的基本性质及其应用? 修改与创新 (共 1 课时) 一、知识与技能? 1.了解等比数列更多的性质;? 2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考 和有关等比数列的实际问题的解决中;? 3.能在生活实际的问题情境中,抽象出等比数列关系,并能用有关 的知识解决相应的实际问题.? 二、过程与方法? 1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行 教学 目标 教学;? 2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法,发挥学生的主体作用, 引导学生探究问题的解决方法,经历解决问题的全过程;? 3.当好学生学习的合作者的角色.? 三、情感态度与价值观? 1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和 思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学 生的类比、归纳的能力;? 2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了 解社会的意识,更多地知道数学的社会价值和应用价值. 教学重点 1.探究等比数列更多的性质;? 教学 2.解决生活实际中的等比数列的问题.? 重、 教学难点 渗透重要的数学思想.? 难点 教学 多媒体课件 准备 教学过 导入新课? 1 程 师 教材中第 59 页练习第 3 题、第 4 题,请学生课外进行活动探究,现 在请同学们把你们的探究结果展示一下.? 生 由学习小组汇报探究结果.? 师 对各组的汇报给予评价.? 师 出示多媒体幻灯片一:第 3 题、第 4 题详细解答:? 第 3 题解答:? (1) 将 数 列 {an} 的 前 k 项 去 掉 , 剩 余 的 数 列 为 a k+1 ,a k+2 ,?. 令 bi=ak+i,i=1,2,?,? 则数列 a k+1,ak+2,?,可视为 b1,b2,?.? 因为 bi ?1 ak ?i ?1 ? ? q (i≥1),所以,{bn}是等比数列,即 a bi a k ?i k+1 ,ak+2,? 是等比数列.? (2){an}中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a1,a 11,a 21,?,则? a a11 a21 ? ? ... ? 10 k ?1 ? ... ? q10 (k≥1).? a1 a11 a10 k ?9 所以数列 a1,a 11,a21,?是以 a1 为首项,q 为公比的等比数列.? 猜想:在数列{an}中每隔 m(m 是一个正整数)取出一项,组成一个新数列, 这个数列是以 a1 为首项、q 为公比的等比数列.? ◇本题可以让学生认识到,等比数列中下标为等差数列的子数列也构成 等比数列,可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方 法.? 第 4 题解答:? (1)设{an}的公比是 q,则? m 10 a52=(a1q4)2=a12q8,? 而 a3·a7=a1q ·a1q =a1 q ,? 所以 a5 =a3·a7.? 同理,a5 =a1·a9.? (2)用上面的方法不难证明 an =a n+1 2 2 2 2 6 2 8 n-1 ·a n+1(n>1).由此得出,an 是 a n-1 和 a 的等比中项,同理可证 an =a 2 n-k ·an+k(n>k>0).an 是 an-k 和 an+k 的等比 2 中项(n>k>0).? 师 和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多的性质,如果我们想知道的 更多,就要对它作进一步的探究.? 推进新课 [合作探究]? 师 出示投影胶片 1 例题 1 (教材 P61B 组第 3 题)就任一等差数列{an}, 计算 a7+a 10, a8+a9 和 a10+a 40,a20+a30,你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化 的推广吗?从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题 .在等 比数列中会有怎样的类似结论? 师 注意题目中“就任一等差数列{an}”,你打算用一个什么样的等差数 列来计算?? 生 用等差数列 1,2,3,?? 师 很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢?? 生 在等差数列{an}中,若 k+s=p+q(k,s,p,q∈N ),则 ak+as=ap+aq.? 师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问 题”,如何做?? 生 思考、讨论、交流.? 师 出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系.? [教师精讲]? * 师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列 {an}的图象,可以看出 ak k as s ? , ? ,? a p p aq q 根据等式的性质,有 ak ? a s k ? s ? ? 1 .? a p ? aq p ? q 3 所以 ak+as=ap+aq.? 师 在等比数列中会有怎样的类似结论?? 生 猜想对于等比数列 {an},类似的性质为: k+s=p+t(k,s,p,t∈N ),则 ? * ak·as=ap·at.? 师 让学生给出上述猜想的证明.? 证明:设等比数列{an}公比为 q,? 则有 ak·a s=a1q ·a1q =a1 ·q k-1 s-1 2 k+s-2 ,? ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.? 因为 k+s=p+t,? 所以有 ak·as=ap·at.? 师 指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的 性质.? 即等比数列{an}中,若 k+s=p+t(k,s,p,t∈N ),则有 ak·as=ap·at.? 师 下面有两个结论:? (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积;? (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.? 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗?? 生 思考、列式、合作交流,得到:? 结论(1)就是上述性质中 1+n=(1+t)+(n-t)时的情形;? 结论(2)就是上述性

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