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【金版学案】2015届高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)专题综合检测试题(八)

时间:2014-11-10


专题八

思想方法专题

(时间:120 分钟,满分:150 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

? π? 1 1.方程 sin?x- ?= x 的实数解的个数是( 4? 4 ?

)

A.2 个 C.4 个

B.3 个 D.以上均不对

答案:B

2. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b), 且α , β 是方程 f(x)=0 的两根(α <β ), 则实数 a,b,α ,β 的大小关系为( A.α <a<b<β C.a<α <b<β B.α <a<β <b D.a<α <β <b )

答案:A

x1+λ x2 3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1≠x2,λ ≠-1,α = ,β = 1+λ x2+λ x1 ,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α )-f(β )|,则( 1+λ A.λ <0 B.λ =0 )

C.0<λ <1 D.λ ≥1

答案:A

1

4.一给定函数 y=f(x)的图象在下图中, 并且对任意 a1∈(0,1), 由关系式 an+1=f(an) 得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N ),则该函数的图象是(
*

)

答案:A

2 -1,x≤0, ? ? 5.设函数 f(x)=? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ? x , x > 0. 2 ? A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∩(1,+∞)

-x

)

答案:D

? 1? 2 6.已知不等式 x -logmx<0 在 x∈?0, ?时恒成立,则 m 的取值范围是( ? 2? ?1 ? A.(0,1) B.? ,1? ?16 ?
答案:B C.(1,+∞) 1? ? D.?0, ? 16 ? ?

)

7.已知函数 f(x)=a x +bx

3

2

+cx+d 的图象如图所示 ,则(

)

A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)

2

答案:A

? ?|lg|x-1||,x≠1, 2 8.设定义域为 R 的函数 f(x)=? 则关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c ?0,x=1, ?

=0 有 7 个不同实数解的充要条件是( A.b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0 C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0

)

答案:C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把正确答案填在题中横线上) 9.曲线 y=1+ 4-x (-2≤x≤2)与直线 y=r(x-2)+4 有两个交点,则实数 r 的取 值范围为________.
2

解析:方程 y=1+ 4-x (-2≤x≤2)表示的曲线为半圆,y=r(x-2)+4 为过(2,4) 的直线.

2

答案:?

? 5 ,3? ? ?12 4?
2 2

10.(4cos θ +3-2t) +(3sin θ -1+2t) (θ ,t 为参数)的最大值是________.

解析:联想到距离公式,两点坐标为 A(4cos θ ,3sin θ ),B(2t-3,1-2t),点 A 的几何图形是椭圆,点 B 表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解. 7 2 答案: 2

?|x +5x+4|,x≤0, ? 11.(2014·天津卷)已知函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 ?2|x-2|,x>0. ?

2

4 个零点,则实数 a 的取值范围为________.

解析:分别作出函数 y=f(x)与 y=a|x|的图象,
3

由图知,a<0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|无交点,a=0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x| 有三个交点,故 a>0.当 x>0,a≥2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有一个交点,当 x>0,0 <a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点,当 x<0 时,若 y=-ax 与 y=-x -5x- 4,(-4<x<-1)相切,则由Δ =0 得:a=1 或 a=9(舍),因此当 x<0,a>1 时,函数 y =f(x)与 y=a|x|有两个交点,当 x<0,a=1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有三个交点,当 x<0,0<a<1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有四个交点,所以当且仅当 1<a<2 时,函数 y =f(x)与 y=a|x|恰有 4 个交点. 答案:(1,2)
2

y 2 12. (2014·安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 b F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________.

2

解析:如下图,

2 1 2? b ? 5 2 2 ∵AF2⊥x 轴, ∴AF2= =b , 设 A(c, b ), 又∵|AF1|=3|BF1|, 则 B 点坐标为?- c,- b ?, 3 3 a ? ?

1 ?2 ? ?-3b ? ?? 5 ?2 ? 1 2 3 ? ? 代入椭圆为??- c? + =1,解得 c = ,b = ,所以椭圆的方程为 x + y =1. b 3 3 2 ? 3 ? ? ?b =1-c ,
2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 2 答案:x + y =1 2

? ?x,x∈(-∞,a), 13.(2014·上海卷)设 f(x)=? 2 若 f(2)=4,则 a 的取值范围为 ?x ,x∈[a,+∞), ?

