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高三数学周清试卷

时间:2017-10-11


周清试卷


一、选择题 1.设命题 p : ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ? p 为( (A) ?n ? N , n2 ? 2n 【答案】C 2.已知集合 A ? ? x | A. ?1 ,3? 【答案】B (B) ?n ? N , n2 ? 2n )



第 I 卷(选择题)

(C) ?n ? N , n2 ? 2n

(D) ?n ? N , n2 =2n

? ?

6 ? ? 1?, B ? ?x | x ? 1 ? 0? ,则 A ? B 为( 3? x ?
C. ? ?3 ,? ? D. ? ?3 ,3?



B. ?1 ,3?

3. 已知函数 f(x)=2 -1, 记 a=f(log0.53), b=f(log25), c=f(0), 则 a, b, c 的大小关系为(

|x|

)

A.a<b<c 答案 C

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a

4.要得到函数 y=sin ( 4 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象(

)

π A.向左平移12个单位 π C.向左平移 3 个单位 答案 B

π B.向右平移12个单位 π D.向右平移 3 个单位

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(

)

A.2+ 5 答案 C
6.函数 f(x)=

B.4+ 5

C.2+2 5

D.5

sin x 的图象大致为( x2+1

)

1

7.在△ABC 中,∠ABC=

π 4 ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 3 10 C. 10 5 D. 5

)

10 A. 10 答案 C

10 B. 5

8.设 α 是空间中的一个平面,l,m,n 是三条不同的直线,则下列命题中正确的是(

)

A.若 m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α C.若 l⊥m,l⊥n,则 n∥m

B.若 m?α ,n⊥α ,l⊥n,则 l∥m D.若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n

答案 D
a ,x>1, ? ? 9.已知函数 f(x)=? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( a ?4- ?x+2,x≤1 ? 2 ? A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D. [4,8)
x

)

答案 D
10.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2016 年全年投入研发资金 130

万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金 开始超过 200 万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( A.2019 年 C.2021 年 解析 设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得 x 200 lg 2-lg 1.3 =log1.12130= lg 1.12 ≈3.80,因资金需超过 200 万,则 x 取 4,即 2020 年.选 B. 答案 B B.2020 年 D.2022 年 )

11.已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( 2 A. 6 3 B. 6 2 C. 3 ) 2 D. 2

解析

2

如图,H 为△ABC 的外接圆圆心,则∠BHC=120°, 设△ABC 的外接圆半径为 r, 则 1=BC2=HC2+HB2-2HC· HB·cos 120°=3r2, 3 ∴r= 3 . 连接 OH,根据球的截面性质知, OH⊥平面 ABC, ∴OH= OC2-CH2= ∵O 为 SC 的中点, 2 6 ∴S 到平面 ABC 的距离为 2OH= 3 , 1 2 6 1 3 2 6 2 ∴VS?ABC=3S△ABC× 3 =3× 4 × 3 = 6 . 答案 A 12.若函数 f(x)=a(x-2)ex+lnx+ 在(0,2)上存在两个极值点,则 a 的取值范围为(
A.(-∞,【答案】 D
x 【解析】 解:函数 f(x)=a(x-2)e +lnx+ 在(0,2)上存在两个极值点, x 等价于 f′(x)=a(x-1)e + - 在(0,2)上有两个零点, x

1 6 1-3= 3 .



) B.(- ,

)∪(1,+∞) C.(-∞,- ) D.(-∞,- )∪(-- ,-



令 f′(x)=0,则 a(x-1)e + 即(x-1) (ae + )=0, ∴x-1=0 或 aex+ =0,
x

=0,

∴x=1 满足条件,且 ae + =0(其中 x≠1 且 x∈(0,2) ) ; ∴a=,其中 x∈(0,1)∪(1,2) ;

x

x 2 设 t(x)=e ?x ,其中 x∈(0,1)∪(1,2) ; x 2 则 t′(x)=(x +2x)e >0, ∴函数 t(x)是单调增函数, ∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2) ,

∴a∈(-∞,- )∪(- ,故选:D.

) .

