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《利用二分法求方程的近似解》说课稿

时间:2014-12-09


《用二分法求方程的近似解》说课稿
说课教师:朱雪清 各位老师: 大家好!今天我说的课是------普通高中课程标准实验教科书-----数学----必修 1-----第三章第一节------《用二分法求方程的近似解》。 下面, 我将从-----教材地位------学情分析-------教学理念--------教学 过程等多个方面, 重点为大家阐明两个问题, 即 ①怎么教 希望能得到各位专家、老师的指导。 一、教学地位分析 1、教材的地位和作用 用二分法求方程的近似解》是新课程中第三章-----《函数与方程》----第 一节的新增内容,体现了本套教材的数学应用意识,所以,数学应用意识的培养 ------与数学思想的渗透------是本章教学的重要任务。 为了帮助学生认识函数 与方程的关系,教科书分三个层面来展现: 从简单的一元二次方程和二次函数入手, 建立起方程的根与函数零点的关 系,侧重点在于学习零点存在定理. 通过用二分法求方程的近似解,体现函数的零点-----与方程的根之间的 关系,让学生学会用二分法求方程的近似解. 通过建立函数模型--------以及运用模型解决问题,体会二分法在生活中 运用的巧妙性与实用性. 要求学生根据具体函数的图像,借助计算器用-----二分法求相应方程的近 似解, 沟通了函数、 方程、 不等式等高中知识, 体现了二分法的工具性和实用性, 同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想. 所以, 数学应用意识的培养------与数学思想的渗透------是本章教学的重 要任务。 二分法是一个重要的数学思想方法,至少蕴涵着三个思想:近似的思想---逼近的思想------和算法的思想。 近似思想是数学应用的一个重要的指导思想, ②为什么这样教,

在很多时候,我们只需要给定精度的近似值,--------而且利用二分法,在理论 上我们可以无限“逼近”任意精度下的解,从而使得误差任意小,-----另外, 二分法具有明显的程序化特征, 可以让学生提前感受程序化处理问题的过程,这 是算法的重要思想。 本课“承前”是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸,“启 后”是------渗透近似思想、逼近思想-----------和程序化算法思想的重要内 容,同时,本课为高二所要学习的必修二-------《程序框图和算法思想》奠定 了必要的基础。 从上述意义上说, 本课是一节重要的课, 在本章教学中具有不可替代的地位。 2、教学目标分析 根据对教材的上述分析, 以及对学生-----认知结构-----和心理特征,我将 本课的教学目标设定如下: 知识与能力方面: 了解二分法是求方程近似解的一种常用方法;能够用二分 法求方程近似解-----或求函数零点的近似值;能够用框图表示二分法求方程近 似解的过程; 过程与方法方面: 展示二分法处理问题的思路和过程,让学生充分体验近似 的思想、 逼近的思想和-----程序化处理问题的思想-;掌握二分法作为求方程近 似解的方法及其表示。 情感、态度、价值观方面:在用二分法求方程近似解或函数零点的过程中, 体验逐步“逼近”目标的乐趣;在对引例以及与之类似的问题的解决中,检验数 学的应用价值,体味数学的兴趣性,激发学生学习数学的兴趣。 3、教学重难点及突破难点的关键 重点:二分法思想的理解,用二分法求方程近似解的步骤 难点: 用二分法求方程的近似解的一般步骤的归纳和概括,精确度概念的理 解 突破难点的关键:明确要求-----分散难点。具体做法是:①对计算器的使 用要求仔细、 认真;②对--用框图表示二分法处理问题的过程-----要强调清晰、 可执行------并准确把握终止条件。

