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高三数学(理工类)模拟试题(2010

时间:2017-04-28


高三数学(理工类)模拟试题(2010.5)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积公式 V= 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)·P(B).

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
k k n ?k 率: P (k ? 0,1, 2,?, n) . n (k ) ? Cn p (1 ? p)

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限

2i 3 在复平面内对应的点位于 1? i
C.第三象限 D.第四象限 A. {x | 1 ? x ? 5}

B.第二象限

2.设全集 R,若集合 A ? {x || x ? 2 |? 3}, B ? {x | y ? lg( x ? 1)},则 CR ( A ? B) 为 B. {x | x ? ?1或x ? 5} C. {x | x ? 1或x ? 5} 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积(单位: cm )为
3

D. {x | ?1 ? x ? 5}

2

A.

2 3 3 8 3 3

B.

4 3 3
D.

2 3

2

C.

3 3

4.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? c 2 ? b 2 tan B ? 3ac ,

?

?

第 3 题图

则角 B 的值为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

高三数学(理工类)试题 第 1 页(共 4 页)
开始

5. 执行右边的程序框图,输出的结果为 A. 55 B. 89 C . 144 D. 233 6.关于函数 f ( x) ? sin x ? cos x 下列命题正确的是 A. f ( x ) 最大值为 2 B. f ( x ) 的图象向左平移

x=1,y=1

z=x+y

? 个单位后对应的函数是奇函数 4

z≤100


输出 y

C. y ?| f ( x) | 的周期为 2 ? D. f ( x ) 的图象向左平移


x=y y=z

? 个单位后对应的函数是偶函数 4

结束

第 5 题图

7. 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

A.

n 2 7n ? 4 4
x

B.

n2 n2 ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

1 的对称中心为 2 ?4 1 1 0) B. (2, ) C. (2, ) A. (0, 2 4
8.函数 f ? x ? ?

D. (2, )

1 8

3? 4 sin 2 ? ? sin 2? 9. 设 ? ? ? ? , sin ? ? ? ,则 的值为 2 5 cos2 ? ? cos 2?
A . 20 B.

? 20

C. 4

D. ? 4

10.已知 F1 、F2 分别是双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线左支上的一点,若 ?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 a 2 b2

的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 A.2 B.3 C. 4 D. 5

11. 关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 2 ? a ? 1 的解集为 R ,则 a 的取值范围是 A、 (0,1) B、 (—1,0) C . ( 1,2) D、 (? ??, ) 1

12.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

高三数学(理工类)试题 第 2 页(共 4 页)

高三数学(理工类)模拟试题
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 2 页, 必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答,不能写在试题卷上; 如需改动,先划掉原来的 答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用 2B 铅笔, 要字体工整, 笔迹清晰.在草稿纸上答题无效. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案. 13. .设 (5 x ?

1 x

) n 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 240 ,则 n=
.

.

14.若半径为 R 的球与正三棱柱的各个面都相切,则该正三棱柱体积的为

15.把编号为1,2,3,4的四封电子邮件发送到编号为1,2,3,4的四个网址,则至多有一封邮件的编号与网址的编号 相同的概率为 .

?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? 2 2 2 16 设 p : ?3 ? x ? 0 , q : x ? y ? r , ?x, y ? R, r ? 0? , 若 p是q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 则 r 的 取 值 范 围 ? x ? 3 y ? 12 ?
是 . 三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) y 3

设函数 f ?x? ? a ? b ,其中向量

? ? a ? (2cos x,1), b ? (cos x, 3sin 2x), x ? R
(1) 若函数 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? ? ? (2) 求函数 y ? f ?x ? 的单调增区间; 并在给出的坐标系中画出 y ? f ?x ? 在区间

? ? ?? , , 求x; ? 3 3? ?

[0, ? ] 上的图像.

高三数学(理工类)试题 第 2 页(共 4 页) 18.(本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族” , 否 则称为“非低碳族”.这两族人数占各自小区总人数的比例如下: A 小区 比例 低碳族 非低 碳族 B 小区 比例 低碳族 非低 碳族 C 小区 比例 P 低碳族 非低 碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

2 3

1 3

(1)从 A,B,C 三个社区中各选一人,求恰好有 2 人是低碳族的概率 (2)在 B 小区中随机选择 20 户,从中抽取的 3 户中“非低碳族”数量为 X ,求 X 的分布列和 EX 19(本小题满分 12 分) 已知几何体 ABCD ? EFG 中, ABCD 是边长为 2 的正方形, ADEG 与 CDEF
0 都是直角梯形,且 ?EDA ? ?EDC ? 90 , EF // CD, EG // AD, EF ? EG ?

