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1978年全国统一高考数学试卷

时间:2013-05-30


1978 年全国统一高考数学试卷 一、解答题(共 11 小题,满分 120 分) 1. 分)将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式: (4 (1)有理数范围; (2)实数范围; (3) 复数范围. 2. 分)已知正方形的边长为 a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆 (4 柱体的体积.

3. 分)求函数 (4

的定义域.

4. 分)不查表求 cos80° (4 cos35° +cos10° cos55° 的值.

5. 分)化简: (4

6. (14 分)已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数对于不同范围的 k 值,分别指出方程所代表图形的内 形,并画出显示其数量特征的草图. 7. (14 分)如图,AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C 点,AM⊥ MN 于 M 点, BN⊥ MN 于 N 点,CD⊥ 于 D 点. AB 求证: (1)CD=CM=CN; (2)CD2=AM?BN.

8. (12 分)已知:18b=5,log189=a(a≠2)求 log3645. 9. (20 分)已知△ABC 的三内角的大小成等差数列,tgAtgC= 点 C 的对边 c 上的高等于 求角 A,B,C 的大小,又已知顶 )

, 求三角形各边 a, c 的长. b, (提示: 必要时可验证

10. (20 分)已知:α,β 为锐角,且 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α﹣2sin2β=0.求证: 11. (20 分)已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2﹣1(m 为实数) (1)m 是什么数值时,y 的极值是 0? (2)求证:不论 m 是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线 L1 上.



1978 年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、解答题(共 11 小题,满分 120 分) 1. 分)将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式: (4 (1)有理数范围; (2)实数范围; (3) 复数范围. 考点: 专题: 分析: 解答: 虚数单位 i 及其性质. 计算题. 直接根据(1)有理数范围; (2)实数范围; (3)复数范围.的要求,分解因式即可. 解: (1)x5y﹣9xy5=xy(x2+3y2) 2﹣3y2) (x . (2)x5y﹣9xy5=xy(x2+3y2) (x+ y) (x﹣ y) . 5 5 (3)x y﹣9xy =xy(x+ yi) (x﹣ yi) (x+ y) (x﹣ y) . 本题考查实数系与数系的扩充,考查学生的基础知识,是基础题.

点评:

2. 分)已知正方形的边长为 a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆 (4 柱体的体积. 考点: 专题: 分析: 解答: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题;综合法. 由题设,设圆柱体的半径为 r,由于侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长, 即 2πr=a,由此方程求得半径,再由直圆柱体的体积公式求体积即可. 解:设底面半径为 r,直圆柱体的高为 h 因为侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长 所以有底面周长 2πr=a,h=a,解得 由公式圆柱体体积 V=πr2h= 答:直圆柱体的体积的体积是 点评: , .

本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式, 是考查基本公式掌握熟练程 度的一道题.

3. 分)求函数 (4

的定义域.

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 计算题. 使函数的分母不为 0,对数的真数大于 0,偶次根式被开放数非负. 解:由题意知:x﹣1>0 且 2﹣x>0 解得 1<x<2. 故函数定义域为(1,2) . 本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域,注意取交集.

4. 分)不查表求 cos80° (4 cos35° +cos10° cos55° 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数.

专题: 分析: 解答: 点评:

计算题. 先利用诱导公式使原式等于 sin10° cos35° +cos10° sin35° ,进而利用两角和公式化简整理,最后利 用特殊角求得答案. 解:原式=sin10° cos35° +cos10° sin35° =sin(10° ° +35 )=sin45° = 本题主要考查了两角和公式,诱导公式的化简求值.属基础题.

5. 分)化简: (4

考点: 分析: 解答:

根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 根据指数的运算性质逐步进行化简,求值即可得到答案. 解:原式= =2?

=

点评:

指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质:① r?as=ar+s(a>0,r,s∈R) (ar)s=ar?s(a a .② r r r >0,r,s∈Q) (a?b) =a ?b (a>0,b>0,r∈Q) .③ .

6. (14 分)已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数对于不同范围的 k 值,分别指出方程所代表图形的内 形,并画出显示其数量特征的草图. 考点: 专题: 分析:

解答:

圆锥曲线的共同特征. 计算题. (1)k=1,方程的图形是圆半径为 2,当 k>1 且 k≠时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点, 长轴在 y 轴上;当 1>k>0 时方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,长轴在 x 轴上 (2)k=0 时,方程为 y2=4,图形是两条平行于 x 轴的直线 y=± 2 (3) )k<0 时,这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在 y 轴上, 解: (1)k>0 时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,此时又可分为:① k>1 时,长轴在 y 轴上,半长轴=2,半短轴= ;② k=1 时,为半径 r=2 的圆;③ k<1 时,长轴在 x 轴上,半长

轴=

,半短轴=2

(2)k=0 时,方程为 y2=4,图形是两条平行于 x 轴的直线 y=± 如图: 2

(3)k<0 时,方程为 如图:

,这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在 y 轴上,

点评:

本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.属基础题.