3

函数 f(x)在(0,2)上存在两个极值点,等价于 f′(x)在(0,2)上有两个零点, 令 f′(x)=0,求出 x=1 和 ae + =0,且 x≠1,x∈(0,2) ; 求出 a=x x

,x∈(0,1)∪(1,2) ;
2

设 t(x)=e ?x ,x∈(0,1)∪(1,2) ,求出 t(x)的取值范围,即得 a 的取值范围. 本题考查了函数导数的综合应用问题,也考查了函数极值与零点的应用问题,考查转化思想与计算能力, 是综合性题目.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13.若曲线 y ? e ? x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是________.

答案

(-ln 2,2)

14.已知 f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为______________. 当 t=1 时,y 取最大值 13 f?x1?-f?x2? 15.已知函数 f(x)=(a-3)ax(a>0,且 a≠1),若对任意 x1,x2∈R, <0,则 a 的取值范围是 x1-x2 ___(1,3)____. [解析] 16.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+1)=f(x-1),当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,若

在区间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 由 f(x+2)=f(x)得函数 f(x)的周期是 2,作出函数 y=f(x),y=ax+2a 的部分图象,如图,要使 方程 ax+2a-f(x)=0 恰有四个不相等的实数根,则直线 y=ax+2a=a(x+2)的斜率 a 满足 2 2 2 2 kAH<a<kAG,由题意可知 G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以 kAH=5,kAG=3,所以5<a<3.

答案

?2 2? ?5,3? ? ?

三、解答题 17.(本小题满分 10 分)
4

在直角坐标系 xOy 中,直线 l : y ? x ,圆 C : ? 正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程;

? x ? ?1 ? cos? ,( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ?y ? ?2 ? sin ?

(Ⅱ)设直线 l 与圆 C 的交点为 M、N ,求 ?CMN 的面积.

解: (Ⅰ)将 C 的参数方程化为普通方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,

? x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴直线 l 的极坐标方程为 ? ?
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 .
2

?
4

( ? ? R) ,

(Ⅱ)将 ? =

?
4

代入 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2 ? ? 4 ? 0
2

解得 ?1 = ?2 2 , ? 2 = ? 2 ,| MN |= | ?1 - ? 2 | = 2 , 因为圆 C 的半径为 1,则 ?CMN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

18.(本小题满分 12 分)

如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60°角? 若存在,确定 E 点位置;若不存在,说明理由.

(1)证明 连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC-A1B1C1 是直角三棱柱,得 四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点.又 D 为 BC 的中点,所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD, 因为 OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. (2)解 由 ABCA1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°, 得 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BC,BA,BB1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),
5

假设存在满足条件的点 E. 因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1), 故可设 E(0,λ ,1),其中 0≤λ≤2. → =(0,λ -2,1),DC → =(1,0,1). 所以AE 1 因为 AE 与 DC1 成 60°角,

→ → → ,DC → 〉|= |AE·DC1| =1. 所以|cos〈AE 1 → |·|DC →| 2 |AE 1 即| 1 1 |=2, 2 (λ-2) +1· 2

解得 λ=1 或 λ=3(舍去). 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角.
19.(本小题满分 12 分)

x x x 已知函数 f(x)= 2sin2cos2- 2sin22. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 解 2 2 (1)因为 f(x)= 2 sin x- 2 (1-cos x)

2 ? π? =sin?x+ ?- 2 , 4 ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π . 3π π π (2)因为-π ≤x≤0,所以- 4 ≤x+ 4 ≤ 4 . π π 当 x+ 4 =- 2 , 3π 即 x=- 4 时,f(x)取得最小值. 2 ? 3π ? 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 f?- ?=-1- 2 . 4 ? ?
20.(本小题满分 12 分)

π 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= 2 , AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交
6

点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图 2. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值. 解析: (1)证明 在图 1 中,因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, π ∠BAD= 2 ,所以 BE⊥AC, 即在图 2 中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且 A1O∩OC=O, 从而 BE⊥平面 A1OC,又在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, 1 BC=2AD,E 为 AD 中点,所以 BC∥ED 且 BC=ED 所以四边形 BCDE 为平行四边形,故有 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)解 由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 图1