________.

4

解析:由题意,若 a>2,则 f(2)=2 不合题意,因此 a≤2,此时 x∈[a,+∞)时,f(x) =x ,满足 f(2)=4. 答案:(-∞,2]
2

14. 设函数 f(x)的图象与直线 x=a, x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a, b]上的面积,已知函数 y=sin 2 ? π? * nx 在?0, ?上 的面积为 (n∈N ),则 n? n ?

? 2π ? (1)y=sin 3x 在?0, ?上的面积为______; 3 ? ? ?π 4π (2)y=sin(3x-π )+1 在? , 3 ?3 ?上的面积为______. ? ?

2 ? π? 解析:本题给出了 y=sin nx 在?0, ?上的面积为 ,需要由此类比 y=sin 3x 在 n? n ?

?0,2π ?上的面积及 y=sin(3x-π )+1 在?π ,4π ?上的面积,这需要寻求相似性,其思 ? ?3 3 ? 3 ? ? ? ? ?
维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积, 因此要研究这个已知条件, 要 4 注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是 n=3 时一个周期的面积为 ;第 3 2 ? π 4π ? (2)问,画出 y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的图象,就可以容易地得出答案π + . 3 3 3 ? ?

4 答案:(1) 3

2 (2)π + 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15. (12 分)设 A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x+3, 且 x∈A}, C={z|z=x , 且 x∈A}, 若C B,求实数 a 的取值范围.
2

解析:∵y=2x+3 在[-2,a]上是增函数,∴-1≤y≤2a+3,即 B={y|-1≤y≤2a +3},作出 z=x 的图象,该函数定义域右端点 x=a 有如下三种不同的位置情况:
2

5

①当-2≤a≤0 时,a ≤z≤4 即 C={z|a ≤z≤4}, 要使 C 1 得 a≥ ,与-2≤a≤0 矛盾; 2 ②当 0<a≤2 时,0≤z≤4 即 C={z|0≤z≤4},要使 C

2

2

B, 必须且只需 2a+3≥4,

B,由图可知:

? ?2a+3≥4, 1 必须且只需? 解得 ≤a≤2; 2 ?0<a≤2. ?
2 2

③当 a>2 时,0≤z≤a ,即 C={z|0≤z≤a },要使 C 解得 2<a≤3; ④当 a<-2 时,A= ,此时 B=C= ,则 C

? ?a ≤2a+3, B,必须且只需? ?a>2. ?

2

B 成立.

?1 ? 综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪? ,3?. ?2 ?
x y 16. (12 分)已知 A(1, 1)为椭圆 + =1 内一点, F1 为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点. 求 9 5 |PF1|+|PA|的最 大值和最小值.
2 2

x y 解析:由 + =1 可知 a=3,b= 5,c=2,左焦点 F1(-2,0),右焦点 F2(2,0).由 9 5 椭圆定义, |PF1| = 2a - |PF2| = 6 - |PF2| ,∴ |PF1| + |PA| = 6 - |PF2| + |PA| = 6 + |PA| - |PF2|.

2

2

如图: 由||PA|-|PF2||≤|AF2|

6

= (2-1) +(0-1) = 2, 知- 2≤|PA|-|PF2|≤ 2. 当 P 在 AF2 延长线上的 P2 处时,取右“=”号; 当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时,取左“=”号. 即|PA| - |PF1| 的最大值和最小值分别为 2,- 2. 于是|PF1|+|PA|的最大值是 6+ 2,最小值是 6- 2.

2

2

1 3 1 2 17. (14 分)若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1, 4)内为减函数, 在区间(6, 3 2 +∞)内为增函数,试求实数 a 的取值范围.

思路点拨:这是一个利用 导数研究函数单调性的问题.首先把函数的增、减性转化为 导数的正、负来研究.求 f(x)的导数,得 f′(x)= x -ax +a-1. 于是将问题转化为求二 次函数 x -ax +a-1 在区间(1,4)内为负,在区间(6,+∞)内为正的充要条件,而这个 问题则完全是二次函数的问题,解决时必须借助图形. 解析: 对函数 f(x)求导, 得 f′(x)=x -ax +a-1, 由此得出方程 x -ax+a-1 = 0 的两个根为 x=1 和 x=a-1,然后再借助图形进行研究. 显然,函数 f′(x)=x -ax+a-1 是开口向上,与 x 轴至少有一个交点的抛物线. ①当 a-1≤1 时, 函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点横坐标 a-1 在 1 的左侧, 在区间(1, 4)内 f ′(x)>0,如下图(左)所示,那么 f(x)在(1,4)内为增函数,不合题意.
2 2 2 2 2