二、学情分析 高一学生对函数知识的主要印象是抽象的,他们最想问的问题可能就是“函 数知识有什么用?” -----所以尽管他们经历了初中和高一前期对函数的学习后, 具备了一定的抽象理解能力, -----但在数学应用意识-----和应用能力方面仍然 有待提高; 同时, 计算能力-------和准确表述解答过程的能力-------也需要进 一步加强。这些都是进行本课教学必须考虑到的学生因素。 所以,在教法上,本堂课安排了温故知新------设置冲突------问题调整-----创设情境-------尝试探究--------合作交流-------解决问题-------揭 示新知------归纳总结和作业创新等环节. 整堂课围绕数形结合,逼近,划归的数学思想方法这一主题来展开. 在学法上, 本设计主要应用构建主义的数学教学理念,引导认知主体积极参 与到探究、发现、讨论、交流的学习活动中去,使课堂教学成为学生亲自参与的 数学教学场所,注重教师的指导性和学生的探究性. 三、教法分析 1、设计活动,创设情境,激发兴趣 ; 引例设计了不超过八次就找出电线的断点问题,让学生先行尝试,学生失败 后再由教师进行; 可让学生感受到二分法的神奇,同时也对二分法处理问题的主 要思想和步骤有了初步掌握。 2、以任务驱动教学,引导自主探究,适时介入指导 ; 引例中的任务是“不超过八次就找出电线的断点”,例题中的任务是“用二 分法求给定方程的近似解”。引例中的任务完成后,学生基本了解了二分法的思 想和步骤,然后引导学生思考如何完成例题中的任务,对主要过程(解答思路、 过程中的计算以及过程的终止等)应由学生探索完成;对框图的绘制和过程的叙 述,应在教师指导下完成。 四、教学过程

1.温故知新、设置冲突 零点存在定理:

如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b? 满足
(1)函数的图象是连续不断的一条曲线. (2) f (a) f (b)?0 那么,函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f ? c ? ? 0 ,这个

c 也就是方程 f ? x ? ? 0 的根.
问题 1:求方程 x - 2 x - 3 ? 0 的根,可以选用哪些方法?
2

问题 2:是否所有的方程都可以选用以上的三种方法来求它的根?

设计意图: 复习零点存在定理,为新知识的讲解铺路搭桥;问题是数学的“心脏” ,是 数学知识、能力发展的生长点和思维的动力,把问题作为教学出发点,创设学生 熟悉的问题组, 构造认知冲突和悬念,问题 1 意在复习之前学过的求方程的根的 三种方法:因式分解法,公式法和配方法;问题 2 引出冲突,设置悬念,为二分 法思想的出现做铺垫.

2.问题调整,直面主题
问题 3:如何求方程 ln x ? 2 x - 6 ? 0 的根? 在学生对问题3讨论中,教师适时提出对于绝大多数类型的方程而言,我们是难以求 出他们的精确解的;而现实中,许多实际问题也不需要精确解,而只需要符合一定精确度的 近似解就可以了,进而引本课主题:求方程的近似解!通过联系上节课内容,易将方程的近 似解问题转化为相应函数零点的近似解问题.

设计意图: 一方面将研究问题进一步明确化,另一方面为引出二分法做铺垫,同时培养 学生直观想象能力, 利用数轴画出简图来辅助说明,理解为求得方程更为精确的 近似解, 直观上就是去探求零点所处的更小的范围,即求方程近似解的问题可以 转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题.

3.创设情境,尝试探求
问题 4: 从城市 A 到城市 B 的供电线路的某一处发生了故障,已知这条线路的长度是 10Km,每 50m 有一根电线杆,如何迅速查出故障的所在位置? 问题 5:如何设计最佳方案查找故障点所在的范围?(二分法) 学生可能会提供各种答案,教师可根据学生提出的答案灵活处理: 答案一:把线路分成很多小段,一段一段的去检验,最终可以找出故障点所在的线路范围, 由此得到:此方法尽管自然,但效率较低,无规律可循,也不便实际应用.

答案二:直接将故障点所在区间范围不断分成两部分,逐步缩小检验范围,最终看故障点在 哪个部分, 这种方法是我们所期待的, 在此基础上引出方案中最简单的一种: 二分, 从而引出二分法思想. 问题 6: 运用刚才的二分的方法找故障点所在范围的思想, 联系求方程 ln x ? 2 x - 6 ? 0 的根的问题, 结合零点存在定理,能否用二分的方法求出此方程的近似解? 给出二分法的定义,进而引出本堂课的核心:用二分法求方程的近似解. 对于问题 6 的回答,教师应该抓住机会说明“取中点”缩小零点范围的方法称为“二分 法” ,进一步明确这种思想,对于给定的区间 ( a, b) ,取中点 c ? (a ? b)/2 ,若 f (c) ? 0 ,则

c 为函数的零点;如果不为 0,通过比较两个端点函数值符号,即可判断零点在 (a, c) 内还
是在 (c, b) 内,从而范围缩小一半.

