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选修4-4圆锥曲线的参数方程2015.5.28)

时间:2015-05-31


第二章 参数方程

第二章 参数方程

椭圆的参数方程

第二章 参数方程

例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N

M

设∠XOA=φ

x

第二章 参数方程

例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M

? x ? a cos ? O N x 由已知: ? (?为参数) ?y ? b sin? 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b

第二章 参数方程

1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , ? x ? b cos ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y ? b sin ?. ? y ? a sin ?.

第二章 参数方程 知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1
y A
B O M N

φ
x

a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.

第二章 参数方程 知识归纳

名称


参数方程

各元素的几何意义
O (a , b)表示圆心,r 表示

? a ? r cos? (? 为参数) {x 半径,? 是动OP与x轴的 y ? b ? r sin ?
正半轴组成的圆心角。

x ? a cos ? { y ? b sin ? (?为参数) ? 表示离心角,但不是OM与 椭圆 OX的正半轴所成的角。

a表示长半轴,b表示短半轴,

第二章 参数方程

? x ? 2cos? 练习1:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

第二章 参数方程

例2、设P是椭圆

x ? y ?1 36 4
2

2

在第一象限部分的弧AB上的一点, 求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。 = ?
? 4 时四边形OAPB的最大值=6

2

此时点P(3 2, 2)

第二章 参数方程 例3、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线

l:x-y+4=0的距离的最小值.

y

分析1: 设P(? 8 ? 8y 2 , y),
则d ? | ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 | 2
O x

分析2:设P(2 2 cos?, sin ?),

P

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

| 2 2 cos? ? sin ? ? 4 | 5 cos(? ? ? ) ? 4 则d ? ? 2 2

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

第二章 参数方程 练习

2、已知椭圆
?

? x ? 3 cos? ? ? y ? 2 sin ?

(? 为参数)

求 (1)? ? 6 时对应的点P的坐标 (2 )直线 OP的倾斜角 2 2 3、椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 a ? b ? 0 )与 x


a

b

轴正向交于点A, 若这个椭圆上存在点P,使OP⊥AP,(O为原点) ,求离心率 的范围。

e

第二章 参数方程

双曲线的参数方程

第二章 参数方程 双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
a

y
A B' o

?M
A' x

说明:

? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

?

b

? 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ? 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

第二章 参数方程

例1、已知圆O : x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1上一点 P 与双曲线 x ? y ? 1上一点Q,求 P、Q 两点距离的最小值
2 2

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec 2 ? ? (tan ? ? 2) 2 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3 ? 5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1
2 2 2 2

2 2 x y 例2. 如图, 设 M 为双曲线 上任意一点, ? ? 1 ( a , b ? 0 ) a 2 b2

第二章 参数方程

O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两

渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积,

b 解: 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x . 不妨设M为双曲 a 线右支上一点, 其坐标为 (a sec ? , b tan ? ) , 则直线MA的方 b 程为 y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ) b a 将 y ? x 代入上式, 解得点A的 a a 横坐标为 x A ? (sec ? ? tan ? ) 2
同理, 得点B的横坐标为

由此可以发现什么结论?

a xB ? (sec ? ? tan ? ). 2

第二章 参数方程


?AOx ? ? , 则

b tan ? ? , a

所以,

MAOB 的面积为

xA xB S ?| OA | ? | OB | sin 2? ? ? ? sin 2? cos ? cos ? a 2 (sec 2 ? ? tan 2 ? ) ? ? sin 2? 2 4 cos ? 2 2 a a b ab ? ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点 M 在双曲线上的位置无关.

第二章 参数方程

x ? sec? 1. 如果双曲线 ? 为参数 ? 上一点P到它 ? y ? 6tan ? 的右焦点的距离是 8,那么P到它的左焦点的距离 为_______________________. ? x ? 3 sec? 2.下列双曲线中,与双曲线? ?? 为参数 ? ? y ? tan ? 的离心率和渐近线相同的是 (A ) 2 2 2 2 y y A. x ? ?1 B. ? x ? 1 9 3 3 9 2 2 y y 2 2 C. ? x ? 1 D . ? x ? ?1 3 3

?

? ? ? x ? sin ? cos ? 2 2 ?? 为参数 ? 的普通 3. 参数方程 ? ? ? y ? 2 ? sin ? C 方程为 ( ) 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. x ? y ? 1 ?| x | ? 2 ? 2 2 2 2 C . y ? x ? 1? D . x ? y ? 1?| x | ? 2 ? ? ? y?1 ? t ?t ?x ? e ? e 4. 已知方程 ? t ? t ? t为参数 ? 的图形是 ( B ) ?y ? e ?e A. 双曲线左支 B . 双曲线右支 C . 双曲线上支 D. 双曲线下支

第二章 参数方程

第二章 参数方程
2 x 5. 已知点A ? 0, 2 ?,B为双曲线 ? y ? 1上的动点, 4 求 AB 的最小值. 2

?x ? ? 6. 已知曲线C 的方程为 ? y? ? ?
第二章 参数方程

1 ? e t ? e ? t ? cos ? 2 . 1 ? e t ? e ? t ? sin ? 2 当 t 是非零常数,? 为参数时,C是什么曲线? k ? 当? 为不等于 ? k ? Z ?的常数,t为参数时, 2 C是什么曲线?
两曲线有何共同特征?
答: 此椭圆与双曲线有共同的焦点.

