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四川省成都外国语学校2015届高三11月月考 数学(理)试题_图文

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一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 的模等于( A. 2 ) B. 3 C. 11 D. 6 )

2?i 为纯虚数,则复数 z ? (2a ? 1) ? 2i a?i

2.如图所示的程序框图的输入值 x ?? ?1,3? ,则输出值 y 的取值范围为( A. ?1, 2? B. ? 0, 2? C. ?0,1? D. ? ?1, 2?

3.某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的 四边形都是边长为 2 的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几 何体 的体积是( ) A.

20 3

B.6 )

C.4

D.

4 3

4.下列命题正确的个数是(

①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”; ④若随机变量 x ~ B(n, p) ,则 E ( X ) ? np. A.1 B.2 C.3 D.4 )

5.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? A. 4
n ?1

5 5 S , a2 ? a4 ? ,则 n ? ( 2 4 an
n ?1

B. 4 ? 1
n

C. 2

D. 2 ? 1
n

6.若函数 f ( x ) ? sin(? x ? 是 ( A. )

?
3

) 的图像向右平移

? 个单位后与原函数的图像关于 x 轴对称,则 ? 的最小正值 3
C.2 ) D.3

1 2

B.1

7.若正实数 x, y ,满足 x ? y ?

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是( x y

A.2 B.3 C.4 D.5 8.某校周四下午第三、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最 多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课 (不必考虑教师所开课的班级和 内容),则不同的开课方案共有( )种。 A、20 B、19 C、16 D、15

? 上的函数 f ? x ? , f ? ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? tan x 成立,则( 9.定义在 0 , 2
A.

B. f ?1? ? 2 f ? sin1 C. 2 f ? ? f ? D. 3 f ? ? f ? 6 6 4 6 3 10.已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x ) 为函数 g ( x) 的导函数);②对任 意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) ,又函数 f ( x ) 满足:对任意的 x ? R ,都有 f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成立。

? ? 3 f ?? ? ? 2 f ?? ? 4 3



[来源:学&科&网]

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

当 x ?[? 3, 3] 时, f ( x) ? x3 ? 3x 。若关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [? 3, 恒成立,则 a 的取值范围是( A、 a ? R B、 0 ? a ? 1 ) C、 ?

3 ? 2 3] 2

1 3 3 1 3 3 ? ?a?? ? 2 4 2 4

D、 a ? 0 或 a ? 1

二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11.已知函数 f ( x) ? ln x ,则 f ( x) ? 1 的解集为
5



a ?? 1? ? 12. ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 . x ?? x? ? 13.在直角坐标系 xOy 中,已知任意角 ? 以坐标原点 O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边,若其终边经过
点 P( x0 , y0 ) , 且 | OP |? r ( r? 0), 定 义 : si cos ? ?

y0 ? x0 ,称 r

“ si cos ? ” 为 “ ? 的 正 余 弦 函 数 ”, 若 si cos ? ? 0 , 则

sin? (2 ?

?
3

? _________ )

.

14.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? 2CD 。动点 P 从点 A 出发,沿正 方 形 的 边 按 逆 时 针 方 向 运 动 一 周 回 到 A 点 , AP ? ? AB? ? AE . 则 ? ? ? 的 取 值 范 围 为 __ ____. 15.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平面向量集 __

D= a a ? ? x, y ? , x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ?? ”.定义如下:对于任意
两个向量 a1 =(x1,y1 ),a 2 =(x2 ,y2 ) , “ a1 >> a 2 ”当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2 且 。按上述定义 y1 ? y2 ” 的关系“ ?? ” ,给出如下四个命题: ①若 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1),0 ? (0,0) ,则 e1 >> e2 >> 0 ; ② 若 a1 >> a 2 ,a 2 >> a 3 ,则 a1 >> a 3 ; ③ 若 a1 >> a 2 ,则对于任意 a ? D,a1 +a >> a 2 +a ; ④ 对于任意向量 a >> 0,0 = (0,0) ,若 a1 >> a 2 ,则 a ? a1 > a ? a 2 。 其中真命题的序号为_ ________ _ 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16 . ( 12 分)集合 A ? { y | y ? sin x ? cos( x ?
[来源:学科网]

?

?

?