②当 1<a-1<4 时,函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点的横坐标 a-1 在 1 与 4 之间, 在区间(1,4)内 f′(x)<0 不恒成立,如上图(右)所示,那么 f(x)在(1,4)内不为减函数, 不合题意. ③当 4≤a-1≤6 时,函数 f′(x)与 x 轴的另一个交点的横坐标 a-1 在区间 [ 4,6 ] 上,在区间(1,4 )内 f′(x)<0;在区间(6,+∞)内 f′(x)>0,如下图(左)所示.那么 f(x)在(1,4)内为减函数,在(6,+∞)内为增函数.此时 5≤a≤7,满足题意.

7

④当 a-1>6 时, 函数 f′(x) 与 x 轴的另一个交点在 6 的右侧, 在区间(6, +∞)内 f′(x) >0 不恒成立,如上图(右)所示,那么 f(x)在(6,+∞)内为增函数不成立,不合题意. 综上所述,a 的取值范围是[5,7].

? 4 3? 试求实数 a, 2 18. (14 分)已知关于 x 的不等式 1-x >ax+b 的解集为?- , ?, b 的值. ? 5 5? ? 4 3? 2 解析:记 y1= 1-x ,y2=ax+b,如图,原不等式的解集为?- , ?的充要条件是当 ? 5 5?
︵ ? 4 3? 圆弧AB ? 4 3? B?3,4?. x∈?- , ?时, 在直线 y2=ax+b 的上方, 即直线 y2=ax+b 过点 A?- , ?, ? ? 5 5 ? ? ? 5 5? ?5 5? 4 3 1 ? ?-5a+b=5, ? ?a=7, ∴? 解得? 3 4 5 ? ? ?5a+b=5, ?b=7.

19.(14 分)设函数 f(x)=

x +1-ax,其中 a>0,解不等式 f(x)≤1.

2

解析:f(x)≤1 即 x +1≤1+ax,利用数形结合,设 y1=1+ax1,设 y2= x2+1,y2- x2=1(y2>0),所以研究的问题变为直线 L:y1=1+ax1 位于双曲线 C:y2-x2=1 上半支上方 时 x 的取值范围,如图所示:
2 2 2

2

2

2

8

①当 0<a<1 时,直线 L 与双曲线 C 有两个交点,其对应横坐标分别为 x=0,x= 2a 所以 0≤x≤ 2; 1- a

2a 2, 1-a

②当 a≥1 时,直线 L 与双曲线 C 只有(0,1)一个交点,所以只要 x≥0,原不等式就成 立. 综上可知,当 0<a<1 时,所给不等式的解集为{x|0≤x≤ 式的解集为{x|x≥0}. 2a 2};当 a≥1 时,所给不等 1- a

20. (14 分)(2014·新课标Ⅰ卷)设函数 f(x)=aln x+ 在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b;

1-a 2 x -bx(a≠1), 曲线 y=f(x) 2

a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的 取值范围. a-1

a 解析:(1)f′(x)= +(1-a)x-b, x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. 1-a 2 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 a ? a 1-a? f′(x)= +(1-a)x-1= ?x-1-a?(x-1). x x ? ? 1 a ①若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时 ,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递 2 1-a a a 1-a a 增,所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f(1)< ,即 -1< , a- 1 a-1 2 a-1 所以- 2 -1<a< 2-1.

9

a ? 1 a ? ②若 <a<1,则 >1,故当 x∈?1, ?时,f′(x)<0; 2 1-a ? 1-a? 当 x∈?

? a ,+∞?时,f′(x)>0; ? ?1-a ?

a ? ? ? a ? f(x)在?1, ?单调递减,在?1-a,+∞?单调递增,所以,存在 x0≥1,使得 f(x0) ? 1-a? ? ?
2 a ? a ? a a a a a a ? ? aln + < 的充要条件为 f? ,而 f? + > ,所 ?< ?= 1-a 2(1-a) a-1 a-1 a-1 ?1-a? a-1 ?1-a?

以不合题意. 1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= -1= < . 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞).

10


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