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2019-2020年高二下学期期中考试(数学)(I)

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2019-2020 年高二下学期期中考试(数学)(I)

第Ⅰ卷
注意:考试时间 100 分钟,满分 100 分,选择答案填入答题卡内,交卷时只交第Ⅱ卷。 一、选择题(本大题包括 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、集合 P ? {x,1}, Q ? { y,1, 2}, 其中 x, y ?{1, 2,3, ???,9} ,且 P ? Q ,把满足上述条件的一对 有序整数对 {x, y} 作为点,这样的点的个数是 ( )

A、9 B、14 C、15 D、21 2、把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数 为 b ,向量 m ? (a, b), n ? (1, ?2) ,则向量 m ? n 的概率是 A、 ( )

1 6

B、

1 12

C、

1 9

D、

1 18

2n?6 n?2 3、若 C20 ? C20 (n ? N ) ,且 (2 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? an xn ,则 a0 ? a1 ?a2 ? …

?(?1)n an ?
A、 ? 1 B、 1 C、 16 D、 81





4、已知矩形 ABCD 的一边 CD 在平面 ? 内, AC 与平面 ? 所成角为 60 ,若 AB ? 2 ,

AD ? 4 ,则 AB 到平面 ? 的距离为
A、 15 B、 5 C、 10 D、 3





5、设命题甲:“直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,平面 ACB1 与对角面 BB 1D 1 D 垂直”,命题乙: “直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体”,那么甲是乙的 ( )

A、充分必要条件 B、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D、既非充分又非必要条件 6、将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的 方案种数是 ( ) A、360 B、300 C、180 D、150 7、某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙至少有一人参加.当甲 乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 ( ) 360 520 720 A、 B、 C、600 D、 8、在半径为 3 的球面上有 A 、 B 、C 三点,?ABC ? 90 , BA ? BC ,球心 O 到平面 ABC

的距离是 A、 2?

3 2 ,则 B 、 C 两点的球面距离为 2
B、 ? C、





4 ? ? D、 3 3 3 4 9、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ,且各次射击相互独立,若按甲、乙、 4 5
甲、乙、…的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则射击停止时,甲射击了 两次的概率是 ( ) A、

3 80

B、

9 20

C、

9 25

D、

19 400
B

10、 (理)如图,棋盘式街道中,某人从 A 地出 发到达 B 地,若限制行进方向只能向右或向上, 那么不经过 E 地的概率为 ( ) A、

2 5

B、

3 5

C、

3 7

D、

1 2

E A

10、 (文)教师想从 52 名学生中抽取 10 名分析期中考试情况,一孩子在旁边随手拿了两支签, 教师没在意,在余下的 50 个签中抽了 10 名学生,则其中的“学生甲”被教师抽到的概率为 ( ) A、

5 26

B、

1 5

C、

1 26

D、

3 26

第 II 卷
二、填空题(本大题包括 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11、在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有 192 个. 12、某公司有三个顾问,假定每个顾问发表的意见是正确的概率均为 0.8 ,现就某事可行与否 征求各顾问的意见,并按顾问中多数人的意见作出决策,那么作出正确的决策的概率

0 . 8 9 .6
13、甲、乙、丙 3 人站在共有 7 级的台阶上,其中每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数 336 (用数字作答) 。

E 、 F 分别为棱 AB 和 CC1 的中点, 14、 (理)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
则线段 EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为 14、 (文)若一个正六棱柱的体积为

2.
4 ?. 3

9 ,底面周长为 3,则它的外接球的体积为 8

15、 (理)有 3 张都标着字母 R,5 张分别标着数字 1,2,3,4,5 的卡片,若任取其中 4 张 卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于 500 (用数字作答). 15、 (文)在 5 张分别标着数字 1,2,3,4,5 的卡片中,任取其中 3 张卡片,和 3 张都标着 字母 R 的卡片一同组成牌号, 则可以组成的不同牌号的总数等于 1200 (用数字作答) .

