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高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)

时间:2013-03-24


1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数 学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解 三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同 时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度 上做过高的要求。此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块组成。 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列 3:由 6 个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6:三等分角与数域扩充。 系列 4:由 10 个专题组成。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—2:矩阵与变换。 选修 4—3:数列与差分。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 选修 4—6:初等数论初步。 选修 4—7:优选法与试验设计初步。 选修 4—8:统筹法与图论初步。 选修 4—9:风险与决策。 选修 4—10:开关电路与布尔代数。
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解题基本方法 配方法 换元法 待定系数法 消去法 分析与综合法 常用的数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想 转化(化归)思想 定义法 数学归纳法 类比与归纳法 参数法 反证法

特殊与一般法

观察与实验法

2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、 函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、 化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值 不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与 圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹 问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱 锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

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高中数学
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c

选修 4--5 知识点

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)
n n

⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 等号). ④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? , ⑦ ? (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小.
3

⑧ 当a ? 0时, ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式 ①平均不等式:

2 a?b a 2 ? b2 , a, b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ( ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 ( a ? b) 2 ? a?b ? a ?b . ab ? ? ? ; a 2 ? b2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则 ,当 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) 且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则称 f(x)为凸(或凹)函数. )? . 2 2
4

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

??

? ?

? ?

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) , 如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2 k

?

2 1 2 ? ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式 的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?
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? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?



规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? . ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

6

⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所 以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) ,由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即 可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号,

Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域.
即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值:

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法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域, 将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数

z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?

A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a
x2 ? y 2 ;

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

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选修 4-4 数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图 形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结:
1.伸缩变换:设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下, ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个 长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐 标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐 标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5. 极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 2 7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .
在极坐标系中,以 C ( a, 8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

?

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方 ? ? y ? g (t ), 程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ?
2 2 2

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
9

抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ?

? x ? 2 px 2 , ? y ? 2 pt .

(t为参数 ) .
? x ? x o ? tcos ? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

选修 4-1 数学知识点
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相 等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定: 定义: 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形对应边的比值叫做相似比 (或 相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是 否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这 两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么 这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个 直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比;
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(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理
射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射 影与斜边的比例中项。

圆周定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理
定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

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高中数学 选修 4-1 知识点
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相 等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 2.平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义: 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形对应边的比值叫做相似比 (或 相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是 否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这 两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么 这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个 直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 4.直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射 影与斜边的比例中项。

第二讲 直线与圆的位置关系
1.圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
12

推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 2.圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 5.与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 6.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 7.三角形的五心 (1)内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。性质:到三边距离相等。 (2)外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。性质:到三个顶点距离相等。 (3)重心:三条中线的交点。性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的 2 倍。 (4)垂心:三条高所在直线的交点。 (5)旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 性质:到三边的距离相等。

第三讲 圆锥曲线性质的探究
1.平面与圆柱面的截线: 当平面与圆柱的两底面平行时,截面是个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是个椭圆; 定理 1:圆柱形物体的斜截口是椭圆。 定理 2:在空间中,取直线 l 为轴,直线 l’与 l 相交于 O 点,夹角为α ,l’ 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l’ 为母线的圆锥面,任取平面π ,若它与轴 l 的夹角为β (当π 与 l 平行时,记β =0), 则截面不过顶点时: (1)β >α ,平面π 与圆锥的交线为椭圆; (2)β =α ,平面π 与圆锥的交线为抛物线; (3)β <α ,平面π 与圆锥的交线为双曲线; 截面过顶点时: (1)截面和圆锥面只相交于顶点,交线为一个点。 (2)截面和圆锥面相交于两条母线,交线为两条相交曲线。 (3)截面和圆锥面相切,交线为两条重合直线。

13

人教 A 选修 4-1 几何证明选讲
一、填空题选择题 1 . (2012 年高考(天津文) 如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆 )

的切线与 AC 的延长线相交于 D .过点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E , 与 AB 相 交 于 点 F , AF ? 3 , FB ? 1 , EF ? ____________.
2 . (2012 年高考(陕西文) 如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 )

C A F E B

D

3 , 则 线 段 CD 的 长 为 2

E, EF ? DB ,垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? ___ ______.
3 . (2012 年高考(广东文) (几何证明选讲)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 相切于 )

点 B , D 是 弦 AC 上 的 点 , ?PBA ? ?DBA . 若 AD ? m , AC ? n , 则 AB ? _______.
4 . (2012 年高考(江西理) 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为 )

线



CD







,



| PA |2 ? | PB |2 | PC |2

=

B.4 C.5 D.10 5 . (2012 年高考(北京理) 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则 ) ( ) A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB C.AD·AB= CD
2

( ) A.2

D.CE·EB= CD

2

C

E A D

B

6. (2012 年高考(陕西理) 如图,在圆 O 中, )

直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF ? DB , 垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 , 则 DF ? DB ? __________. 7. (2012 年高考(湖南理) 如图 2,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点.若 ) PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于_______. 8. (2012 年高考(湖北理) (选修 4-1:几何证明选讲)如图,点 D 在 ? O 的弦 AB 上 ) 移动, AB ? 4 ,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交 ? O 于点 C,则 CD 的最大值为__________. 9. (2012 年高考(广东理) (几何证明选讲)如图 3,圆 O ) 的半径 为 1, A 、 B 、 C 是圆周上的三点 ,满足 ?ABC ? 30? ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长 线交于点 P ,则 PA ? __________. A

B D C

.
O

14

二、解答题 10. (2012 年高考(辽宁文) 选修 4 ? 1:几何证明选讲 )

如图,⊙O 和⊙ O 相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于 点 E.证明 (Ⅰ) AC ? BD ? AD ? AB ; (Ⅱ) AC ? AE .

/

11. (2012 年高考(课标文) 选修 4-1:几何选讲 )

如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆与 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.

12. (2012 年高考(新课标理) 选修 4-1:几何证明选讲 )

A

如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB, AC 的中点,直线 DE 交

?ABC 的外接圆于 F , G 两点,若 CF / / AB ,证明:
(1) CD ? BC ; (2) ?BCD ? ?GBD

G

E D

F

B

C

15

13. (2012 年高考(辽宁理) 选修 4 ? 1:几何证明选讲 )

如图,⊙O 和⊙ O / 相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明[ (Ⅰ) AC ? BD ? AD ? AB ; (Ⅱ) AC ? AE .

14. (2012 年高考(江苏) [选修 4 - 1:几何证明选讲]如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为圆上位于 AB 异侧 )

的两点,连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连结 AC , AE , DE . 求证: ?E ? ?C .

14. 【答案】证明:连接 AD .

∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 900 (直径所对的圆周角是直角). ∴ AD ? BD (垂直的定义). 又∵ BD ? DC ,∴ AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义). ∴ AB ? AC (线段中垂线上的点到线段两端的距离相等). ∴ ?B ? ? C (等腰三角形等边对等角的性质). 又∵ D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴ ?B ? ?E (同弧所对圆周角相等). ∴ ?E ? ?C (等量代换). 【考点】圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质. 【解析】要证 ?E ? ?C ,就得找一个中间量代换,一方面考虑到 ?B和?E 是同弧所对圆周角,相等;另 一方面由 AB 是圆 O 的直径和 BD ? DC 可知 AD 是线段 BC 的中垂线,从而根据线段中垂线上的点到 线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 ?B ? ? C .从而得证. 本题还可连接 OD ,利用三角形中位线来求证 ?B ? ? C .

16

参考答案
一、填空题 1.

【解析】如图连结 BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A

? ?A ? ?1 ,又∠B=∠B,? ?CBF ∽ ?ABC ,?
由平行线等分线段定理得
2.

