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推荐高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4(2)放缩法几何法与反证法课后练习北师大版选修4

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最新中小学教案、试题、试卷
2016-2017 学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4(2) 放 缩法 几何法与反证法课后练习 北师大版选修 4-5

一、选择题 1.已知 a2+b2=1 且 c<a+b 恒成立,则 c 的取值范围是( )

A.(-∞,-2)

B.(-∞,- 2)

C.(- 2, 2)

D.(-∞, 2)

解析: 令 a=cos θ ,b=sin θ ,θ ∈R,

则 a+b=cos θ +sin θ = 2sin???θ +π4 ???≥- 2,∴c<- 2.
答案: B

2.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )

①结论相反的判断,即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论

A.①②

B.①②④

C.①②③

D.②③

解析: 反证法就是假设结论不成立,从结论相反的一面判断.再结合原命题的条件得到

我们熟悉的公理、定理、定义出发推出矛盾,显然④不成立.

答案: C 3.设 a、b、c、d∈R,a2+b2=1,c2+d2=1,则 abcd 的最小值等于( )

1 A.4

1 B.-4

C.12 解析: 因为 a2+b2=1≥2|ab|, 1=c2+d2≥2|cd|,

D.-12

所以|ab|≤12,|cd|≤12,

所以|abcd|≤14,

教案、试题、试卷中小学

1

所以-14≤abcd≤14.

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答案: B

4.已知 a、b、c、d 都是正数,S=a+ab+c+a+bb+d+c+cd+a+c+dd+b,则有(

)

A.0<S<1

B.1<S<2

C.2<S<3

D.3<S<4

解析:∵a+bb+c+b+cc+d+c+dd+a+d+aa+b>a+b+b c+d+a+b+c c+d+b+c+d d+a

+d+a+a b+c=aa++bb++cc++dd=1,

又由ab<ab+ +mm(0<a<b,m>0),

可得a+bb+c<a+bb++dc+d,(∵b<a+b+c)

b+cc+d<a+cb++ac+d,(∵c<b+c+d)

c+dd+a<a+db++bc+d,(∵d<c+d+a)

d+aa+b<a+ab++cc+d,(∵a<d+a+b)

∴a+bb+c+b+cc+d+c+dd+a+d+aa+b

<a+bb++dc+d+a+cb++ac+d+a+db++bc+d+a+ab++cc+d=

+b+c+ a+b+c+d

=2.

b

c

d

a

综上可知:1<a+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b<2.

答案: B 二、填空题 5.已知 a>0,b>0 且 a+b=1,则 z=2a+3b 的取值范围是________.

解析: 令 a=cos2θ ,b=sin2θ ,θ ∈???0,π2 ???, 则 z=2a+3b=2cos2θ +3sin2θ =2+sin2θ ,

教案、试题、试卷中小学

2

∵0<sin2θ <1,∴2<z<3.

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答案: (2,3)

6.用反证法证明“已知平面上有 n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为 d,距离为 d

的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为 n 条”时,假设的内容为________.

解析: 最多为 n 条可理解为小于等于 n,所以它的相反的结论是大于 n,所以答案为直

径的数目至少为 n+1 条.

答案: 直径的数目至少为 n+1 条

三、解答题

7.设 x,y 为正数,且 x+y=1,证明:???x12-1??????y12-1???≥9.

证明: 假设???x12-1??????y12-1???<9,

由于 x,y>0 且 x+y=1,所以

???x12-1??????y12-1???=1-x2x2×1-y2y2







x2

×





y2



+ x2

×

+ y2

1+x 1+y 1+x - = x × y = x × 1-x <9,

得(2x-1)2<0,与事实相矛盾,

∴假设不成立,

∴???x12-1??????y12-1???≥9.

8.求证:2(

n+1-1)<1+ 1 + 1 +…+ 1 <2

23

n

n(n∈N+).(提示

1> k

2



k+ k+1

2( k+1- k)k=1、2、3…n)

证明:∵ 1 >

2

=2( k+1- k),k=1,2,…,n.

k k+ k+1

∴1+ 1 + 1 +…+ 1 >2[( 2-1)+( 3- 2)+…+

23

n

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3

( n+1- n)]=2( n+1-1).

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又1<

2

=2( k- k-1),k=2,3,…,n.

k k+ k-1

∴1+ 1 + 1 +…+ 1 <1+2[( 2-1)+( 3- 2)+…+( n- n-1)]=1+2( n-1)

23

n

=2 n-1<2 n. 故原不等式成立.

9.若 a、b、c、d 均为实数,且 a=x2-2y+π2 ,b=y2-2z+π3 ,c=z2-2x+π6 ,求证: a、b、c 中至少有一个大于零.
证明: 假设 a、b、c 都不大于 0,则 a≤0,b≤0,c≤0, ∴a+b+c≤0. 而 a+b+c

=???x2-2y+π2 ???+???y2-2z+π3 ???+???z2-2x+π6 ??? =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π -3, ∴a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾. 故 a、b、c 中至少有一个大于零.

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4


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