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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题课件理

时间:2017-06-22


§9.9 圆锥曲线的综合问题

第3课时 定点、定值、探索性问题

内容索引

题型分类 课时作业

深度剖析

题型分类

深度剖析

题型一 定点问题

例1

x2 y2 (2016· 长沙模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>0, b>0)过点(0,1), 其长轴、

焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别 → → 交于点 Q、 P, 与椭圆分别交于点 M、 N, 各点均不重合且满足PM=λ1MQ, → → PN=λ2NQ. (1)求椭圆的标准方程; 解答
设椭圆的焦距为2c,
几何画板展示

由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,
又a2=b2+c2,∴a2=3. 2 x ∴椭圆的方程为 3 +y2=1.

(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点.

证明

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思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再 研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该 定点与变量无关.

跟踪训练 1

(2016· 河北衡水中学调研)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,

2 焦点在 x 轴上,离心率 e= 2 ,F 是右焦点,A 是右顶点,B 是椭圆上一 2 点,BF⊥x 轴,|BF|= 2 .

(1)求椭圆C的方程; 解答

(2)设直线 l: x=ty+λ 是椭圆 C 的一条切线, 点 M(- 2, y1), 点 N( 2, y2)是切线 l 上两个点,证明:当 t,λ 变化时,以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点坐标.
解答
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题型二 定值问题 例2 (2016· 广西柳州铁路一中月考 ) 如图,椭圆有两顶点 A( - 1 , 0) ,

B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P.
直线AC与直线BD交于点Q.

3 (1)当|CD|=2 2时,求直线 l 的方程; 解答

→ → (2)当点 P 异于 A,B 两点时,求证:OP· OQ为定值.

证明

思维升华
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代 入代数式、化简即可得出定值; (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析 式,再利用题设条件化简、变形求得; (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析 式进行化简、变形即可求得.

跟踪训练 2

1 (2016· 珠海模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 F(2,

1 0),直线 l:x=-2,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点, RQ⊥FP,PQ⊥l.

(1)求动点Q的轨迹C的方程; 解答

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(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,
当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由. 弦长|TS|为定值.理由如下:
取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0|=x0,圆的半径 r= |MA|= ?x0-1?2+y2 0,
2 则|TS|=2 r2-d2=2 y0 -2x0+1,

解答

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y2 0 ∵点 M 在曲线 C 上,∴x0= 2 , 2 ∴|TS|=2 y2 - y 0 0+1=2 是定值.

题型三 探索性问题

例 3

x2 y2 2 (2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,过

点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直 线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.
(1)求椭圆E的方程; 解答

|QA| (2)在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得|QB| |PA| =|PB|恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
解答
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思维升华
解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在, 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取 另外合适的方法.

跟踪训练 3

x2 y 2 (2016· 景德镇质检)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左,

右焦点为 F1,F2,抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点与 F2 重合,A 为曲 7 5 线 C 和 E 的一个交点,|AF1|=3,|AF2|=3,且∠AF2F1 为锐角.

(1)求椭圆C和抛物线E的方程; 解答

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(2)若动点 M 在椭圆 C 上,动点 N 在直线 l:y=2 3上,若 OM⊥ON, 探究原点 O 到直线 MN 的距离是否为定值,并说明理由.
解答
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思想与方法系列23

设而不求,整体代换

2 2 x y 典例 (12分)椭圆C: 2+ 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离 a b 3 心率为 2 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1, PF2,设∠F1PF2 的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一 1 个公共点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k2≠0,证明 + kk1 1 kk2 为定值,并求出这个定值.
思想方法指导 规范解答
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课时作业

x2 y2 2 1.(2016· 北京西城区模拟)已知椭圆 C: , 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= a b 2 短轴长为 2 2.

(1)求椭圆C的标准方程; 解答

由短轴长为 2 2,得 b= 2,
2 2 a - b c 2 由 e=a= a = 2 ,

得a2=4,b2=2.

x2 y 2 所以椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1.
1 2 3 4

(2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交

于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径
的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.
解答

1

2

3

4

x2 y2 2.(2016· 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的 3 离心率为 3 ,点( 3, 2)为椭圆上的一点.
(1)求椭圆E的标准方程;
3 3 3 2 2 2 因为 e= 3 ,所以 c= 3 a,a =b +( 3 a) . 3 2 又椭圆过点( 3, 2),所以a2+b2=1. ①

解答

由①②,解得 a2=6,b2=4, x2 y2 所以椭圆 E 的标准方程为 6 + 4 =1.
1 2 3 4

(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆 E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.
证明

1

2

3

4

3.如图, 椭圆长轴的端点为 A, B, O 为椭圆的中心, F 为椭圆的右焦点, → → → 且AF· FB=1,|OF|=1.
(1)求椭圆的标准方程; 解答
x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),则 c=1,
→ → 又∵AF· FB=(a+c)· (a-c)=a2-c2=1.

∴a2=2,b2=1,

x2 2 故椭圆的标准方程为 2 +y =1.
1 2 3 4

(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直 线l,使点F恰为△PQM的垂心,若存在,求直线l的方程;若不存在, 请说明理由.
解答

1

2

3

4

x2 y2 y2 x2 *4.(2016· 江西三校第一次联考)已知半椭圆a2+b2=1(x≥0)与半椭圆b2+c2 =1(x<0)组成的曲线称为“果圆”,其中 a2=b2+c2,a>b>c>0.如图,设 点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A1,A2 和 B1,B2 是“果圆”与 x,y 轴 的交点.

(1)若三角形F0F1F2 是边长为 1的等边三角形, 求“果圆”的方程; 解答

1

2

3

4

b (2)若|A1A2|>|B1B2|,求a的取值范围; 解答

由题意,得a+c>2b,
即 a2-b2>2b-a,
b 4 ∴a -b >(2b-a) ,得a<5.
2 2 2
2 b 1 2 2 2 2 又 b >c =a -b ,∴a2>2.

b 2 4 ∴a∈( 2 ,5).
1 2 3 4

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦.是否存在 实数 k ,使得斜率为 k 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点 M 的轨 迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明 理由.
解答

1

2

3

4


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