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高中数学新课程情况介绍2012.03_图文

时间:2014-09-29

数学教育学

第二篇 课程篇
2.4 高中数学新课程改革 情况介绍 唐海军
四川文理学院数学与财经系

? 数学课程改革 已走过了11年的历程
(经历了三位教育部长的任期,这是历史上前所 未有的)





一、第八次课程改革的回顾与进程 二、高中数学新课程简介

三、高中数学新课程结构与主线
四、数学新课程教学内容与要求的变化

五、数学新课程实施中的一些困惑
六、对高中数学新课程教学策略的思考

绪论:数学课程改革的背景

思考几个问题:
? ? 对以往数学教育(课程与教学)如何认 识(优势与问题)? 学生需要学习什么样的数学?(与时俱 进) 数学课程改革的必要性?(举出应该改 革和不应该改革的若干理由) 周围的人对数学课程改革的看法?

? ?

(一)数学的发展和社会需求对数学 教育的影响
20世纪的数学发展
? 概率统计(随机事件、抽样、与信息处理 有关的数据统计与处理)
? 运筹学(规划与运筹、决策分析、优化思 想) ? 计算机科学与技术

姜伯驹的讲话 1995.
? “ 数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好,你就 赢了。” ? “数学在20世纪下半叶有很大的发展,其中最大的 发展是应用。跟第二次世界大战以前不一样,现在 到处在用数学,更多的地方在试图用数学。因此, 数学系、数学专业起什么作用? 如果还是培养数 学家、数学教授,就业的情况摆在哪儿,社会的需 求量不是很大。数学系是毕业生,相当多的人,甚 至多一半的人,要到其他行业里去起作用。”(引 自《中国数学会通讯》1996年第九期)

前国际数学家联盟主席Mumford答记者问 1995

?一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家 之间的思想交流。 在19世纪, 你可以看到大多 数的数学家都是一身二任的。 例如傅立叶 (Fourier)发现和研究级数, 就是受了应用的 刺激。但以后发生了分隔, 尤其在美国。…对科 学的投资, 将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数 学研究, 而是相反, 应当引向一个共同目标, 使得 纯粹数学研究人员能在应用中受到启发, 运用他 们的理论思维更有效地解决实际问题” (引自<中 国数学会通讯>1996年第3期)

启 示

数学教育要加强应用意识 培养学生数学地思考
7件以上走不同通道,为什么?)

(解决问题)

(数学化。超市买东西5件、

重新考虑什么是有价值的数学
概率统计等)

(如

数学观的变化:数学发展的四个高峰
? 欧氏几何的诞生。古希腊数学文明。公元 前300年 ? 微积分的发现和进展(17-18世纪) ? 现代公理化数学的诞生( 19 世纪 --20 世纪 中叶) ? 信息时代的数学(20世纪中叶以来)。 特 点:来源于实际问题。 广泛的实际应用。 与数学以外的科学分支紧密联系。数学可 以有错。数学要以情动人。数学是社会的 一部分。 ? 第三个高峰 第四个高峰

(二)国际数学教育改革的趋势

?20世纪80年代以来的数学课程改革
?强调为所有人的数学,不是为少数人的 数学(如美国1989、2000标准),不是为 精英的数学。 ?强调培养学生的一般数学素养26页 ?解决问题(数学化)能力 ?数学交流能力 ?数学推理能力(注重合情推理) ?了解数学与现实的联系

?强调学习最有价值的数学
?基本的数概念和运算
?几何的初步知识

?概率统计的初步知识
?数学的思考方法

?强调了解数学过程,让学生“做”数 学
?“做”数学比知道数学更重要 ?为学生提供更多的具有现实背景的内容

设计一花坛,使它的面积为矩形场地的 一半。要求美观。 ? 这是数学和艺术相结合的开放题。 开放 度极大。 ? 国际数学教育心理学组织(PME)在日本 举行时, 日本的一堂公开课。 ? 日本学生当堂有13种解答。 ? 评价:得到不同的5种设计, 每种2分。 ? 中国可以有这样的公开课吗?

(荷兰)甲离学校10公里, 乙离甲 3公里, 问乙离学校几公里?

