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空间向量基本定理教案

时间:2015-05-30


《3.1.2 空间向量基本定理》教案
一、教学目标:
1.知识目标:了解向量与平面平行的意义,掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向 量定理和空间向量分解定理,理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,会 在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体 几何中有关的简单问题。 2.能力目标:通过空间向量分解定理的得出过程,体会由特殊到一般,由低维到高维的思想方 法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。 3.情感目标:创设适当的问题情境,从生活中的常见现象引入课题,开始就引起学生的学习兴 趣,让学生容易切入课题,培养学生用数学的意识,体现新课程改革的理念之一,加强数学与生活 实践的联系。

二、教学重点:
运用空间向量基本定理表示空间任一向量,并能根据表达式判断向量与基底的关系。

三、教学难点:
空间向量的分解作图,用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间 直线的平行、共面问题。

四、教学过程
1.复习引入: 在平面向量中,我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理,请大家回忆一下定理的内 容。 (找同学回答) 由上节课的学习,我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量,那么请大家思考:平行向 量基本定理在空间中是否成立? 结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理” (板书并投影) 注意:①向量 a ? 0 ; ② a∥b ? b ? ? a 是共线向量的性质定理, b ? ? a ? a∥b 是空间向量共线的判定定理; 2、问题探究: “向量与平面平行”的概念:如果向量 a 的基线平行于平面 ? 或在平面 ? 内,就称 a 平行于 平面 ? ,记作 a ∥ ? 。

平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。 探究 1:空间中任意两个向量一定共面吗?为什么? 探究 2:空间中任意三个向量一定共面吗?请举例说明。 探究 3:如果空间中三个向量共面,它们存在怎样的关系? 演示空间中三向量共面的情况,引导学生猜想。 如果两个向量 a, b 不共线,则 c 与 a, b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x, y ,使得

c ? xa ? yb。
猜想的结论需要证明(提醒学生充要条件的证明要从“必要性” 、 “充分性”两方面进行) (屏幕展示证明过程) 这就是共面向量定理: (板书并投影) 注意: ①三个向量共面,又称三个向量线性相关,反之,三个向量不共面,则称三个向量线性无关。 ②可用来证明四点共面问题。 3、问题探究:

由共面向量定理知,空间向量c与a, b共面,则c可以用a, b线性表示,当c与a , b不共面时, 还能用a, b线性表示吗?
4、猜想探究: 类比平面向量基本定理,引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课 件引导学生猜想空间向量分解定理。 空间向量的分解定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在唯一的 一个有序实数组 x, y, z ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 师:若猜想正确,则给出证明,若猜想不正确,先给出定理,再证明。 板演证明: (存在性和唯一性两方面) 唯一性用反证法证明: 若另有不同于 x,y,z 的实数 x1,y1,z1 满足 OP = x1 a +y1 b + z1 c , 则 x a +y b + z c = x1 a +y1 b + z1 c ,即(x-x1) a +(y-y1) b +(z-z1) c = 0 ,又 a 、 b 、 c 不共面,则 x-x1=0,y -y1=0,z-z1=0,所以 x,y,z 是唯一的实数。这样,就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基 本定理。 6、深化探究: ⑴表达式 xa ? yb ? zc 叫做 a, b, c 的线性表达式,或线性组合;

2

⑵相关概念:其中{ a 、 b 、 c }叫做空间向量的一个基底, a 、 b 、 c 都叫做基向量。 牛刀小试: (对于空间向量的基底{ a 、 b 、 c }的理解)

?1? 基底?e1, e2 , e3?的三个向量e1, e2 , e3中允许有0,但不能全为0.?

?

? 2?只要是e1, e2 , e3不共面,就可以作为空间的一个基底.?

?

? 3? O, A, B, C为空间四点,且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底, 那么 点O, A, B, C必定共面。 ? ?
提醒学生注意: ①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底,基底不唯一; ②三个向量不共面,隐含它们都是非零向量; ③基底是一个集合,一个向量组,基向量是基底中的某一向量。 ④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。 ⑤若{ a 、 b 、 c }是空间向量的一个基底,则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生 举例说明,结果不唯一,通过思考培养学生的发散思维。 如: a + b 、 a + c 、 b + c ;2 a +3 b 、4 c 、 b 等构成向量的基底。 思考:在 OP = x a +y b + z c 中,特别地,当 x=0,则 p 与 b 、 c 共面;若 y=0,则 p 与 a 、 c 共 面;若 z=0,则 p 与 a 、b 共面。当 x=0, y=0 时, p 与 c 共线;当 x=0, z=0 时, p 与 b 共线;当 y=0, z=0 时, p 与 a 共线.这说明每一次维数增加了,高维数的定理不但发展了低维数的定理,并包含了 低维数的结论,使得原来的定理仍适用,这种发展是继承的发展,是合理的发展。 A1 7.例题 例 1.已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,设 AB = a , B1 C1

D1

AD = b , AA1 = c , 试用用基底{ a 、 b 、 c }表示以下向量:
(1) AC ' , (2) BD ' , (3) CA ' (4) DB ' B A C D

这是空间分解向量定理的直接应用,选定空间不共面的三个向量做基底,并用它们表示出指定 的向量,是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形,联想相关的 运算法则和公式等,表示所需向量。 8.课堂练习:

3

A1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,设 AB = a , 试用用基底 ' AD = b , AA1 = c , O为AC 的中点, { a 、 b 、 c }表示以下向量: (1) AO , (2) BO , (3) OA ' (4) OB ' B 9.课堂小结: 引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。 10.课后作业: ①必做:课本 85 页练习 B:1 ②思维训练: 1.有下列 4 个命题: → → → ①若 P、M、A、B 共面,则MP=xMA+yMB. → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P、M、A、B 共面; 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; ④若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; 2 3 C A B1 C1

D1

D

→ → 2.如图所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1= → → b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是( ) 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 B.

3.( 选作)已知甲烷(CH4)的分子结构:中心为碳原子,外围有四个氢原子,四个氢原子构 成正四面体的顶点,确定了四个氢原子的位置,能找到碳原子的位置吗?能求出两个碳氢键之间的 键角吗?

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