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2018-2019数学苏教版选修1-1课件:第3章3.3.2 极大值与极小值_图文

时间:2019-05-11

第3章

导数及其应用

3.3.2

极大值与极小值

第3章

导数及其应用

学习导航 1.了解函数极大值与极小值概念.(重点) 学习 2.理解区分极值与极值点,极值点与导数为零的点 目标 之间的关系. 3.掌握函数极值的判定与求法.(难点) 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局 学法 部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”, 指导 通过研究极值初步体会函数的导数的作用.

1.函数极值的概念 (1)极大值与极小值的直观解释 上升 如图,函数图象在点P处从左侧到右侧由“____________ ”变 下降 为“____________ ”(函数由单调递增变为单调递减),这时 在点P附近,点P的位置最高,也就是说f(x1)比它附近点的函 大 数值都要____________ .我们称f(x1)为函数f(x)的极 大 ____________ 值.类似地,图中f(x2)为函数f(x)的极小值.函 极值 数的极大值、极小值统称为函数的____________ .

(2)极大值与极大值点

定义:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近 < 所有的点,都有f(x)____________ f(x0),就说f(x0)是函数f(x) 大 极大值点 . 的一个极_________ 值;点x 叫做函数f(x)的__________
0

(3)极小值与极小值点 定义:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近 > 所有的点,都有f(x)____________ f(x0),就说f(x0)是函数f(x) 极小值点 . 小 的一个极__________ 值;点x 叫做函数f(x)的__________
0

(4)①极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而 言的. ②极值点总是f(x)定义域中的点,因而端点绝对不是函数的极 值点.

③连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能
没有,函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的 极小值也不一定比极大值小. ④若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函 数,即在区间上单调的函数没有极值.

2.函数的极值与函数的导数之间的关系 (1)极大值与导数之间的关系 x f′(x) x1左侧 > f′(x)_____0 x1 f′(x)=0 极大值f(x1) ____________ x1右侧 < f′(x)____0

f(x)

增↗

↘减

(2)极小值与导数之间的关系 x f′(x) f(x) x2左侧 x2 f′(x)=0 极小值f(x2) ____________ x2右侧

< f′(x)___0
↘减

> f′(x)___0
增↗

3.求函数f(x)极值的方法与步骤
(1)解方程f′(x)=0; (2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断: ①如果在x0两侧f′(x)符号相同,那么x0不是f(x)的极值点. ②如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么,f(x0) 是极大值. ③如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么,f(x0) 是极小值. 注意:可导函数的极值点一定是其导数为零的点;但是,导 数为零的点不一定是该函数的极值点,因此导数为零的点(又 称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件

是这点两侧的导数异号.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)导数为零的点一定是函数的极值点.( × )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值.( × ) (3)f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.( × ) (4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数. ( √ )

② 2.下列函数存在极值的是________ .(填序号) 1 ①y= ;②y=x-ex;③y=x3+x2+2x-3;④y=x3. x 1 解析:①中 f′(x)=- 2, x
令 f′(x)= 0 无解, ∴①中函数无极值. ②中 f′ (x)= 1- ex, 令 f′(x)= 0 可得 x= 0, 当 x<0 时, f′ (x)>0, 当 x>0 时, f′ (x)<0. ∴ y= f(x)在 x= 0 处取极大值,

f(0)=- 1. ③中 f′ (x)=3x2+ 2x+2, Δ= 4-24=- 20<0. ∴ y= f(x)无极值. ④也无极值.

3.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a (-2,2) . 的取值范围是________ 解析:f′(x)=3x2-3. 令f′(x)=0可以得到x=1或x=-1,

∵f(1)=-2,f(-1)=2,
∴-2<a<2.

求函数的极值
求下列函数的极值. (1)f(x)= 2x3+ 6x2-18x+3; 3 (2)f(x)= + 3ln x; x (3)f(x)= ex(x2- 7x+ 13); (4)f(x)= x3-3x2- 2 在(a- 1, a+ 1)内的极值(a>0). (链接教材 P77 例 2)

[解] (1)三次函数f(x)的定义域为R,f′(x)=6x2+12x-18= 6(x2+2x-3)=6(x+3)(x-1).

令f′(x)=0解得x1=-3,x2=1.

当x在定义域R内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f ( x) (-∞,-3) + ↗ -3 0 极大 值57 (-3,1) - ↘ 1 0 极小值 -7 (1,+∞) + ↗

由上表可知:当x=-3时f(x)有极大值57. 当x=1时,f(x)有极小值-7.
3 3 3? x-1? (2)f(x)的定义域为(0,+∞ ),f′(x)=- 2+ = , x x x2 令 f′(x)=0 解得 x=1,并且当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 x>1 时,f′(x)>0. ∴当 x=1 时 f(x)有极小值是 f(1)=3.