CB BF CB CF ? , ? ,代入数值得 BC=2,AC=4,又 AB BC AB AC

AC AF 4 ? ,解得 CD= . CD FB 3

2 解 析 : BE ? 5 , DE ? AE ? EB ? 5 , DE ? 5 , 在

RtD DEB 中, DF ? DB ? DE 2 ? 5
3.

解析: mn . ?PBA ? ?ACB ? ?DBA , ?A 是公共角,所以
?ABC ∽ ?ADB ,于是

AB AD ,所以 AB 2 ? AC ? AD ? mn ,所以 AB ? mn . ? AC AB

4.

D【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想. 不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令 AC ? BC ? 4 ,则 AB ? 4 2 , CD ?

1 1 AB ? 2 2 , PC ? PD ? | CD |? 2 , PA ? PB ? | AD |2 ? | PD |2 ? 2 2

?

2 2

? ? ?
2

?

2

2

? 10 ,所以

| PA |2 ? | PB |2 10 ? 10 ? ? 10 . | PC |2 2

【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,以方便求解各 长度,达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公 式. 5. 【答案】A 【解析】由切割线定理可知 CE ? CB ? CD ,在直角 ?ABC 中, ?ACB ? 90?, CD ? AB ,则由射影定
2 2 理可知 CD ? AD ? DB ,所以 CE ? CB ? AD ? DB .

【考点定位】 本题考查的是平面几何的知识,具体到本题就是射影定理的各种情况,需要学生对于垂 直的变化有比较深刻的印象.
6.解析: BE ? 5 , DE ? AE ? EB ? 5 , DE ?
2

5 ,在 RtD DEB 中, DF ? DB ? DE 2 ? 5
D

7. 【答案】

6

【解析】设 PO 交圆 O 于 C,D,如图,设圆的半径为 R,由割线定理知

O
B

?
C P
A

PA ? PB ? PC ? PD,即 ? (1 ? 2) ? (3- r )(3 ? r),?r ? 6. 1
【 点 评 】 本 题 考 查 切 割线 定 理 , 考 查 数 形 结 合 思想 , 由 切 割 线 定 理 知 PA? PB ? PC? PD ,从而求得圆的半径. 8.考点分析:本题考察直线与圆的位置关系 解析:(由于 OD ? CD, 因此 CD ? OC 2 ? OD2 ,线段 OC 长为定值,
17

即需求解线段 OD 长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时 D 为 AB 的中点,点 C 与点 B 重合,因此 | CD |?

1 | AB |? 2 . 2

9.解析: 3 .连接 OA ,则 ?AOC ? 60? , ?OAP ? 90? ,因为 OA ? 1 ,所以 PA ? 3 .

二、解答题 10. 【答案与解析】

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思 想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小。 证明: (1)由 AC 与 ? O 相切于 A ,得 ?CAB =?ADB ,同理 ?ACB =?DAB ,

AC AB = ,即 AC ?BD =AD?AB ??4 分 AD BD (2)由 AD 与 ? O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ? ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE ?BD =AD ?AB ,综合(1)的结论, AC =AE ??10 分 AB BD
所以 ?ACB ? ?DAB 。从而 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思 想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小. 11. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题. 【解析】(Ⅰ) ∵D,E 分别为 AB,AC 的中点,∴DE∥BC, ∵CF∥AB, ∴BCFD 是平行四边形, ∴CF=BD=AD, 连结 AF,∴ADCF 是平行四边形, ∴CD=AF, ∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知 BD=CF,∴GB=BD, ∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.
12. 【解析】(1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD (2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? ?GBD
13. 【答案与解析】

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思 想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小。 证明: (1)由 AC 与 ? O 相切于 A ,得 ?CAB =?ADB ,同理 ?ACB =?DAB ,

AC AB = ,即 AC ?BD =AD?AB ??4 分 AD BD (2)由 AD 与 ? O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ? ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE ?BD =AD ?AB ,综合(1)的结论, AC =AE ??10 分 AB BD
所以 ?ACB ? ?DAB 。从而 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思 想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小.

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