三、解答题(本大题包括 5 小题,共 40 分) 16、 (本小题 8 分)书架上有 10 本不同的书,其中语文书 4 本,数学书 3 本,英语书 3 本, 现从中取出 3 本书.求: ( 1 )3 本书中至少有 1 本是数学书的概率; ( 2 )3 本书不全是同科目书的概率. 解: (1)3 本书中至少有 1 本是数学书的概率为
1 2 1 3 C3 C7 C32C7 C3 17 P? 3 ? 3 ? 3 ? . C10 C10 C10 24 3 C7 17 ? . 3 C10 24

(4 分)

或解 P ? 1 ?

(4 分)

(2)事件“3 本书不全是同科目书”的对立事件是事件“3 本书是同科目书”, 而事件“3 本书是同科目书”的概率为
/

3 3 3 C3 C3 C4 1 ? ? ? 3 3 3 C10 C10 C10 20

(7 分

1 19 ? . (8 分) 20 20 17、 (理) (本小题 8 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 ,以 BD 的中点 O 为球心、BD 为直径的球面交 PD 于 点M . (1) 求证:平面 ABM ? 平面 PCD ; (2)求点 O 到平面 ABM 的距离. P 证明: (1)由题意, M 在以 BD 为直径的球面上, 则 BM ? PD.
∴3 本书不全是同科目书的概率 P ? 1 ?

PA ? 平面 ABCD ,则 PA ? AB,
又 AB ? AD ,? AB ? 平面 PAD ,

M

O ? PD ? 平面 ABM , C B ∴平面 ABM ? 平面 PCD . (3 分) (2)∵ O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于点 D 到平面 ABM 的距离的一半, 由(1)知, PD ? 平面 ABM 于 M ,则线段 DM 的长就是点 D 到平面 ABM 的距离.
(5 分) ∵在 RT ?PAD 中, PA ? AD ? 4, PD ? AM , ∴ M 为 PD 的中点, DM ? 2 2, 则点 O 到平面 ABM 的距离为 2. (7 分) (8 分)

∴ AB ? PD , BM

AB ? B,

A

D

(其它方法可参照上述评分标准给分) 17 、 (文) ( 本 小 题 8 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平 面 A B C D ,

PD ? DC ? BC ? 1, AB ? 2 , AB / / DC , ?BCD ? 90 .

P

D

C

(1)求证: PC ? BC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 证明: (1) PD ? 平面 ABCD ,

? P D? B C , 又 BC ? CD, PD DC ? D,
? BC ? 平面 PCD,? BC ? PC.
(4 分)

(2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 d ,

VA? P B C ?V

?P

, A BC

1 1 ? S ?PBC ? d ? S ?ABC ? PD , 3 3
(8 分)

求得 d ? 2. 即点 A 到平面 PBC 的距离为 2. (其它方法可参照上述评分标准给分)

18、 (本小题 8 分) 已知 f ( x) ? ( 3 x 2 ? 3x 2 )n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大

992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:(1)令 x ? 1 ,则二项式各项系数的和为 f (1) ? (1 ? 3)n ? 4n , 又展开式中各项的二项式系数的和为 2 , ∴ 4 ? 2 ? 992 ,?(2n ? 31)(2n ? 32) ? 0,
n n
n

∴ 2 ? 31 ? 0 (舍)或 2 ? 32 ? 0 ,解得 n ? 5.
n n

(2 分)

∵ n ? 5 是奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是:

T3 ? C ( x )
2 5 2

2 3 5? 2

(3x2 )2 ? 90 x6 ,
22

3 T4 ? C5 ( x 3 )5?3 (3x2 )3 ? 270 x 3 . r (2)展开式的通项为 Tr ?1 ? C5 ( x 3 )5?r (3x 2 )r ? C5r 3r x 3
r r r ?1 r ?1 ? ?C5 3 ? C5 3 , 设 Tr ?1 项的系数最大,则有 ? r r r ?1 r ?1 ? ?C5 3 ? C5 3 ,

(5 分)
2 (5? 2 r )

2

,

5! ? 5! r r ?1 ? (5 ? r )!r ! ? 3 ? (6 ? r )!(r ? 1)! ? 3 , ? 即 ? 5! ? 5! ? 3r ? ? 3r ?1 , ? (4 ? r )!(r ? 1)! ? (5 ? r )!r !