学校







? 甲、乙、学校在一条直线上? 没有说。 ? 训练学生的表示能力。

学校





(三)“与时俱进”的数学教育
? 第一代:(1898-1919)长袍马褂。 中学为体, 西学为用。天地人元 ---XYZW ? 第 二 代 : ( 1919-1949 ) 西 装 , 英 美 式 。 两 支 粉笔进课堂。一讲到底。 精英教育。 ? 第三代 (1950-1966)中山装, 苏联式。少而 精,强调理论严谨。一颗红心,两种准备。 ? 第四代 (1978 - 1995)茄克T恤, 考试第一, 奥赛第一。 ? 第五代 (1995--)素质教育, 创新教育, 9年 义务教育。 加入WTO。5天工作制。 能力立意。

? 我国数学课程改革的有关历史 ? 50年代学习苏联,大容量,小步走; ? 60年代确立自己的特色:双基(基本知识与

基本技能)与三大能力(运算能力,空间想象 能力,逻辑思维能力); ? 80年代高考制度恢复,我国教育特点恢复、 调整、提高,并提出素质教育口号;
? 90年代,启动的是新教材的教育实验;90年 代末,课程标准的编制(现在已经完成义务 教育,高中课程标准(实验稿)的编写), 并实验;2001年秋季,全国分试验区实验。 目前,初中以下基本上全国全面实施新课程, 高中在2005年推广,并计划在2007年全面实 施。

一、第八次课程改革的 回顾与进程

第八次课程改革的进程
? 第一阶段:课程理想的萌芽及其酝酿阶段
(1996-1998年) ? 第二阶段:课程文件的研制、出台与实验准备
阶段(1999-2001年7月)

? 第三阶段:义务教育课程实验与高中新课程方
案形成阶段(2001年7月—2004年)

? 第四阶段:义务教育课程反思、全面推广与高中
新课程实验阶段(2004年7月—2007年) ? 第五阶段:课改进入一个新的发展阶段(2007年—)

义务教育新课程的推进
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年 42个实验区 0.5%-1% 570个实验区 18%-20% 1642个实验区 40%-50% 2576个实验区 70%-90% 起始年级全部进入新课程

高中课程改革的推进
2004年 海南、广东、山东、宁夏四省区

2005年 江苏
2006年 福建、浙江、安徽、天津、辽宁

2007年 北京、黑龙江、 吉林、陕西、湖南
2008年 江西、山西、河南、新疆(新疆兵团)

2009年 河北、内蒙、湖南、云南
2010年 将全部进入新课程

高中数学实验教材
共七个版本: ? 人民教育出版社(A) (刘绍学) ? 人民教育出版社(B)(高学明) ? 北京师范大学出版社(严士健) ? 首都师大出版社(王尚志) ? 湖南教育出版社(张景中) ? 江苏教育出版社(单墫) ? 湖北教育出版社(齐民友)

新课程设计的流程图
文献与比较研究、经验与调查研究、专题研讨 《基础教育课程改革纲要(试行)》

课程计划

课程标准 课程改革国家级试验区 全面推广

教材开发

新课程体系构建的运行机制
课程改革系统工程

过程系统 决策过程
评价反馈

结构系统

设计过程
实施过程
课 程 目 标 课 程 结 构 课 程 内 容 教 学 过 程 课 程 评 价 课 程 管 理

设计过程
现状调查 国际比较

形成课程改革总体思路
引进竞争机制

强调广泛合作

组建课程 改革国家项目
重视基础研究 1. 国际趋势 2. 现状反思 3. 需求分析 4. 学科发展 5. 学生特点 强调课程专家 与各项目组专 家的不断对话 交流与合作。

课程标准类项目

综合研究类项目

二、高中数学新课程简介

? 高中新课程不再是由传统的科目构成, 而是由学习领域、科目、模块三个层 次构成,共设置了语言与文学、数学、 人文与社会、科学、技术、艺术、体 育与健康和综合实践活动八个学习领 域,每个领域由课程价值相近的若干 科目组成,每个科目由若干模块组成。 这一变更,为学校推进素质教育创造 了一定的空间。 (课程结构见后。)

普通高中课程结构
领域
语言 与 文学

数 学

人文 与 社会

科 学

技 术

体育 与 健康

艺 术

综合 实践 活动

语 外 数 政历地 物 化 生 通 信 用 息 科目 文 语 学 治史理 理 学 物 技 技 术术
模块
(系列、专题)

体 育 美音艺 与 健 术乐术 康

综 合 实 践 活 动

高中数学课程标准中的课程内容 ? 普通高中《数学课程标准(实验)》(中 华人民共和国教育部制定,2003年)的框 架分为四个部分:前言(课程性质、课程 的基本理念、课程设计思路)、课程目标、 内容标准(必修课程:数学1~5;选修课 程系列1~4;数学探究、数学建模、数学 文化)和课程实施建议(教学建议、评价 建议、教材编写建议)。

数学

? 数学1:集合;函数概念与基本初等函数I ? 数学2:立体几何初步;平面解析几何初步 ? 数学3:算法初步;统计; 概率 ? 数学4:基本初等函数II;平面上的向量;三角恒等变换 ? 数学5:解三角形;数列;不等式

必修

数 学 1

数 学 2

数 学 3

数 学 4

数 学 5

选修 系列

系 列 1

系 列 2

系 系 列 列 3 4

选修系列1 选修1-1:
常用逻辑用语;圆锥曲线与方程; 导数及其应用。

选修1-2:
统计案例;推理与证明;