(3)f(x)的定义域为R,f′(x)=ex(x2-7x+13)+ex(2x-7)= ex(x2-5x+6)=ex(x-2)(x-3). 令f′(x)=0解得x1=2,x2=3. 当x在定义域R内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,2) + ↗ 2 0 极大值 3e2 (2,3) - ↘ 3 0 极小值 e3 (3,+∞) + ↗

由上表可知:当x=2时,f(x)有极大值3e2;当x=3时,f(x)

有极小值e3.

(4)f(x)的定义域为R,由f(x)=x3-3x2-2得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x1=0,x2=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x)
f(x)

(-∞,0) +


0 0
极大值 -2

(0,2) -


2 0
极小值 -6

(2,+∞) +


①当 a - 1≥2 ,即 a≥3 时, f(x) 在 (a - 1 , a + 1) 内为增函数, 无极值; ②当0<a-1<2,即1<a<3时,2<a+1<4, f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6;

③当a-1=0,即a=1时, f(x)在(a-1,a+1)内为减函数,无极值. ④当a-1<0,即0<a<1时,1<a+1<2, f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2.

(1)求可导函数f(x)的极值的步骤: ①由函数 f(x) 的解析式确定定义域,求出 f′(x) 并通过因 式分解化为积(商)形式; ②令f′(x)=0解方程求根; ③由f′(x)=0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间 , 并列成表格(f′(x)=0只有一个根时可以不列表格); ④根据表格指出极值及相应极值点 (同时也可以得到单调 区间). (2)函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意

分类讨论.

1.求下列函数的极值: 1 3 (1)f(x)= x -4x+4;(2)f(x)=x2ex; 3 x3-2 (3)y= 2. 2? x-1?
1 3 解:(1)∵ f(x)= x - 4x+4, 3 ∴ f(x)的定义域为 R, f′ (x)= x2-4=(x- 2)(x+ 2). 令 f′(x)=0,解得 x1= 2, x2=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′ (x) f(x )

(-∞,-2) + ↗

-2 0 28 3

(- 2,2) - ↘

2 0 4 - 3

(2,+∞ ) + ↗

28 因此, 当 x=-2 时, f(x)有极大值, 并且极大值为 f(-2)= ; 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(2)=- . 3

(2)函数的定义域为R, f′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x), 令f′(x)=0得x1=0,x2=-2, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 4e-2 (-2,0) - ↘ 0 0 0 (0,+∞) + ↗

由上表可以看出, 当x=-2时,函数有极大值为f(-2)=4e-2.

当x=0时,函数有极小值为f(0)=0.

(3)∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞ ),且 y′= ?x-2? 2?x+1? ,令 y′=0,得 x1=-1,x2=2. 3 2? x-1? ∴当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

x y′

(-∞,-1) +

-1 0 极大 值

(-1,1) -

(1,2) +

2 0 非极 值

(2,+∞) +

y









3 x -2 3 故当 x=-1 时,y 有极大值,为- ,函数 y= 2无极 8 2? x- 1? 小值.

已知函数的极值或极值点,求参数的值
设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2) 试判断 x = 1 , x = 2 处函数 f(x) 取得极大值还是极小值,并 说明理由. [解 ] (1)∵ f(x)= aln x+ bx2+ x, a ∴ f′ (x)= +2bx+1. x 由极值点的必要条件可知: f′ (1)=f′(2)=0. a ∴ a+ 2b+1= 0 且 +4b+ 1= 0, 2 2 1 解得 a=- , b=- . 3 6

2 1 2 (2)由 (1)得 f(x)=- ln x- x + x.f(x)的定义域为(0, +∞ ), f′ (x) 3 6 2 1 =- - x+1, 3x 3 f′ (x), f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞ ) f′ (x) - 0 + 0 - 5 4 2 ↘ ↗ ↘ f(x ) - ln 2 6 3 3 5 4 因此,当 x= 1 时,f(x)有极小值 ;当 x= 2 时,f(x)有极大值 - 6 3 2 ln 2. 3

已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,需注意 两点: (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用

待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利 用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

2.已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1 时f(x)取得极值-2.求f(x)的单调区间和极大值. 解:由奇函数的定义,有f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d= -ax3-cx-d,得d=0.因此,f(x)=ax3+cx(a≠0),f′(x)=

3ax2+c,联立f(1)=-2及f′(1)=0,解得a=1,c=-3,则
f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3. 所以,函数的单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调减 区间为(-1,1);当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=2.

函数极值的综合应用
kx+ 1 已知函数 f(x)= 2 (c>0 且 c≠1,k∈R)恰有一个极 x +c 大值点和一个极小值点,其中一个是 x=- c. (1)求函数 f(x)的另一个极值点; (2)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m,并求 M- m≥1 时 k 的取值范围. k? x2+ c?-2x?kx+ 1? [解 ] (1)f′ (x)= ?x2+c? 2 - kx2-2x+ ck = , ?x2+ c? 2 由题意知 f′(-c)= 0,即得 c2k-2c- ck= 0,(*) 2 ∵ c≠ 0,∴k≠ 0.∴c- = 1. k