1 DE ? 1, 2
F

(1) 求证: AC // 平面 BGF ; (2) 在 AD 上求一点 M ,使 GM 与平面 BFG
G

E

3 17 所成的角的正弦值为 . 17

D

C

A

B

第 19 题图 20(本小题满分 12 分) 某市投资甲、乙两个工厂,2008 年两工厂的年产量均为 100 万吨。在今后的若干年内,甲工厂的年产量每年比上一年增加 10 万吨,乙工厂第 n 年比上一年增加 2 (1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的 2 倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年底其中一个工厂被另一工厂兼并. 21(本小题满分 12 分)
n ?1

万吨;记 2008 年为第一年,甲、乙两工厂第 n 年的年产量分别记为 a n , bn .

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两端点 a b
构成等边三角形. (1)求椭圆的方程;

(2)过点 Q(-1,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交直线 x=-4 于点 E, AQ ? ?QB , AE ? ? EB ,求证 λ+μ 为定值. 22(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

a 2 x ? 1 ? cos x ( a ? 0 ) 2

(1)当 a ? 1 时,证明; 函数 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上是增函数; (2)若 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调增函数 ,求正数 a 的范围; (3)在(1)的条件下,设数列 满足: 0 ? an ? 1 ,且 an?1 ? f ?an ? , {an} 求证: 0 ? an?1 ? an ? 1 .

高三数学(理工类)试题 第 4 页(共 4 页)

高三数学(理工类)模拟试题参考答案(2010.5)
一、选择题:1. C 2.C 3.B 二、填空题:13.4 三、解答题: 17.解: (1)依题设得 f ?x? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x = 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 由 2 sin( 2 x ? ------------------------ ---2 分 --------------------------4 分 4. D 5. B
3

6.D 7. A

8.D 9.A 10.D

11. B

12.A

14. 6 3R

15.

17 24

16. ? 0, ? 5

? 12 ? ? ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ? 1 ? 3 得 sin(2 x ?

?
6

)??

3 2

??

?
3

?x?

?
3

,? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? 2x ? ? ? , 6 6 3

即x ? ?

?
4 -----------7 分 ? k? (k ? Z )

( 2) ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 即 ? ? k? ]( k ? Z )

?
3

? k? ? x ?

?
6

得函数单调区间为 [? x 0

?
3

? k? ,

?
6

-----

-----------------10 分

? 6
3

? 3
2

? 2
0

2? 3
-1

5? 6
0

?
3 2 2

y

y

2

1

O 1 18. 解: (1)记这 3 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A

? 6

? 3

? 2

2? 3

5? ? x 6

------------------------------12 分 ????????1 分

P( A) ?

1 4 1 1 1 2 1 4 2 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????6 分 2 5 3 2 5 3 2 5 3 15
k 3? k C4 C16 , ?k ? 0,1,2,3? 3 C20

(I2)在 B 小区中随机选择 20 户中, “非低碳族”有 4 户.

P? X ? k ? ?

????--------------------8 分

X

0

高三数学(理工类)参考答案 第 1 页(共 4 页) 1 2 3

P

28 57

24 57

8 95

1 285

--------------------------------------10 分

EX ? 0 ?
19. 证明:

28 8 1 ? 2 ? ? 3? ? 0.6 57 95 285

----------------------------12 分

(1) ? ED ? DA, ED ? DC , ED ? 面ABCD 建立坐标系 DA, DC , DE

?

???? ????? ????

?

则 A?2,0,0?, B?2,2,0?, C ?0,2,0?, E?0,0,2? G?1,0,2?, F ?0,1,2? ------------------------3 分

AC ? ?? 2,2,0?, GF ? ?? 1,1,0?? AC ? 2GF , AC // GF
AC ? 面BFG, FG ? 面BFG, AC // 平面 BGF -----------------------------------6 分
(2)设点 M 的坐标为 ? x,0,0? ,则 GM ? ( x ?1,0, ?1), BF ? (?2, ?1, 2),

???? ?

??? ?

? ? ??? ? 3 BG ? (?1, ?2, 2), 设平面 BGF 的法向量为 n ,则可求得 n = (1,1, ) ,---------------------------9 分 2 GM 与平面 BFG 所成的角为 ? , z
E F G

则 sin ? ?| cos BG, n |?

??? ? ?

x?2 ( x ? 1)2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 9 4

?