6 p q p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 是 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

) ? m, x ? R} , B ? {y | y ? ?x2 ? 2x, x ?[1,2]} ,若命题

B 两个小岛相距 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60 ? ,现从 17.(12 分)如图,海上有 A , 船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。 (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值.

A
60 ? C O

D

B

0 18. (12 分)在四棱 锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? ?APB ? 90 ,点 M 是线段 AB 上的一点,

且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值.
[来源:学。科。网 Z。X。X。 K]

P M
C

A
D

B

19. (12 分)某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查 、笔试、面试共三轮考核。规定:只能通过 前一轮考核才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学 生甲三轮考试通过的概率分别为

2 3 4 , , ,且各轮考核通过与否相互独立。 3 4 5

(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率; (2)若学生甲每通过一轮考核,则家长奖 励人民币 1000 元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育 基金的金额为 X ,求 X 的分布列和数学期望。
[来源:学科网]

20.(13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? (3)设 bn ?

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 f (n) 的最小值; ? ? ??? n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g ?n ? 的
[来源:Z_xx_k.Com]

解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

[来源:学科网]

21. (14 分)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的极大值;

ln x , g ( x) ? x2 . 2 x

(2)求证: 12e ln n! ? (n2 ? n)(2n ? 1)(n ? N * )

k a 2 ? 0(a ? R ? ) 有唯一解时, 试探究函数 F ( x) ? x( x f ?( x) ? k ) ? a ? (k ? R) 与 g ( x) 的图 x 2e 象在其公共点处是否存在公切线,若 存在.研究 k 的值的个数;若不存在,请说明理由.
(3) 当方程 f ( x) ?

成都外国语学校 2015 届 11 月理科数学试题

参考答案
一、选择题 1 题号 答案 D 二、填空题 11、 (??, ?e) 三、解答题 16、解: y ? sin x ? cos( x ? 2 B 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 D 10 D

1 (e, ??) ; 12、40;13、 ;14、 [0, 2] ;15、①②③ 2

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?
6

) ? m ? sin x ?

? 3 sin( x ? ) ? m ? [m ? 3, m ? 3] --------------------------5 分 6 故 A ? [m ? 3, m ? 3] -------------------------6 分 ------------------8 分 y ? ? x2 ? 2x 在 x ? [1, 2] 为减函数,故 B ? [0,1] , 又命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B , p 是 q 必要不充分条件,故 B ? A -----------10 分
------------12 分 ?m ? 3 ? 0 且 m ? 3 ? 1,从而 1 ? 3 ? m ? 3 17、解: (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ① , ……1 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ② , ………3 分 2 x ? 100 ① +② 得 OA2 ? OB 2 ? , 2 x 2 ? 100 ① -② 得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? , …………4 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , 2 2 x 2 ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 所以 10<x≤10 3 又 OA ? OB ? ……… …… …………6 分 2 (2)易知 S?OAB ? S?OAC ,
[来源:学#科#网]

?

3 1 3 3 cos x ? sin x ? m ? sin x ? cos x ? m 2 2 2 2

1 3( x 2 ? 100) 故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , 2 4

………………………8 分

1 ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) , 2 3( x 2 ? 100) , x ? (10 , 10 3] , 所以 f ( x) ? 2x 3 100 (1 ? 2 ), 又 f ?( x) ? 2 x 则 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,
又 S?ABC ?

……………………………9 分 ……………………………10 分

所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ……………………12 分 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) (10 , 10 3] 上 是增函数,但未给出证明,扣 2 分. ) 18.解: (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD , 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。

??4 分 ??6 分

(2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所 以 平 面 P M H ? 平 面 P C D , 平 面 P M H? 平 面 PCD ? PH ,过点 M 作 MN ? PH ,即有 MN ? 平面 PCD , 所 以 ?MC N 为 直 线 CM 与 平 面 P C D 所 成 角. ??9 分 在四棱锥 P ? ABCD 中,设 AB ? 2t ,则 CM ?

