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浅谈高等代数的应用

时间:2018-06-30


浅谈高等代数的应用
马克思曾经说过, 一门学科只有成功地应用了数学时才真正的达到了完善的地步。 数学 在经济学、物理学、化学以及生物学等很多领域都有非常广泛的应用,在学习高等代数的过 程中, 我发现代数在生活和实践中都有着不可或缺的位置。 高等代数的主要学习中心又是矩 阵, 就如在线性方程组的讨论中我们看到, 线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵 和增广矩阵的性质上, 并且解方程组的过程也表现为交换这些矩阵的过程。 除线性方程组之 外, 还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念, 并且这些问题的研究常常反映为有关 矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成 矩阵为问题以后却是相同的。 故矩阵的地位在代数中是不能比拟的。 下面就矩阵在化学方程 式的平衡问题、交通流量问题、几何应用等方面来进行讨论。

化学方程式的平衡问题
在光合作用过程中,植物能利用太阳光照射将二氧化碳( CO2 )和水( H 2O )转化成葡萄糖 ( C6 H12O6 )和氧气( O2 ).该反应的化学反应时具有下列形式

x1CO2 ? x2 H2O ? x3O2 ? x4C6 H12O6
为了使反应平衡,我们必须选择恰当的 x1 , x2 , x3 及 x4 才能使反应式两端的碳(C)原子, 氢(H)原子及氧(O)原子数目对应相等。由 CO2 含有一个 C 原子,而 C6 H12O6 含有 6 个 C 原子,故为维持平衡,必须有

x1 ? 6 x4
类似地,为了平衡 O 原子,必须有

2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 6 x4
最后,为了平衡 H 原子,必须有

2 x2 ? 12 x4
如果将所有未知量移至等号左边,那么将得到一个齐次线性方程组

? x1 ? 6 x2 ? 0 ? ?2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 6 x4 ? 0 ?2 x ? 12 x ? 0 ? 2 4
显然方程组有非零解,为了使化学反应式两端平衡,必须找到一个每个分量均为正数的解

? x1 , x2 , x3 , x4 ?

T

。按通常解法我们可以取 x4 作为自由未知量,且有

? x1 ? 6 x4 ? ? x2 ? 6 x4 ?x ? 6x 4 ? 3

特别地,取 x4 ? 1时,则 x1 ? x2 ? x3 ? 6 。此时化学反应式具有形式

6CO2 ? 6H2O ? 6O2 ? C6 H12O6

交通流量问题
某城市单行线如图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). (1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3)当 x4=350, 确定 x1,x2,x3 的值. (4)若 x4=200, 则单行线应该如何改动才合理? 提示: (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. (3)矩阵 化成行最简矩阵的命令是 rref(A)

模型假设:(1)每条道路都是单行线(2)每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等 模型建立:根据上图和上述条件,在① ,② ,③ ,④ 四个路口进出车辆数目分别满足 500= x1 ? x2 ①

400 ? x1 ? x4 ? 300 ② x2 ? x3 ? 100 ? 200 ③ x4 ? x3 ? 300
模型求解:根据上述等式可得如下线性方程组 ④

? x1 ? x2 ? 500 ? x ? x ? ?100 ? 1 4 ? ? x2 ? x3 ? 300 ? ? ? x3 ? x4 ? 300

其增广矩阵

? ? ( A, b) ? ? ? ? ?
由此可得:

1 1 0 0

1 0 0 500 ? ?1 ? ?0 0 0 -1 -100 ? ?? ?0 1 1 0 300 ? ? ? 0 -1 1 300 ? ?0
? x1 ? x4 ? ?100 ? ? x2 ? x4 ? 600 ? x ? x ? ?300 ? 3 4

0 0 -1 -100 ? 1 0 1 600 ? ? 0 1 -1 -300 ? ? 0 0 0 0 ?



? x1 ? x4 ? 100 ? ? x2 ? ? x4 ? 600 ? x ? x ? 300 4 ? 3

为了唯一确定未知流量,只要增添 x4 统计的值就可以了 当 x4 ? 350 时,确定 x1 ? 250, x2 ? 250, x3 ? 50 当 x4 ? 200 ,则 x1 ? 100,x2 ? 400, x3 ? ? 100 ? ,这表明单行线“③ 0 ? ④”应该改为 “③? ④ ”才合理。 模型分析:由(A,b)的行最简形可见,上述方程组中的最后一个方程组是多余的.这意味着 最后一个方程中的数据“300”可以不用统计。

几何应用
? a1 b1 c1 ? ? a1 b1 c1 ? ? ?? ? 设矩阵 ? a 2 b 2 c 2 ? ? a 2 b 2 c 2 ? 满秩,试判断两直线 ? ? a 3 b3 c3 ? ?? ? a 3 b3 c3 ? ?

L1 :

x? a y? 3 b 3 ? ? a1 ? a2 b1 ? b2

z ? 3c x ? a1 y ? b1 z ? c1 与 L2 : 的关系。 ? ? c ? c2 a2 ? a3 b2 ? b3 c2 ? c3 1

解:将 ai ? ?ai , bi , ci ? 视为空间中三点 M i (i ? 1, 2,3) 对应的向量,由空间解析几何中关于三 向量混合积的几何意义知,直线 L1 与 L2 共面的充要条件是 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a1 三向量共 面(线性相关)。很明显, (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? (a3 ? a1 ) ? 0 ,故 L1 与 L2 共面。而令

k1 (a1 ? a2 ) ? k2 (a2 ? a3 ) ? 0 ,由题设矩阵满秩,即 a1 , a2 , a3 线性无关得, k1 ? k2 ? 0 ,即 a1 ? a2 与 a2 ? a3 线性无关,亦即两向量 a1 ? a2 , a2 ? a3 不平行,因此 L1 与 L2 相交。


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