由 f′(x)= 0 得- kx2- 2x+ ck=0, 2 ∴另一个极值点为 x= c- 即 x= 1. k 2 2 (2)由 (*)式得 k= ,即 c= 1+ . k c- 1 当 c>1 时,k>0;当 0<c<1 时, k<- 2. ①当 k>0 时, f(x)在 (-∞, - c)和 (1, +∞ )上是减函数, 在(- c,1)内是增函数, k+1 k ∴ M= f(1)= = >0, c+ 1 2 - kc+ 1 - k2 m= f(- c)= 2 = <0, c +c 2? k+ 2?

k k2 由 M-m= + ≥ 1 及 k>0,解得 k≥ 2. 2 2? k+ 2? ②当 k<-2 时, f(x)在(-∞,- c)和(1,+∞)上是增函数, 在 (- c,1)内是减函数, - k2 k ∴ M= f(- c)= >0,m=f(1)= <0, 2 2? k+ 2? - k2 ?k+1? 2+1 k M- m= - = 1- ≥ 1 恒成立. 2 k + 2 2? k+ 2? 综上可知,所求 k 的取值范围为 (-∞,-2)∪ [ 2,+∞).

(1)极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用,以及 与单调性问题的综合,题目着重考查已知与未知的转化,以

及函数与方程的思想,分类讨论的思想在解题中的应用.
(2)在解题过程中,熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基 本解题策略是解决综合问题的关键.

3.(2012· 高考江苏卷节选)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大 值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1 和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.

(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. 解:(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b

=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3,
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点

只可能是1或-2.

当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,故-2是g(x)的

极值点.
当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的极值点,所以 g(x)的极值点为-2.

规范解答

含参函数的极值点问题

1 3 1 (本题满分 14 分 )已知函数 f(x)= x - (m+3)x2+(m+ 3 2 6)x(x∈R)(其中 m 为常数). (1)当 m=4 时,求函数的极值点和极值; (2)若函数 y=f(x)在区间(0, +∞ )上有两个极值点, 求实数 m 的取值范围. [解 ] 函数的定义域为 R. 1 3 7 2 (1)当 m=4 时,f(x)= x - x + 10x. 3 2 ∴ f′(x)=x2- 7x+10,
令 f′(x)=0,解得 x= 5 或 x=2 .3 分

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′ (x) f(x ) (-∞,2) + 2 0 26 3 (2,5) - 5 0 25 6 (5,+∞ ) +

26 由表知,函数的极大值点是 x=2,极大值是 ;函数的极小值 3 25 点是 x=5,极小值是 .8 分 6

(2)∵f′ (x)=x2-(m+3)x+ m+6, ∴要使函数 y= f(x)在(0,+∞ )上有两个极值点, 则有方程 f′(x)= 0 在 (0,+∞ )上有两个不同的实数根,

? 即?m+ 3>0 ? ?m+6>0

2 Δ = ? m + 3 ? -4? m+6? >0 ?

.

12 分

解得 m>3. ∴ m>3. 故所求 m 的取值范围是(3,+∞).14 分

[规范与警示 ] 考试中,如果 如果没有

(1)在解答过程中,

处虽然很简单,但对整

个解题过程起到关键作用,是顺利解答本题的前提.在实际 处正确,即使后面的结果错误,至少给 3 分; 处,即使后面的结果正确,但解析不完整,最多

给 11 分.这是考试中的得分点. (2)在解答过程中, 处对解题结果的概述容易漏掉极值点而 26 只说极值,或说成“函数在 x= 2 时取极大值为 ”的形式, 3 这在实际考试中都是答非所问的情形, 即使前面的结果正确, 最多给 5 分.这是考试中最不该失分的地方.

(3)在解答过程中, 因对“函数 y= f(x)在 (0, +∞)上有两个极 值点”理解不够,不能正确的进行转化,或转化为“方程 f′ (x)= 0 在 (0, +∞ )上有两个不同的实数根”后而不能正确 的得到 处是考试中最常出现的错误所在,在实际考试中,

如果能够得到 处的式子,即使结果错误,最多扣 2 分 .

技法导学

方程根(函数零点)的个数问题

设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值 范围.
[解] (1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,解得 x1=- 2, x2 = 2. 当 x 变化时,函数 f(x)、f′ (x)的变化情况如下表:

x f′ (x)

0 - 0 极大 极小 f(x ) ↗ ↘ ↗ 值 值 由上表知,f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞ ),单调 递减区间为 (- 2, 2). 当 x=- 2时, f(x)取得极大值 5+4 2; 当 x= 2时, f(x)取得极小值 5- 4 2.

(-∞, - 2) +

- 2

(- 2, 2)

2

( 2, + ∞) +

(2)由 (1)知, f(x)的图象大致形状如图所示.

由图象可知,当 5- 4 2<a<5+ 4 2时,直线 y= a 与 y=f(x) 的图象有三个不同交点 ,即方程 f(x)= a 有三个不同的实根.

[感悟提高]

本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以

及方程、函数、不等式三者之间的相互转化,对理性思维能 力要求比较高.

本部分内容讲解结束
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