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一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式的解法

时间:2013-01-19


一、高考要求 掌握一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式的解法. 二、两点解读 重点:三类不等式解法. 难点:解含字母参数的不等式. 三、课前训练 1.关于 x 的不等式 | x ? 2 |? m 的解集为 R 的充要条件是 (A) m ? 0 (B) m ? 2 (C) m ? 0





(D) m ? 2 ( ) (D) [ ? 2, ? ?) )

2.不等式 ( x ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为 (A) [1, ? ?) (B) [1, ? ?) ? {? 2 }

(C) [? 2, 1)

3.不等式 | x ? 4 | ? | 3 ? x |? a 的解集为非空集合,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) a ? 1 (D) 3 ? a ? 4

4. 关于 x 的不等式 ( ) (A)第一象限

( x ? a )( x ? b) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 2 或 x ? 3 , 则点 P(a ? b, c) 位于 x?c
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

四、典型例题 例 1 不等式 log 1 ( x ? 1) ? ?1 的解集为
3

( (D){x|1<x<

)

(A){x|x>4}

(B){x|x<4}

(C){x|1<x<4}

2 } 3 ax ? b ? 0的 x?2

例 2 已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) , 则关于 x 的不等式 解集是 (A) (1, 2)
2

( (B) (?1, 2)
2

) (D) (2, ??)

(C) (??, ?1) ? (2, ??)

例 3 若不等式 x ? 2x ? a ? ? y ? 2 y 对任意实数 x、 y 都成立, 则实数 a 的取值范围是 (A) a ? 0 (B) a ? 1 (C) a ? 2 ( ) (D) a ? 3

例 4 关于 x 的不等式

1 ? a (其中 a ? 0 )的解集为 x?2



例 5 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a (1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围.

例 6 已知 a ? 1, P : a( x ? 2) ? 1 ? 0, Q : ( x ?1)2 ? a( x ? 2) ? 1. 试寻求使得 P, Q 都成立的

x 的集合.

第 12 讲 不等式的解法 过关练习 1.不等式 | x | (1 ? 2 x) ? 0 的解集是 (A) (??, )

(

) (D) (0, )

1 2

(B) (??,0) ? (0, )

1 2

(C) ( , ??)

1 2

1 2

2.不等式 x ? | x | ?6 ? 0( x ? R) 的解集为
2





(A) {x | x ? 3或x ? ?3} (C) {x | ?2 ? x ? 2}

(B) {x | x ? 2或x ? ?2} (D) {x | ?3 ? x ? 3}

3.设 A ? ? x || x ? 1|? 2? , B ? ? x | (A) ?x | ?1 ? x ? 3? (C) ?x | ?1 ? x ? 0?

? ?

x?2 ? ? 0? ,则 A ? B ? ( x ?

) .

(B) ?x | x ? 0或x ? 2? (D) ?x | ?1 ? x ? 0或2 ? x ? 3?

4.若不等式 x2 ? loga x ? 0 在 (0, ) 内恒成立,则 a 的取值范围是(

1 2

) .

(A)

1 ? a ?1 16 1 16

(C) 0 ? a ?

1 ? a ?1 16 1 (D) 0 ? a ? 16
(B) 对于一切实数 x 恒成立,则 a 的取值范围是

5.若 f (x) ?(a ? ) x 2? a ? x ? a 1 0 1 2( 1 3 ) ( ? ? ) ( ) . (B) (??, ? 1)

(A) (??, 1)

(C) (??, ? 2)

(D) (??, ?2) ? (1, ? ?)

6.不等式 x lg( x ? 2) ? lg( x ? 2) 的解集是__________________. 7.解关于 x 的不等式

ax ? 1 ? 1, 其中 | a |? 1. x?a

8.设函数 f (x)=|x-a|,g (x)=ax (a>0). (1) 解关于 x 的不等式:f (x)<g (x); (2) 记 F (x)=f (x)-g (x),求函数 F (x)在(0,+∞)上的最小值.