7 9 ? r ? , r ? N ,? r ? 4. 2 2

4 ∴展开式中系数最大的项为 T5 ? C5 ( x 3 )5?4 (3x2 )4 ? 405x 3 .

2

26

(8 分)

19、 (本小题 8 分)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 3 ,侧棱 AA1 ?

3 3 , 2

D 是 CB 延长线上一点,且 BD ? BC.
(1)求证:直线 BC1 / / 平面 AB1D ; (2)求二面角 B1 ? AD ? B 的大小. 证明: (1) CD / /C1B1 ,又 BD ? BC ? B1C1 , ∴四边形 BDB1C1 是平行四边形,∴ BC1 / / DB1 , 又 DB1 ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D , ∴直线 BC1 / / 平面 AB1D. (2)过 B 作 BE ? AD 于 E ,连结 EB1 , ∵ BB1 ? 平面 ABD,? B1E ? AD.
D B C B1 C1 A A1

(3 分)

??B1EB 是二面角 B1 ? AD ? B 的平面角。
∵ BD ? BC ? AB,? E 是 AD 的中点, BE ?

(5 分)

1 3 AC ? , 2 2

3 3 B1 B 2 在 RT ?B1BE 中, tan ?B1 EB ? ? ? 3, 3 BE 2 ? ∴ ?B1 EB ? , 即二面角 B1 ? AD ? B 的大小为 60 . 3

(8 分)

(其它方法参照上述评分标准给分) 20、 (理) (本题 8 分)甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有平局,在一局 比赛中,甲胜乙的概率为

3 4 3 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,比赛的规则是先 5 5 5

由甲和乙进行第一局的比赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比 赛,在比赛中,有人获胜两局就算取得比赛的胜利,比赛结束. (1)求只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率; (2)求只进行两局比赛,比赛就结束的概率; (3)求甲取得比赛胜利的概率. 解: (1)只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率为:

P 1 ?

3 4 12 ? ? . 5 5 25
3 4 2 3 18 ? ? ? ? . 5 5 5 5 25

(2 分)

(2)只进行两局比赛,比赛就结束的概率为:

P2 ?

(4 分)

(3)甲取得比赛胜利共有三种情形: 若甲胜乙、甲胜丙,则概率为

3 4 12 ? ? ; 5 5 25

3 1 3 3 27 ? ? ? ? ; 5 5 5 5 625 2 2 4 3 48 ? ? ? ? 若甲负乙、乙负丙,则甲胜丙,甲胜乙,概率为 ; 5 5 5 5 625 12 27 48 3 ? ? ? . ∴甲获胜的概率为 (8 分) 25 625 625 5
若甲胜乙、甲负丙,则丙负乙,甲胜乙,概率为 20、 (文) (本小题 8 分)甲、乙两人做定点投篮,投篮者若投中则继续投篮,否则由对方投 篮,第一次甲投篮,已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 命中互不影响. (1)求第三次由乙投篮的概率; (2)求前 4 次投篮中各投两次的概率. 解: (1)第 3 次由乙投篮分两种情况:

1 2 、 ,且甲、乙投篮是否 2 3

1 1 1 ? ? ; 2 2 4 1 2 1 甲第一次不中,第二次乙中的概率为 P2 ? ? ? ; 2 3 3 7 . ? 第三次由乙投篮的概率为 P ? P 1?P 2 ? 12
甲第一次命中,第二次不中的概率为 P 1 ? (2)前 4 次各投两次有以下三种情况: 第一次甲不中、第二次乙不中、第三次甲不中、第四次乙投; 第一次甲不中、第二次乙中、第三次乙不中、第四次甲投; 第一次甲中、第二次甲不中、第三次乙中、第四次乙投 所以所求概率 P ?
/

(4 分)

1 1 1 1 2 1 1 1 2 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 2 2 3 3 2 2 3 36

(8 分)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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