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2017-2018版高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算学案北师大版必修5

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2 三角形中的几何计算 学习目标 1.能够运用正弦定理、 余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、 余弦定理进行平面几何中的推理与证明. 知识点一 平面图形中的计算问题 3π 思考 问题: 在△ABC 中, A= , AB=6, AC=3 2, 点 D 在 BC 边上, AD=BD, 求 AD 的长. 拿 4 到该问题之后,到确定解决方案之前,你通常要做哪些工作? 梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题,首先要把所求的量转化到三角形中, 然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时,要注意使构造三角形含有尽量多个已知 量,这样可以简化运算. 知识点二 平面图形中的最值问题 思考 问题:直线 x-2y-2k=0 与直线 2x-3y-k=0 的交点在圆 x +y =9 上或圆的内部, 如何求 k 的最大值? 梳理 类似地,对于求平面图形中的最值问题,首先要选用恰当的变量,然后选择正弦定理 或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系,借助于三角函数的相关知识求最值. 2 2 知识点三 解三角形常用公式 在△ABC 中,有以下常用结论: (1)a+b>c,b+c>a,c+a>b; (2)a>b?________?________; (3)A+B+C=π , A+B π 2 = - ; 2 2 C (4)sin(A+B)=________,cos(A+B)=________, sin A+B 2 =____________,cos A+B 2 =________. (5)三角形常用面积公式 ①S=____________(ha 表示 a 边上的高); 1 ②S= absin C=________=________; 2 ③S= abc (可由正弦定理推得); 4R 2 ④S=2R sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆半径); 1 ⑤S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 1 类型一 利用正弦、余弦定理求线段长度 例 1 如图所示, 在四边形 ABCD 中, AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60°, ∠BCD=135°, 求 BC 的长. 反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系,再利用正弦、余 弦定理求解. 4 3 跟踪训练 1 如图所示,在△ABC 中,已知 BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B= ,求 BC 边 7 上的高 AD 的长. 类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题 4 6 6 例 2 在△ABC 中,已知 AB= ,cos∠ABC= ,AC 边上的中线 BD= 5,求 sin A 的值. 3 6 反思与感悟 运用正弦、余弦定理解决有关问题时,需根据需要作出辅助线构造三角形,再 在三角形中运用定理求解. 跟踪训练 2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.设 a,b,c 满足条件 b + 2 c 1 c2-bc=a2 和 = + 3,求 A 和 tan B 的值. b 2 类型三 利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题 例 3 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 反思与感悟 解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,并能熟练 地运用公式进行求值. 2 跟踪训练 3 (1)在△ABC 中,若已知三边为连续整数,最大角为钝角,求最大角的余弦值; (2)求以(1)中的最大角为内角,相邻两边之和为 4 的平行四边形的最大面积. 1.三角形的两边长为 3 cm、5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则此三角 形的面积是( A.6 cm C.8 cm 2 2 ) B. 15 2 cm 2 2 2 D.10 cm 2.在△ABC 中,周长为 7.5 cm,且 sin A∶sin B∶sin C=4∶ 5∶6,下列结论: ①a∶b∶c=4∶5∶6 ②a∶b∶c=2∶ 5∶ 6 ③a=2 cm,b=2.5 cm,c=3 cm ④A∶B∶C=4∶5∶6 其中成立的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.△ABC 中,若 A=60°,b=16,此三角形面积 S=220 3,则 a 的值为( A.7 C.55 B.25 D.49 ) 4.在△ABC 中,a+b=12,A=60°,B=45°,则 a=________. 5.在△ABC 中,三个角 A、B、C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B +abcos C 的值为________. 1.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系. 2.不论题目如何千变万化,变换条件也好,变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题, 只要紧紧抓住正弦、余弦定理,依托三角恒等变换和代数恒等变换,就可以将复杂问题转化 为简单问题来计算或证明. 3 答案精析 问题导学 知识点一 思考 ①画出图形 ②理清已知条件,要求的目标; ; ③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件. 知识点二 思考 先求出两直线交点坐标(-4k,-3k),再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数 式(-4k) +(-3k) ≤9, 3 从中求得 k 的最大值为 . 5 知识点三 (2)sin A>sin B A>B -cos C 题型探究 例 1 解 在△ABD 中,由余弦定理, 得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB, 设 BD=x,则有 14 =10 +x -2×10xcos 60°, ∴x -10x-96=0, ∴x1=16,x2=-6(舍去), ∴BD=16. 在△BCD 中, 由正

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