第 12 讲 不等式的解法

参考答案 课前训练部分 1.A 2.B 3.B 4.A 典型例题部分 例 1. 解:由 log 1 ( x ? 1) ? ?1 ,得 log 1 ( x ? 1) ? ? log 1
3
3

1 ? log 1 3 , 3 3 3

即 0 ? x ? 1 ? 3 ,即 1 ? x ? 4 .选 C

b x? b ax ? b a ? 0 ,即 ( x ? 2)(x ? b ) ? 0.选 ? 0即 例 2. 解:由题意得 ? ?1 且 a ? 0 ,? a x?2 a x?2
A. 例 3. 解: x ? 2 x ? a ? a ? 1 , ? y 2 ? 2 y ? 1 即 a ? 1 ? 1 , a ? 2 .选 C.
2

1 ax ? 2a ? 1 ?a ?0? ? 0. x?2 x?2 2a ? 1 1 ) ? 0 ,则 x ? (2, 2 ? ) . 当 a ? 0 时 ( x ? 2)( x ? a a
例 4. 解: 例 5.解: (1)当 a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ? ??, ?2 ? ? ? , 2 ? . 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 5 ? ? 9 ? a ? 0, ?3 ? M , ? ?a ? 9或a ? , ?? (2)当 a ? 25 时, ? ?? 3 ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ?1 ? a ? 25. ? ? 25 ? a ?

? 5? ? a ? ?1, ? ? ? 9, 25 ? . ? 3?
当 a ? 25 时,不等式为 则 3 ? M且5 ? M ,

25 x ? 5 ?1 ? ? 0 , 解之,得 M ? ? ??, ?5? ? ? ,5 ? , 2 x ? 25 ?5 ?

∴ a ? 25 满足条件.

综上可知 a ? ?1, ? ? ?9, 25 ? .

? 5? ? 3?

例 6. 解:由题意,要使 P, Q 都成立,当且仅当不等式组 ?

? a( x ? 2) ? 1 ? 0, 2 ?( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 1

1 ? x ? 2? , ? 成立.此不等式组等价于 ? a ?( x ? a)( x ? 2) ? 0. ?

1 ? 1 1 1 ? x ? 2? , ①当 1 ? a ? 2 时,则有 ? a 而 a ? (2 ? ) ? a ? ? 2 ? 0,? a ? 2 ? , a a a ? x ? 2或x ? a, ?
1 ?x?a ; a 3 ②当 a ? 2 时, x ? 且x ? 2 2
所以 x ? 2或2 ?

;

1 ? 1 ? x ? 2? , ③当 a ? 2 时,则有 ? a 所以 x ? a或2 ? ? x ? 2 . a ? x ? 2或x ? a, ?
综上,当 1 ? a ? 2 时,使 P, Q 都成立的 x 的集合是 ? x x ? 2或2 ?

? ?

1 ? ? x ? a? ; a ?

当 a ? 2 时, P, Q 都成立的 x 的集合是 ? x x ? 使

? ?

3 ? 且x ? 2? ;当 a ? 2 时,使 P, Q 都成立的 x 2 ?

的集合是 ? x x ? a或2 ?

? ?

1 ? ? x ? 2? . a ?

过关练习 1.B 2.D 3.D 4.A 5.C 6. (?2, ?1) ? (1, ??)

7. 解:

ax ? 1 ? x ? a (a ? 1) x ? (a ? 1) ? 0即 ? 0, x?a x?a x ?1 ? 0 得原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?a} ; 若 a ? 1, 则 x?a x ?1 ? 0, 若 a ? 1, 则 x?a
①当 ? 1 ? a ? 1 ,?a ? 1, 得原不等式的解集为 {x | ?a ? x ? 1} ; 时 ②当 a ? ?1 ,?a ? 1 ,得原不等式的解集为 {x | 1 ? x ? ?a} . 时

8. 解:(1)①当 a ? 1 时, x ? ②当 0 ? a ? 1 时,

1 ; 2

a a ?x? ; 1? a 1? a a ③当 a ? 1 时, x ? . 1? a
(2)①当 a ? 1 时, F ( x) min ? ?1 ;
2 ②当 0 ? a ? 1 时, F ( x) min ? ?a ;

③当 a ? 1 时, F (x) min 不存在.


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