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平面向量单元复习题(二)1

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平面向量单元复习题(二)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) → 1.若向量 a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中 A(1,2) ,B(3,2) ,则 x 等于( )

A.1 B.0 C.-1 D.2 2.已知命题正确的个数是 ( ) ①若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 ②(a·b)·c=a·(b·c) ③若 a·b=b·c(b≠0),则 a=c ④a·b= b·a ⑤若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 的夹角为锐角 A.1 B.2 C.3 D.4 3.将函数 y=log2(2x)的图象 F,按 a=(2,-1)平移到 F′,则 F′的解析式为 ( ) B.y=log2[2(x+2)]-1 A.y=log2[2(x-2)]-1 C.y=log2[2(x+2)]+1 D.y=log2[2(x-2)]+1 4.下面几个有关向量数量积的关系式: ①0·0=0 ②|a·b|≤a·b ③a2=|a|2 ④ a·b b 2 = |a| a ⑤(a·b)2=a2·b2 ⑥(a-b)2=a2-2a·b ( ( ) )

+b2 其中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知 a=(x,y) ,b=(-y,x)(x,y 不同时为零),则 a,b 之间的关系是 A.平行 B.不平行也不垂直 C.垂直 D.以上都不对 → 6.已知两点 A(2,3) ,B(-4,5) ,则与AB共线的单位向量是 A.e=(-6,2) 3 10 10 C.e=(- , ) 10 10 B.e=(-6,2)或(6,-2)





3 10 10 3 10 10 D.e=(- , )或( ,- ) 10 10 10 10 ( ) ) )

→ → → → 7.在△ABC 中,已知|AB|=4,|AC|=1,S△ABC= 3 ,则AB·AC等于

A.-2 B.2 C.±2 D.±4 8.若|a|=|b|=1,a⊥b,且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直,则 k 的值为 ( A.-6 B.6 C.3 D.-3 9.已知 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 a=2e1+e2;b=-3e1+2e2 的夹角是( A.30° B.60° C.120° D.150° 10.若|a-b|= 41-20 3 ,|a|=4,|b|=5,则 a 与 b 的数量积为 (



A.10 3 B.-10 3 C.10 2 D.10 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.若 a 与 b、c 的夹角都是 60°,而 b⊥c,且|a|=|b|=|c=1,则(a-2c)·(b+c)=_____. 12.已知 A(3,0) ,B(0,4) ,点 P 在线段 AB 上运动(P 可以与 A、B 重合) 是坐标原 ,O
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→ 点,则|OP|的取值范围为_____________. 13.已知 a=(λ,2),b=(-3,5)且 a 与 b 的夹角是钝角,则实数 λ 的取值范围是_______. → → → → → → → → 14.已知OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,则OP2,OP3的夹角为_______. → → → 15.等边△ABC 的边长为 1,AB=a,BC=b,CA=c,那么 a·b+b·c+c·a 等于 16.若对 n 个向量 a1,a2,…,an,存在 n 个不全为零的实数 k1,k2,…,kn,使得 k1a1+k2a2 +…+knan=0 成立,则称向量 a1,a2,…,an“线性相关”,请写出使得 a1=(1,0),a2= (1,-1),a3=(2,2)“线性相关”的一组实数 k1,k2,k3 的值,即 k1=_________,k2= ___________,k3=_____________.(答案不唯一) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 a 和 b 的夹角为 60°,|a|=10,|b|=8,求: (1)|a+b|; (2)a+b 与 a 的夹角 θ 的余弦值.

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18. (本小题满分 14 分)已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上 → 的高为 AD,求点 D 和向量AD.

19.(本小题满分 14 分)设 a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R) 求(1)a·b; (2)u 的模的最小值.

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→ → → 20.(本小题满分 15 分)已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及OP=OA+tAB 求: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

21. (本小题满分 15 分)已知 a=(3,4),b=(4,3),c=xa+yb,且 a⊥c,|c|=1,求 x 和 y 的值.

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平面向量单元复习题(二)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.-1 12 12. [ ,4] 5 10 13.( ,+∞) 3 14.120° 3 15.- 2 16.4 -2 -1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 a 和 b 的夹角为 60°,|a|=10,|b|=8,求: (1)|a+b|; (2)a+b 与 a 的夹角 θ 的余弦值. 【解】 (1)|a+b|= (a+b)2 = a2+2a·b+b2 = |a|2+|b|2+2|a||b|cos600 = 1 102+82+2×10×8× 2 =2 61

a·(a+b) a2+a·b 7 61 (2)cosθ= = = . 61 |a||a+b| 10×2 61 18. (本小题满分 14 分)已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上 → 的高为 AD,求点 D 和向量AD. → → → 【解】 设 D(x0,y0),则AD=(x0-2,y0+1),BC=(-6,-3),BD=(x0-3,y0-2) → → ?AD⊥BC ?-6(x0-2)-3(y0+1)=0 ∵? → → ,∴? ?-6(y0-2)+3(x0-3)=0 ?BC∥BD
?x0=1 → 解得,? ,∴D(1,1),AD=(-1,2) ?y0=1

19.(本小题满分 14 分)设 a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R) 求(1)a·b; (2)u 的模的最小值. 【解】 (1)a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68° =cos(23°-68°)=cos45°= 2 2

(2)∵|u|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2ta·b |a|2=cos223°+cos267°=cos223°+sin223°=1,|b|2=cos268°+sin268°=1 ∴|u|2=1+t2+2t 当 t=- 2 2 1 =(t+ )2+ 2 2 2

2 2 时,|u|min= . 2 2

→ → → 20.(本小题满分 15 分)已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及OP=OA+tAB 求: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.
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→ → 【解】 (1)∵OA=(1,2) ,AB=(4,5)-(1,2)=(3,3) → → → ∴OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t) 2 当 P 在 x 轴上时,有 2+3t=0,即 t=- 3 1 当 P 在 y 轴上时,有 1+3t=0,即 t=- 3
?1+3t<0 1 2 当 P 在第二象限时,有? ,即- <t<- 3 3 2+3t>0 ?

→ → (2)∵OP=(1+3t,2+3t),AB=(3,3). → → 假如四边形 OABP 能为平行四边形,则有OP=AB,即(1+3t,2+3t)=(3,3)
?1+3t=3 ∴有? ,该方程组无解, ?2+3t=3

∴假设不成立,∴四边形不能成为平行四边形. 21. (本小题满分 15 分)已知 a=(3,4),b=(4,3),c=xa+yb,且 a⊥c,|c|=1,求 x 和 y 的值. 3 【解】 设 c=(c1,c2), ∵a⊥c,a=(3,4) ∴3c1+4c2=0,c2=- c1 4 3 ∴c(c1,- c1),又∵|c|=1 4 3 ∴c12+(- c1)2=1 4 4 c1=± 5

?c =5 ∴? 3 ?c =-5
1 2

4

?c =-5 或? 3 ?c =5
1 2

4 4 3 4 3 ,∴c( ,- )或 c(- , ) 5 5 5 5

又已知 c=xa+yb=(3x+4y,4x+3y)

?3x+4y=5 ∴? 3 ?4x+3y=-5

4

?3x+4y=-5 或? 3 ?4x+3y=5

4

?x=-35 , 解得:∴? 5 ?y=7

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?x=35 或? 5 ?y=-7

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