7. (14 分)如图,AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C 点,AM⊥ MN 于 M 点, BN⊥ MN 于 N 点,CD⊥ 于 D 点. AB 求证: (1)CD=CM=CN; (2)CD2=AM?BN.

考点: 专题: 分析:

解答:

与圆有关的比例线段. 证明题. (1)首先根据题中圆的切线条件得二组角相等,再依据全等三角形的判定定理得两三角形全 等,从而证得线段相等; (2) 在直角三角形 ABC 中应用射影定理求得一个线段的等式, 再根据线段的相等关系可求得 CD2=AM?BN. 证明: (1)连接 CA、CB, 则∠ ACB=90° ACM=∠ ∠ ABC,∠ ACD=∠ ABC ∴ ACM=∠ ∠ ACD∴ AMC≌ ADC △ △ ∴ CM=CD 同理 CN=CD∴ CD=CM=CN (2)∵ CD⊥ AB,∠ ACD=90° 2 ∴ CD =AD?DB 由(1)知 AM=AD,BN=BD ∴ 2=AM?BN. CD 本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理,属容易题.

点评:

8. (12 分)已知:18b=5,log189=a(a≠2)求 log3645. 考点: 分析: 解答: 对数的运算性质. 根据指数与对数式的互化,可先将 18b=5 化为 log185=b,然后代入即可得到答案. 解:∵ b=5,∴ 185=b 18 log

∴ 点评: 本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式.一定要掌握对数的运算法则. 求角 A,B,C 的大小,又已知顶 )

9. (20 分)已知△ABC 的三内角的大小成等差数列,tgAtgC= 点 C 的对边 c 上的高等于 考点: 专题: 分析: 解答:

, 求三角形各边 a, c 的长. b, (提示: 必要时可验证

同角三角函数基本关系的运用;等差数列的性质;三角形中的几何计算. 计算题. △ABC 的三内角的大小成等差数列, 求出 B=60° A+C=120° 利用两角和的正切, , , 求出 tgA+tgC, 然后求出 tgA,tgC,求出 A,C 的值,利用任意角的三角函数求出 a,b,c. 解:A+B+C=180° 2B=A+C.∴ 又 B=60° ,A+C=120° ∵ 而 tgA+tgC=(1﹣tgAtgC)tg(A+C)= 由(1) (2)可知 tgA,tgC 是 . (2) =0 的两根.解这方程得:

x1=1,x2=2+ 设 A<C,则得 tgA=1,tgC=2+ . ∴ A=45° ,C=120° ﹣45° =75° 又知 c 上的高等于 4 , ∴ a= 点评: =8;b= ;

c=AD+DB=bcos45° +acos60° =4 . 本题考查同角三角函数基本关系的运用,等差数列的性质,三角形中的几何计算,考查计算能 力,是中档题. .

10. (20 分)已知:α,β 为锐角,且 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α﹣2sin2β=0.求证: 考点: 专题: 分析: 同角三角函数基本关系的运用. 证明题. 欲证:

.往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明,利用题中

解答:

的两个关系,我们先求 sin(α+2β)的值即可解决问题. 解:由 3sin2α+2sin2β=1,得:3sin2α=cos2β. . . ∴ 22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α sin ∴ 2α=1. 9sin ∴ sinα= (α 为锐角) ∴ sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(3sin2α)+cosα(3sinαcosα) =3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα=1 ∴ .

点评:

本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式, 证明的关键是求出 sin α+2β) ( , 是一道三角变换的中档题.

11. (20 分)已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2﹣1(m 为实数) (1)m 是什么数值时,y 的极值是 0? (2)求证:不论 m 是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线 L1 上. 考点: 专题: 分析:

利用导数研究函数的极值;抛物线的应用. 计算题;证明题. (1)二次函数研究极值问题,可利用配方法研究极值,根据 y 的极值是 0 建立等量关系. (2)先求出函数图象抛物线的顶点坐标,根据点的横坐标与纵坐标消取参数 m 即可得顶点轨 迹,再进一步验证即可. 解: (1)用配方法得: ∴ 的极小值为 .所以当极值为 0 时,

解答:

(2)函数图象抛物线的顶点坐标为 即 二式相减得: 点评: ,

,此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线,方程中不含

m,因此,不论 m 是什么值,抛物线的顶点都在这条直线上. 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及抛物线的应用,属于中档题.


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