P

N

A

M

B

D

H 17 t, C 2 3 7 5 4 5 7 3 PM ? t , MH ? t ,∴ PH ? t , MN ? t 2 10 5 16 MN 7 51 7 51 从而 sin ?MCN ? ,即直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .?12 分 ? CM 136 136

20、

解:() 1 点P(an , an ?1 )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即an ?1 ? an ? 1, 且a1 ? 1 ? 数列?an ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。 ? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2), a1 ? 1也满足 ? an ? n. 1 2 n (2) f (n) ? ? ? ? , n ?1 n ? 2 2n 1 2 3 n ?1 n n ?1 f (n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? , n?2 n?3 n?4 2n 2n ? 1 2n ? 2 ? f (n ? 1) ? f (n) ? 0, 5 ? f (n)是单调递增的,故f (n)的最小值是f (2) ? 。 6

(3) bn ?

1 1 1 1 1 ? Sn ? 1 ? ? ? ? ,? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2), n 2 3 n n 即nSn ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1,? (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1, ? S n ?1 ? n ? 1, ? S n ?1 ? nS n ? n ? ( S n ? 1) ? n(n ? 2) ? g (n) ? n.

,S 2 ? S1 ? S1 ? 1,

? nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? ? S1 ? S 2 ?

故存在关于n的整式g (n) ? n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
法二:先由 n=2,n=3 的情况,猜想出 g(n)=n,再用数学归纳法证明。

21、解: (1) f ?( x) ?

x
f ?( x) f ( x)

x ? 2x ln x 1 ? 2ln x ? . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? e , x4 x3 (0, e ) ( e , ??) e ? ? 0
递增 极大值 递减

从而 f ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减.

f ( x)极大 ? f ( e ) ?
(2)证明:

1 . 2e

????????????????????4 分

f ( x)极大 ? f ( e ) ?

1 1 . ? f ( x) ? 2e 2e

?

l nx 1 ? 2 x 2e

1 2 ? 2e l nx? 2 x ????????????6 分 x 2e 2 ? 2e ln1 ? 12 , 2e ln 2 ? 22 , 2e l nn? n 分别令 x ? 1, 2,3, , n ?2e(ln1 ? ln 2 ? ln3 ? ? ln n) ? 12 ? 22 ? 32 ? ? n2 n(n ? 1)(2n ? 1) ?2e ln n! ? 6 2 ?12e ln n! ? (n ? n)(2n ? 1)(n ? N * ) ????????9 分 a ?a ?1 ? 0(a ? R ? ) 有唯一解 (3)解:由(1)的结论:方程 f ( x) ? 2e k 1 2 函数 F ( x) ? x( x f ?( x) ? k ) ? a ? ? k ( x ? ) ? 2 ln x x x 假设 F ( x), g ( x) 的图象在其公共点 ( x0 , y0 ) 处存在公切线, ?ln x ?

kx 2 ? 2 x ? k 由 F ?( x0 ) ? g ?( x0 ) 得: , g ?( x) ? 2 x x2 kx0 2 ? 2 x0 ? k ? 2 x0 ,即: 2x03 ? kx02 ? 2x0 ? k ? 0 x0 2 k ?( x02 ? 1)(2 x0 ? k ) ? 0, ? x0 ? 又函数的定义域为: (0, ??) 2 k 当 k ? 0 时, x0 ? ? (0, ??) ?函数 F ( x) 与 g ( x) 的图象在其公共点处不存在公切线; 2 k2 ? 8 k k2 k k2 k k ? ln ( k ? 0) ? 2 ln ? 2 ? 当 k ? 0 时,令 F ( ) ? g ( ), 即: 即: 8 2 2 2 4 2 2 F ?( x) ?
k2 ?8 k ? ln 在 (0, ??) 解的个数 8 2 2 x ?8 x 1 1 x2 ? 4 ? ln ( x ? 0) ? ?( x) ? x ? ? 令: ? ( x) ? 8 2 4 x 4x
下面研究方程

? ( x) 在 (0, 2) 递减, (2, ??) 递增;
且当 x ? 0,? ( x) ? ?? ; ?? ( x) 在 (0, ??) 有两个零点

1 2 当 x ? ??,? ( x) ? ??

且 ? (2) ? ? ? 0

k2 ?8 k ? ln 在 (0, ??) 解的个数为 2 8 2 综上:当 k ? 0 时,函数 F ( x) 与 g ( x) 的图象在其公共点处不存在公切线; 当 k ? 0 时,符合题意的 k 的值有 2 个 ????????? ???????14 分

?方程

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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