第二章 参数方程

抛物线的参数方程

第二章 参数方程 抛物线的参数方程

y

如图2 ? 12, 设抛物线的普通方

M?x, y?

? 程为 y 2 ? 2 px ⑤ O x 其中p表示焦点到准线的距离 . 设M ? x, y ?为抛物线上除顶点 外任意一点 , 以射线OM 为终 图2 ? 12 边的角记作? . ? ? ?? 显然,当?在? ? , ?内变化时, ? 2 2? 点M在抛物线上运动 , 并且对于?的每一个值, 在 抛物线上都有惟一的点 M与之对应 .因此, 可以取 ?为参数来探求抛物线的 参数方程.

第二章 参数方程

因为点M 在? 的终边上, 根据三角函数定义可得 y ⑥ ? tan? . x

y

M?x, y?

?
O

x

由⑤, ⑥解出x, y, 得到 2p 图2 ? 12 x? , 2 tan ? ??为参数? 2p y? . tan? ⑤ ?不包括顶点 ?为参数方程. 这就是抛物线 1 如果令 t ? , t ? ?? ?,0 ? ? ?0,?? ?, 则有 tan ?

第二章 参数方程

x ? 2 pt , ?t为参数? y ? 2 pt .
2



当t ? 0 时,由参数方程⑦ 表示的点正好就是抛物 线的顶点?0,0 ?. 因此 ,当t ? ?? ?,? ??时 , 参数方程 ⑦ 就表示整条抛物线 .参数t表示抛物线上除顶点 外的任意一点与原点连 线的斜率的倒数 .
思考 怎样根据抛物线定义选 取参数, 建立抛物线 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?的参数方程 .

用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程 .

第二章 参数方程

例 5 如图 2 ? 13, O是直角 坐标 原点 , A , B 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0?上异于顶
2

y
A M

点的两动点 , 且 OA ? OB , OM ? AB 并与AB 相交于
看点M运动形成轨迹的过程 .

O

x

点M , 求点M的轨迹方程.

B

图2 ? 13

的坐标为? x, y ?, ?2 pt12 ,2 pt1 ?,
2 2 2 1 2 1 2 2 1

解 根据条件, 设点M , A, B

?2 pt ,2 pt ??t ? t , 且t ? t ? 0?, 则OM ? ?x, y ?, OA ? ?2 pt ,2 pt ?, OB ? ?2 pt ,2 pt ?,
1 2 2 2

第二章 参数方程
2 2

AB ? ?2 p?t ? t ?,2 p?t2 ? t1 ??.
2 1

y
A M

因为 OA ? OB,
所以OA ? OB ? 0, 即
O

x

?2 pt1t2 ? ? ?2 p ? t1t2 ? 0,
2 2

所以t1t2 ? ?1 ⑧

B

因为 OM ? AB,

图2 ? 13

2 2 ?? 2 py?t2 ? t1 ? ? 0, 所以OM ? AB ? 0, 即2 px?t2 ? t1

y 所以 x?t1 ? t2 ? ? y ? 0, 即t1 ? t2 ? ? ? x ? 0 ?. x



第二章 参数方程

因为AM ? ?x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ?,
2 MB ? ?2 pt2 ? x,2 pt2 ? y ?,

y
A M

且A, M , B三点共线, 所以

化简, 得y?t1 ? t2 ? ? 2 pt1t2 ? x ? 0 ⑩ ? y? ⑧ ⑨ ⑩ 将 , 代入 , 得到 y? ? ? ? 2 p ? x ? 0, ? x? 即x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0? x ? 0 ?, 这就是点M的轨迹方程 .

?x ? 2 pt ??2 pt ? y ? ? ? y ? 2 pt ??2 pt ? x ?,
2 1 2 1 2 2

O

x

B

图2 ? 13

第二章 参数方程

1、若曲线{

x ? 2 pt y ? 2 pt

2

(t为参数)上异于原点的不同

两点 M 1, M 2 所对应的参数分别是 t1 , t2 , 则弦 M 1M 2 所在直线的斜率是 ( c ) 1 A、t1 ? t2 B、t1 ? t2 C、 t1 ? t2 1 D、 t1 ? t2

第二章 参数方程

练习3 2、 设M 为抛物线 y

2

? 2 x 上的动点, 给定点

M 0 (?1, 0), 点 P 为线段 M 0 M 的中点, 求点 P 的轨迹方程。

第二章 参数方程

解:设抛物线上任意一点 M 坐标为(2t 2 , 2t ),P 的 坐标为( x, y ). 2 ? x ? ?1 ? 2 t ? 2 则P的轨迹方程为 ? ( t为参数), ? y ? 2t ? 2 2 1 消去参数得点P 的普通方程为:y ? x ? . 2

? ?x=m+2cos? 练习3 6.已知椭圆C1 : ? (?为参数 )及 ? ?y= 3 sin ? 3 2 抛物线C2 : y ? 6( x ? ).若C1 ? C 2 ? ?, 2 求m的取值范围.

第二章 参数方程


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