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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】第二章推理与证明 章末检测

时间:2013-11-12


章末检测
一、选择题 1. 由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,?,得到 1+3+?+(2n-1)=n2 用的是 ( A.归纳推理 C.类比推理 B.演绎推理 D.特殊推理 ) )

2. 在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为( A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EF∥BC 3. 用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是 A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数 2f?x? 4. 已知 f(x+1)= ,f(1)=1(x∈N*),猜想 f(x)的表达式为 f?x?+2 4 A. x 2 +2 1 C. x+1 2 B. x+1 2 D. 2x+1 ( ) ( )

5. 已知①正方形的对角线相等,②矩形的对角线相等,③正方形是矩形.根据“三段论” 推理出一个结论,则这个结论是 A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.正方形是矩形 D.其他 6. 对“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b 与 b=c 及 a=c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为 ( ) ( )

A.0 个 C.2 个

B.1 个 D.3 个

7. 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状 完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有 ( )

①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱椎. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ( D.3 )

1 1 8. 数列{an}满足 a1= ,an+1=1- ,则 a2 013 等于 2 an 1 A. 2 B.-1 C.2

9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),且 f(x)在(2,+∞)上为增函数.已知 x1 +x2<4 且(x1-2)· 2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值 (x A.恒小于 0 C.可能等于 0 二、填空题 10.从 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52 中,可得到一般规律为_________. 11.如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图,设第 n 个图有 an 个“树枝”,则 an+1 与 an(n≥2)之间的关系是______. B.恒大于 0 D.可正也可负 ( )

AE AC 12.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 = ,把这个结论类 EB BC 比到空间:在三棱锥 A—BCD 中(如图所示),面 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相 交于 E,则得到的类比的结论是________.

三、解答题 13.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立: (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 14.1, 3,2 能否为同一等差数列中的三项?说明理由. 15.设 a,b 为实数,求证: a2+b2≥ 2 (a+b). 2

1 16.设 a,b,c 为一个三角形的三边,s= (a+b+c),且 s2=2ab,试证:s<2a. 2

17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an=2-Sn(n∈N*). (1)求 a1,a2,a3,a4 的值并写出其通项公式; (2)用三段论证明数列{an}是等比数列. 1 1 1 18.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若 , , 成等差数列. a b c (1)比较 b 与 a c 的大小,并证明你的结论; b

(2)求证:角 B 不可能是钝角.

答案
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 11.an+1=2an+1(n≥1) AE S△ACD 12. = EB S△BCD ]13.解 (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交, 则必和另一个相交. 结论是正确的:证明如下:设 α∥β,且 γ∩α=a, 则必有 γ∩β=b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ∥β, 又 α∥β,∴α∥γ,与 γ∩α=a 矛盾, ∴必有 γ∩β=b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误 的,这两个平面也可能相交. 14.解 假设 1, 3,2 能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为 d, 则 1= 3-md,2= 3+nd, m,n 为两个正整数,消去 d 得 m=( 3+1)n. ∵m 为有理数,( 3+1)n 为无理数, ∴m≠( 3+1)n. ∴假设不成立. 即 1, 3,2 不可能为同一等差数列中的三项. 15.证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2

当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 要证 a2+b2≥ 2 (a+b), 2 2 ?2, ? 2 ?a+b??

只需证( a2+b2)2≥?

1 即证 a2+b2≥ (a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2

综上所述,对任意实数 a,b 不等式都成立. 16.证明 要证 s<2a,由于 s2=2ab, s2 所以只需证 s< ,即证 b<s. b 1 因为 s= (a+b+c), 2 所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立. 1 1 1 1 - 17.解 (1)由 an=2-Sn,得 a1=1;a2= ;a2= ;a4= ,猜想 an=( )n 1(n∈N*). 2 4 8 2 an+1 (2)对于通项公式为 an 的数列{an},若 =p,p 是非零常数,则{an}是等比数列,大前提 an an+1 1 1 - 因为通项公式 an=( )n 1,又 = ,小前提 2 an 2 1 - 所以通项公式为 an=( )n 1 的数列{an}是等比数列.结论 2 18.(1)解 要证 b < a b < a c .证明如下: b c b c ,只需证 < , b a b

∵a,b,c>0,∴只需证 b2<ac. 1 1 1 ∵ , , 成等差数列, a b c 2 1 1 ∴ = + ≥2 b a c 1 ,∴b2≤ac, ac

又 a,b,c 均不相等,∴b2<ac 成立. 故所得大小关系正确. (2)证明 方法一 若角 B 是钝角,则 cos B<0. a2+c2-b2 2ac-b2 ac-b2 由余弦定理得,cos B= ≥ > >0, 2ac 2ac 2ac 这与 cos B<0 矛盾,故假设不成立. 所以角 B 不可能是钝角. 方法二 若角 B 是钝角,则角 B 的对边 b 为最大边, 即 b>a,b>c, 1 1 1 1 所以 > >0, > >0, a b c b 1 1 1 1 2 则 + > + = , a c b b b

1 1 2 这与 + = 矛盾,故假设不成立. a c b 所以角 B 不可能是钝角.


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