设计意图: (1) 问题情境的创设贴近生活,且恰时恰点,能够激起学生新的探究激情, 引出本课核心的思想方法:二分法思想. (2) “给学生提供活动的时(思维时间)空(思维空间) ,让主体主动构建 自己的认知结构,培养学生的创造力”这是建构主义的核心观点,它充分体现了 学生的主体地位和教师的主导作用. (3)由问题 5 探究如何迅速查找故障点所在范围,引出二分的思想,培养 学生的思维迁移和转化能力,问题 6 引导学生提出“取中点”的二分思想,让学 生在自主探索和相互交流的过程中,感受成功和失败的体验,深刻领悟到数形结 合思想和转化的思想在解决数学问题中所起的作用.

4.交流合作,解决问题
问题 7:给定精确度 0.1,求方程 ln x ? 2 x - 6 ? 0 在区间 (2,3)内的根的近似解 在此引入精确度,并讲解精确度概念 区间 ( a, b) 中点值 c 2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25

f (c) 的近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009

区间长度 a - b

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5)

1 0.5 0.25 0.125 0.0625

设计意图: 问题 7 让学生动手操作、主体参与,从不同步长的数据中选择所需的数据, 提高数据处理能力; 利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知,深刻体验二分法

思想的本质,为学生自身总结归纳步骤奠定基础,并且提高教学效率.

5.归纳总结,揭示新知
教师板书二分法的定义, 本方法所体现的思想是数学中的重要思想: 逼近思 想,教师进一步引导学生梳理前面的思维过程,先可以采用通俗的语言加以概 括.
给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ? x ? 零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 ?a, b? ,验证 f (a) ? f (b)?0 ,给精确度 ? ; (2)求区间 ( a, b) 的中点 c ; (3)计算 f (c) ; ①若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点; ②若 f (a) ? f (c)?0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? ? a, c ? ); ③若 f (c) f (b)?0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? ? c, b ? ). (4)判断是否达到精确度 ? :即若 a - b ?? ,则得到零点近似值 a (或 b );否则重复(2)~ (4).

设计意图: (1) 启发诱导,揭示知识形成过程,让学生参与教学过程,让学生做学习的 主人,及时梳理归纳,符合建构主义的学习原理,能较好地形成新的认知结构. (2) 通过前面对一个具体实例的求解, 归纳总结得出一般结论, 遵循了从 “具 体到抽象”的认知规律,蕴含了从“特殊到一般”的推理方法. (3) 先让学生用自己的语言归纳概括进而转化到形式化的算法语言, 不仅降 低步骤归纳的难度,又给二分法的本质理解提供了时机.

6.应用新知,练习巩固
用二分法求函数 f ( x) ? 3 - x - 4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f (1.6000) ? 0.200 f (1.5625) ? 0.003
x

f (1.5875) ? 0.133 f (1.5562)? -0.029
.

f (1.5750) ? 0.067 f (1.5500)? -0.060

据此数据,可求得方程 3 - x - 4 ? 0 的一个近似解为
x

借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x - 7 ? 0 的近似解(精确度为0.1)

设计意图: 精心设计了阶梯型的变式问题,使学生主动参与教学活动,思维层层深入,

体现了教师为主导,学生为主体的教学原则.
练习 1:p91:用二分法求函数 f ( x) ? x 3 ? 101 x 2 ? 0.9x - 1.4 在区间(0,1)内的零点.精 确度为 0.1)

设计意图: 巩固二分法求方程近似解的一般步骤; 让学生明确二分法求近似解的使用范 围,即适用于变号零点的近似解问题.

7.小结评价,作业创新
由学生归纳本课主要内容: 1.二分法的基本概念 2.用二分法求方程的近似解的步骤,体验其中蕴涵的算法和逼近思想 作业: 课本92页习题31A组 3-5

设计意图: (1)通过小结使学生明确本节课的知识. (2)适当的作业有助于进一步巩固新知. (3)思考题有助于学生对于二分法在实际生活中的运用,感受数学思想 方法的应用价值. (4)阅读课本材料和学写相关数学小论文, 有助于让学生感受数学文化, 逐步形成正确的数学观,作业的必修和选修,为学生提供了多样课程,适应了个 性选择,符合新课程所积极倡导的理念.
附:板书设计

§3.1.2 用二分法求方程的近似解
1、 二分法的概念 ? 2、 用二分法求方程近似解的步骤 ? 例 ? ? 练习


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