3 17 , 17

解得 x ? 1. ,所以 M 是 AD 的中点 --------------------------------12 分

第 19 题图 20. 解析: (1)因为 ?an ? 是等差数列, a1 ? 100, d ? 10 ,所以 an ? 10n ? 90---------3 分 因为 bn ? bn?1 ? 2 n?1 , bn?1 ? bn?2 ? 2 n?2 ,……. b2 ? b1 ? 2 , 所以 bn ? 100? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 98 -----------------------------------6 分

高三数学(理工类)参考答案 第 2 页(共 4 页) (2)当 n ? 5 时, an ? bn 且 an ? 2bn 当 n ? 6 时, an ? bn ,所以甲工厂有可能被乙工厂兼并 ---------------------9 分

2an ? bn 即 2(10n ? 90) ? 2 n ? 98
解得 n ? 8 ,故 2015 年底甲工厂将被乙工厂兼并
2

-------------------------12 分

? 2b x2 ? 1 ?a ? 2 ? ? y 2 ? 1 -----------------------4 分 21. 解: (1)由条件得 ? a ,所以方程 ?? 4 ?b ? 1 ?2b ? a ?
(2)易知直线 l 斜率存在,令 l : y ? k ( x ? 1), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), E(?4, y0 )

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
x1 ? x2 ? ?

? ? 48k 2 ? 16 ? 0

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? --------------------------------------------6 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ??? ? ??( x1 ? 1) ? ? ( x2 ? 1) 由 AQ ? ? QB ? (?1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 )即 ? ? y1 ? ?? y2 x ?1 得? ? ? 1 ---------------------------------------------------------------------------8 分 x2 ? 1
由 AE ? ? EB ? (?4 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ? y0 )即 ? 得? ? ?

??? ?

??? ?

??( x1 ? 4) ? ? ( x1 ? 4) ? y0 ? y1 ? ? ( y2 ? y0 )

x1 ? 4 x2 ? 4

------------------------------------------------------------10 分

?? ? ? ? ?

( x1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 1) 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ?? 1 2 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)
8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 代入 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

将 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ? 8 40k 2 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ? ? 8 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?? ? 0 ---------------12 分 有? ? ? ? ? ? ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)
22. (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ?

1 2 x ? 1 ? cos x , g ?x? ? f / ( x) ? x ? sin x ------2 分 2

g / ?x? ? 1 ? cos x ? 0, ?x ? ?0,??? 恒成立
所以 y ? g ?x ? 在 ?0,??? 上是增函数,所以 f
/

?x ? ?

f

/

?0? ? 0

? 函数 y ? f ?x ?在 ?0,??? 上是增函数-------------------------------------------------------4 分
高三数学(理工类)参考答案 第 3 页(共 4 页) (2) 由 f ? x ? ?

a 2 x ? 1 ? cos x ,得 h?x? ? f / ( x) ? ax ? sin x 2
-----------------5 分

, 若 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调增函数,则

f / ( x) ? ax ? sin x ? 0 恒成立

当 a ? 1 时, ?x ? ?0,??? ,恒有 ax ? x ? sin x ,此时 f / ( x) ? ax ? sin x ? 0 所以 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调增函数 -------------------------------------8 分

当 0 ? a ? 1 时, h / ?x? ? a ? cos x ? 0 ,得 cos x ? a ,在 ? 0, ? 上存在 x0 使得 cos x0 ? a 当 x ? ?0, x0 ? 时, h / ?x? ? a ? cos x ? 0 , h?x ? ? f 矛盾,所以 a ? 1 ----------------------------10 分
/

? ?? ? 2?

?x ? ?

f / ?0? ? 0 ,这与 ?x ? ?0,??? , f / ( x) ? ax ? sin x ? 0

恒成立

(3) 由(1)当 0 ? x ? 1 , 0 ? f ?0 ? ? f ? x ? ? f ?1? ? ?

1 ? cos 1 ? 1 ------------11 分 2

当 0 ? a1 ? 1, a2 ? f ?a1 ? ? ?0,1? ,假设 0 ? ak ? 1,则 ak ?1 ? f ?ak ? ? ?0,1? 所以 ?x ? N ? ,0 ? an ? 1 又 a n ? a n ?1 ? a n ? - -----------------------------------------12 分

1 2 a n ? 1 ? cos a n 2 1 2 3 1 ( 1, ) 因为 ? a n ? a n ? 1 ? , ? cos a n ? 1 2 2 2 1 2 所以 a n ? a n ?1 ? a n ? a n ? 1 ? cos a n ? 0 即 a n ? a n ?1 2
所以 0 ? an?1 ? an ? 1 -------------------------------------------------14 分

高三数学(理工类)参考答案 第 4 页(共 4 页)


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