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空间图形的基本关系与公理(2)_图文

时间:

§4

空间图形的基本关系与公理 4.2空间图形的公理

1

学习目标
?掌握公理1、2、3、4及定理 ;并能运用 它们解决问题----证明点共线、线共点以 及线共面问题. ?加强由实际模型到图形,再由图形返回 模型的基本训练,逐步培养由图形想象 出空间位置关系的能力.

2

知识探究:平面的基本性质1 观察下图,你能得到什么结论?

桌面?
A

B

3

知识探究:平面的基本性质1 文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内,那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).

图形语言 符号语言

A

B

l

公理作用

? ? 一是判定直线在平面内的依据,即要判定直线在平 一、判定线在面内 面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;也是 判定点在平面内的方法,即如果直线在平面内、点 或点在面内的依据 在直线上,则点在平面内. 二、检验平面 二是检验平面的方法

4

知识探究(二):平面的基本性质2

观察下图,你能得到什么结论?

A

C

B

5

知识探究(二):平面的基本性质2 文字语言

公理2 经过不在同一直线上的 三点,有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C?有且只有一个平面α,使 A∈ 面α ,B∈ 面α ,C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
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图形语言 符号语言

公理作用

思考交流 (1)经过一条直线和这条直线外一点,可以确定 一个平面吗? B α LA C (2)经过两条相交直线,可以确定一个平面吗? A B α Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?
7

公理2 的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.

推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用:确定平面的依据
8

知识探究:平面的基本性质3 观察下图,你能得到什么结论?

天花板?
墙面?

P

墙面?

? ?
P

a

9

知识探究:平面的基本性质3 文字语言

公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点,那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.

图形语言

?

P ? ?且P ? ? ?
符号语言 公理作用

?

P

l

? ? ? ? l且P ? l.
(1)判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点,就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线; (2)判定点在直线上的依据,点是某两个平面的公共点,线是这 两个平面的公共交线,则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10

知识探究:平面的基本性质4
问题:在平面内的三条直线,a//b,b//c ?a//c,在空间此 结论是否成立?举例说明

文字语言 平行. 平行公理 图形语言

公理4平行于同一条直线的两条直线
a

b
c

符号语言 a // b, b // c ? a // c 公理作用
既是证明“等角定理”的基础,是以后证明平 行关系的主要依据之一
11

注意:并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间.

知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b, 直线 l 与 a、 都相交, b 求证: 过 a、b、l 有且只有一个平面.
分析 由题目可获取以下主要信息: ①两线平行; ②第三条线与它们都相交. 解答本题可先思考让其中部分元素定面.再证其 余元素也在面内.

点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面, 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内.
12

知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外,AB∩α=P, AC∩α=R,BC∩α=Q,如图所示. 求证:P、Q、R 三点共线.

分析 解答本题可先证明 P,Q,R 三点在面 ABC 内,又在面 α 内,再利用公理 3 从而证得三点共线.
证明 ∵AB∩α=P,

点评∴P∈AB,P∈平面 α. 证明多点共线的方法:利用公理 3,只需说 明这些点都是两个平面的公共点,则必在这两个面 ∴由公理 3 可知: P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上, 点 的交线上.
同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上. ∴P、Q、R 三点共线.
13

又 AB ? ?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. ?

空间四边形的有关概念: (1)顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形,叫做空间四边形; (2)四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点; (3)所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边; (4)连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。

14

如图:空间四边形ABCD中,AC、BD是 它的对角线

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空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托,如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.

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知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1:在平面内,如果两个角的两边分别对 应平行,那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗?举例说明

观察下图

等角或补角定理:在空间中如果两个角的两 边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
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知识探究: 等角定理及异面直线所成的角

问题2:平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?

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思考:
⑴ 作异面直线夹角时,夹角的大小与点O 的位置
有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?

⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?

⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?
它体现了什么样的数学思想?

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理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明:如图,连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线, 1 所以 FG//BD,FG ? BD. E A H

2

又因为EH是ΔABD的中位线

1 B 所以EH // BD,EH ? BD。 2
根据公理4,FG//EH,且FG=EH 。 所以,四边形EFGH是平行四边形。

D
F G

C
20

理论迁移
例2 如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方 体中的位置关系是( )
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线

D、相交成60°
C

C A D B
A

B(D)
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当堂练习1:根据下列条件作图:
? (1) A∈?,a≠ ?,A∈a; ? ? ? (2) a≠ ?,b≠ ?,c≠ ?,且a∩b=A,

b∩c=B,c∩a=C.

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当堂练习2:判断下列命题的真假,真的打“√”, 假的打“×” (1)空间三点可以确定一个平面 (2)两条直线可以确定一个平面 (3)两条相交直线可以确定一个平面 (4)一条直线和一个点可以确定一个平面 (5)三条平行直线可以确定三个平面 (6)两两相交的三条直线确定一个平面 (7)若四点不共面,那么每三个点一定不共线 当堂练习3:列图形中不一定是平面图形的( ) A、三角形 C、梯形 B、菱形 D、四边相等的四边形
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当堂练习4
下列结论正确的是( D ) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24

当堂练习5

如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E,F分别是AB , BC 的中点, 求证:EF∥A1C1.

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