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2017-2018版高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算学案北师大版必修5

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2 三角形中的几何计算 学习目标 1.能够运用正弦定理、 余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、 余弦定理进行平面几何中的推理与证明. 知识点一 平面图形中的计算问题 3π 思考 问题: 在△ABC 中, A= , AB=6, AC=3 2, 点 D 在 BC 边上, AD=BD, 求 AD 的长. 拿 4 到该问题之后,到确定解决方案之前,你通常要做哪些工作? 梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题,首先要把所求的量转化到三角形中, 然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时,要注意使构造三角形含有尽量多个已知 量,这样可以简化运算. 知识点二 平面图形中的最值问题 思考 问题:直线 x-2y-2k=0 与直线 2x-3y-k=0 的交点在圆 x +y =9 上或圆的内部, 如何求 k 的最大值? 梳理 类似地,对于求平面图形中的最值问题,首先要选用恰当的变量,然后选择正弦定理 或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系,借助于三角函数的相关知识求最值. 2 2 知识点三 解三角形常用公式 在△ABC 中,有以下常用结论: (1)a+b>c,b+c>a,c+a>b; (2)a>b?________?________; (3)A+B+C=π , A+B π 2 = - ; 2 2 C (4)sin(A+B)=________,cos(A+B)=________, sin A+B 2 =____________,cos A+B 2 =________. (5)三角形常用面积公式 ①S=____________(ha 表示 a 边上的高); 1 ②S= absin C=________=________; 2 ③S= abc (可由正弦定理推得); 4R 2 ④S=2R sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆半径); 1 ⑤S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 1 类型一 利用正弦、余弦定理求线段长度 例 1 如图所示, 在四边形 ABCD 中, AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60°, ∠BCD=135°, 求 BC 的长. 反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系,再利用正弦、余 弦定理求解. 4 3 跟踪训练 1 如图所示,在△ABC 中,已知 BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B= ,求 BC 边 7 上的高 AD 的长. 类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题 4 6 6 例 2 在△ABC 中,已知 AB= ,cos∠ABC= ,AC 边上的中线 BD= 5,求 sin A 的值. 3 6 反思与感悟 运用正弦、余弦定理解决有关问题时,需根据需要作出辅助线构造三角形,再 在三角形中运用定理求解. 跟踪训练 2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.设 a,b,c 满足条件 b + 2 c 1 c2-bc=a2 和 = + 3,求 A 和 tan B 的值. b 2 类型三 利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题 例 3 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 反思与感悟 解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,并能熟练 地运用公式进行

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