又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面角, π 所以∠A1OC=2, 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED, ? 2 ? ? ? 2 所以 B? ,0,0?,E?- ,0,0?, ?2 ? ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2 2 ? → =? ?- , ,0?, A1?0,0, ?,C?0, ,0?,得BC 2? 2 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 2? → → → A ,- 2 ?,CD=BE=(- 2,0,0), 1C=?0, 2 ? ? 设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为 θ,
??? ? ? ?n1 ?BC ? 0, ? ? x1 ? y1 ? 0, 则 ? ???? 得? 取 n1=(1,1,1); y1 ? z1 ? 0, n ? A C ? 0, ? ? ? 1 1 ??? ? ? CD ? 0, ? x2 ? 0, ?n2 ? 得? 取 n2=(0,1,1), ? ???? y ? z ? 0, n ? A C ? 0, ? 2 2 ? ? 2 1
7

图2

从而 cos θ =|cos<n1,n2>|=

2 6 =3, 3× 2

6 即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 3 .
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1, g ( x) ? ? [解析] (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,
?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, ? ? ? 故? ?? ?? ?f?2?=2 ?4a-4a+2+b=2 ? ? ? ?b=0.

1 1 f ( x) ? x 2 ? 1 ? m ln x (m ? R) ,求函数 g(x)的极值. 2 2

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
? ? ? ?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, 故? ?? ?? ?f?2?=5 ?4a-4a+2+b=5 ? ? ? ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即 f(x)=x2-2x+2.

故:g(x)=x-mln x(x>0), a x-a 由 g′(x)=1- x= x ,x>0 知: ①当 a≤0 时,g′(x)>0,函数 g(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 g(x)无极值; ②当 a>0 时,由 g′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,g′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,g′(x)>0, 从而函数 g(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 g(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 g(x)无极值; 当 a>0 时,函数 g(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.
22.(本小题满分 12 分)

1 已 知 函 数 f ? x ? ? f ' ?1? e x ?1 ? f ? 0? x ? x2 ? f ' ? x ? ? 是 f ? x ? 的 导 数 , e 为 自 然 对 数 的 底 数 ), 2 1 g ? x ? ? x2 ? ax ? b ? a ? R ,b ? R ? . 2
(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式及 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程;
8

(Ⅱ)若 f ? x ? ? g ? x ? ,求

b ? a ? 1? 2

的最大值.

【答案】 (Ⅰ) f ? x ? ? e x ? x ? 【解析】

3 1 2 e (Ⅱ) . x ; f ( x ) 的极大值为 f (0) ? ,无极小值; 2 4 2

试题解析: (Ⅰ)由已知得 f ' ? x ? ? f ' ?1? ex?1 ? f ? 0? ? x ,令 x ? 1 ,得 f ' ?1? ? f ' ?1? ? f ? 0? ? 1 , 即 f ? 0? ? 1 又 f ?0? ?
f ' ?1? e

,∴ f ' ?1? ? e ,从而 f ? x ? ? e x ? x ?

1 2 x 2

1 ? f ' (1) ? e, f (1) ? e ? , 2 所以所求切线方程为: y?e?
(Ⅱ) f ? x ? ?

1 1 ? e( x ? 1)即ex ? y ? ? 0 2 2

1 2 x ? ax ? b ? h ? x ? ? e x ? ? a ? 1? x ? b ? 0 得 h ' ? x ? ? ex ? ? a ? 1? , 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h ' ? x ? ? 0 ? y ? h ? x ? 在 x ? R 上单调递增, x ??? 时, h ? x ? → ? ? 与 h ? x ? ? 0 相矛盾;

h ' ? x ? ? 0 ? x ? ln ? a ? 1?,此时h( x)递减. ②当 a ? 1 ? 0 时, h ' ? x ? ? 0 ? x ? ln ? a ? 1?,此时h( x)递增;
所以,当 x ? ln ? a ? 1? 时, h ? x ?min ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ? b ? 0 ,即 ? a ? 1? ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ? b , ∴ ? a ? 1? b ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? , ? a ? 1 ? 0 ?
2 2

令 F ? x ? ? x2 ? x2 ln x ? x ? 0? ,则 F ' ? x ? ? x ?1 ? 2ln x ? ,∴ F ' ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? e , F ' ? x ? ? 0 ? x ? e , 当 x ? e 时, F ? x ?max ? ∴
e e e ,即当 a ? e ? 1 , b ? 时, ? a ? 1? b 的最大值为 , 2 2 2

e . 2 4 考点:1.导数的运算;2.导数与函数的单调性;3.函数与不等式.
的最大值为

? a ? 1? b

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