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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测):_专题2.12_函数模型及其应用(测)(有解析)

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专题 2.12 函数模型及其应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分 100 分,测试时间 50 分钟) 一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置 上(共 10 题,每小题 6 分,共计 60 分). ........ 1. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为 ________m. 【答案】20

2.如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平,那么要达到国民经济生产 总值比 1995 年翻两番的年份大约是________. (lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,lg109=2.037 4,lg0.09=-2.954 3) 【答案】2011 年 2lg2 x 【解析】 设 1995 年总值为 a,经过 x 年翻两番,则 a·(1+9%) =4a.∴x= ≈16. lg1.09 3. 给出下列函数模型:①一次函数模型;②幂函数模型;③指数函数模型;④对数函数模型.下表是函数值

y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是________(填序号).

x y
【答案】①

4 15

5 17

6 19

7 21

8 23

9 25

10 27

【解析】根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模 型. 4.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=
3

ae-bt(cm3),若经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时
的八分之一. 【答案】16 【解析】当 t=0 时,y=a;当 t=8 时,y=ae ∴e
-8b -8b

1 = a, 2

1 = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2
-bt

即 y=ae e
-bt

1 = a. 8

1 -8b 3 -24b = =(e ) =e ,则 t=24,所以再经过 16 min. 8

5.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药

-1-

量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式 y=( 根据图中提供的信息,回答下列问题:

1 t-a ) (a 为常数),如图所示, 16

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为 __________________________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始, 至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 10t,0≤t≤0.1, ? ? 【答案】(1)y=? 1 t-0.1 ,t>0.1 ? ? 16

(2)0.6

6.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物 数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t(单位:h)之间的函数关系为 P=P0e-kt(k,P0 均为正的常数).如果在前 5 个 小时的过滤过程中污染物被排除了 90%,那么至少还需过滤 【答案】5 h 【解析】设原污染物数量为 a,则 P0=a.由题意有 10%a=ae 超过 1%,则有 1%a≥ae
-tk -5k

才可以排放.

,所以 5k=ln10.设 t h 后污染物的含量不得

,所以 tk≥2ln10,t≥10.因此至少还需过滤 10-5=5 h 才可以排放.

7.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不 超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐 需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9 【解析】设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,

-2-

9,0<x≤3, ? ? x- 则 y=?8+ ? ?8+2.15×5+ 由 y=22.6,解得 x=9.

+1,3<x≤8,

x-

+1,x>8.

8.某杂志每本原定价 2 元,可发行 5 万本,若每本提价 0.20 元,则发行量减少 4 000 本,为使销售总收入不 低于 9 万元,需要确定杂志的最高定价是 【答案】3 元

9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为 30 000 元,旅游团中的每人的飞机票按 以下方式与旅行社结算:若旅游团中的人数在 30 或 30 以下,飞机票每张收费 1 800 元.若旅游团的人数多 于 30 人,则给以优惠,每多 1 人,机票费每张减少 20 元,但旅游团的人数最多有 75 人,那么旅游团的人数 为_______人时,旅行社获得的利润最大. 【答案】60 【解析】设旅游团的人数为 x 人,飞机票为 y 元,利润为 Q 元,依题意, ①当 1≤x≤30 时,y =1 800 元,此时利润 Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此时最大值是当 x=30 时,Qmax=1 800 ×30-30 000=24 000(元); ②当 30<x≤75 时,y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润 Q=yx-30 000 =-20x +2 400x-30 000=-20(x-60) +42 000, 所以当 x=60 时,旅行社可获得的最大利润 42 000 元. 综上,当旅游团的人数为 60 人时,旅行社获得的利润最大. 10.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/100 kg)与上市时 间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 60 116 100 84 180 116
2 2

根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系. Q=at+b,Q=at +bc+c,Q=a·b ,Q=a·logbt 利用你选取的函数,求得: (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).
-32 t

【答案】(1)120

(2)80

二、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内 。(共 4 ..... 题,每小题 10 分,共计 40 分). 11. 【江苏省泰州中学 2017 届高三摸底考试】某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调

?1,1 ? x ? 20( x ? N *), ? 研表明, 该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润函数 f ( x) ? ? 1 (单位: 万元) . 为 x , 21 ? x ? 60( x ? N *) ? ?10
了获得更多地利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润率为

g ( x) ?

第x个月的利润 f (3) ,例如 g (3) ? . 第x个月的资金总和 81 ? f (1) ? f (2)

(1)求 g (10) ; (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

? 1 ,1 ? x ? 20, ? 1 ? 80 ? x 【答案】 (1) (2) g ( x) ? ? (3)40 2x 90 ? , 21 ? x ? 60. ? x 2 ? x ? 1600 ?
【解析】

-4-

-5-

12【无锡市普通高中 2017 届高三上学期期中基础性检测】 (本题满分 16 分) 某工厂第一季度某产品月生产量依次为 10 万件,12 万件,13 万件,为了预测以后每个月的产量,以这 3 个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y (单位:万件)与月份 x 的关系. 模拟函数

1: y ? ax ?

b ? c ;模拟函数 2 : y ? m ns ? s . x

(1)已知 4 月份的产量为万件,问选用哪个函数作为模拟函数好? (2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过 15 万件,请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量. 【答案】(1) y ? ax ? 【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用已知建立方程组分析探求;(2)借助题设运用函数的思想分析探求. 试题解析: (1)若用模拟函数 1: y ? ax ?

b ? c ;(2) 13.875 . x

b ? c ,则有 x

-6-

? ? 10 ? a ? b ? c ? 1 25 b ? , . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ?12 ? 2a ? ? c ,解得 a ? , b ? ?3, c ? 2 2 2 ? b ? 13 ? 3a ? ? c ? 3 ?
即y?

x 3 25 ? ? ,当 x ? 4 时, y ? 13.75 . . . . . . . . . . . . . .5 分 2 x 2

若用模拟函数 2: y ? m n x ? s ,则有

13. 【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017 届高三年级第三次调研考试】某景区修建一栋复古建筑,其窗 户设计如图所示.圆 与左右两边相交( 半径为 1 ,且 的圆心与矩形 , 对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切( 为上切点),

为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的 ,设 ,透光区域的面积为 .

(1)求

关于的函数关系式,并求出定义域; 的长度.
-7-

(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边

【答案】(1)

关于的函数关系式为

,定义域为 的长度为 1 .



(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,

(2)矩形窗面的面积为 则透光区域与矩形窗面的面积比值为

. .











因为

,所以

,所以

,故



-8-

所以函数



上单调减.

所以当

时,

有最大值

,此时

答:(1)

关于的函数关系式为

,定义域为 的长度为 1

; .

(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,

14. 【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 】某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量

w (单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系: w ? 4 ?

3 ,且投入的肥料费用不超过 5 x ?1

百元.此外, 还需要投入其他成本 (如施肥的人工费等)2 x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克 (即 16 百元/百千克) ,且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为 L ? x ? (单位:百元). (1)求利润函数 L ? x ? 的函数关系式,并写出定义域; (2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)见解析(2)当投入的肥料费用为 300 元时,种植该果树获得的最大利润是 4300 元.

-9-


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