数系扩充及复数的引入;逻辑框图。

选修系列2
选修2-1:
常用逻辑用语;圆锥曲线与方程; 空间向量与立体几何。

选修2-2:
导数及其应用;数系的扩充与复数的引入。

选修2-3:
计数原理;统计;概率。

选修系列3
选修3-1:数学史选讲 选修3-2:信息安全与密码 选修3-3:球面上的几何 选修3-4:对称与群

选修3-5:欧拉公式与闭曲面分类
选修3-6:三等分角与数域扩充

选修系列4
选修4-1:几何证明选讲 选修4-2:矩阵与变换

选修4-3:数列与差分
选修4-4:坐标系与参数方程 选修4-5:不等式选讲

选修4-6:初等数论初步 选修4-7:优选法与实验设计初步

选修4-8:统筹法与图论初步
选修4-9:风险与决策

选修4-10:开关电路与布尔代数

选修3-6 选修3-5 选修3-4

选修4-10 …… 选修4-4 选修4-3

选修2-3
选修1-2 选修1-1 必修-1 *上图中 选修2-2 选修2-1 必修-2
代表模块,

选修3-3

选修3-2
选修3-1

选修4-2
选修4-1

必修-3

必修-4

必修-5

代表专题,其中2个专题组成1个模块.

几点说明
(1)不少高等数学内容下放到高中数学选修 课中,如选修2-2的“导数及其应用”包含了 平均变化率、瞬时变化率、导数等定义,几 个基本初等函数的求导公式,导数的性质, 复合函数求导方法,导数的应用(几何应用、 物理学上的应用),微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式)以及定积分的应用(求图形 面积,求位移,功的计算等)。选修2-3的 “统计案例”包含了正态分布、回归分析等 内容。 在必修课程中将学习算法的基本思想和 初步知识,算法思想将贯穿高中数学课程的 相关部分。

(2)必修课程覆盖了高中阶段传统的 数学基础知识和基本技能的主要部分, 其中包括集合、函数、数列、不等式、 解三角形、立体几何初步、平面解析 几何初步等。不同的是在保证打好基 础的同时,进一步强调了这些知识的 发生、发展过程和实际应用,而不在 技巧与难度上做过高的要求。

三、高中数学新课程结构 与主线

(一)课程结构

必修课程知识结构

(二)高中数学课程内容的六条主线 1.函数

2.几何

3.运算

4.算法

5.统计概率

6.应用

四、数学新课程教学内 容与教学要求的变化

(一)转 变 课 程 的 功 能
新课程目标:从知识目标到三维目标

学生发展

目标整合

知识与 技能 过程与方法

态度情感与 价值观

(二)高中数学课程在以下七个方面发生了变化:
(1)在课程目标上的新变化——强调三维教学目标

(2)在课程理念上的新变化——强调人文探究应用

(3)在教学结构上的新变化——模块、专题
(4)在教学时数的新变化——高中毕业底线288课时 (5)在教学内容上的新变化——通过增、删、升、 降,重新整合 (6)在教学方式的变化——“螺旋上升”的原则 (7)在课程评价上的变化——学分管理制

几点说明
(1)高中数学必修课共180学时,必修课由5个 模块组成,每个模块2学分,共计10学分; 选修I共52学时和选修II共104学时。学校根 据教学实际自行安排选修课的开设。必修课 修得10学分,选修课修得6个学分是数学课 程学习的基本要求(理工类选修课学分最多 取得14个学分)。 (2)选修课程的开设实现“走班制” 。

(3)高中学生三年内必须获得必修学分116 分(包括综合实践活动23学分),选修学分 在28分以上(其中学校课程至少获得6学分), 总分达到144分方可高中毕业。 (4)每学期至少安排一个研究性课题,三年 中至少安排5个课题;此外强化综合实践课 程(研究性学习、社区服务)。

关于“研究性”学习 从广义理解,研究性学习泛指学生主 动探究的学习活动。它是一种学习的理念、 策略、方法,适用于学生对所有学科的学 习。从狭义看,作为一门独立的课程,研 究性学习指在教学过程中以问题为载体, 创设一种类似科学研究的情境和途径,让 学生通过自己收集、分析和处理信息来实 际感受和体验知识的生产过程,进而了解 社会,学会学习,培养分析问题、解决问 题的能力和创造能力。

? 已开展高中新课程实验的省区一般把研究
性学习的开设纳入学校的教学常规管理。

普通高中的研究性学习主要从三个方面开
展:一是走出社会,跨学科开设;二是将

研究性学习作为一种重要的学习方式,在
学科内以专题研究的形式开设;三是使用

各种资料包,用自学、查阅资料以及讨论
等方式,结合选修课开设。

?教学内容的变化
课程
数学1
数学2

教学内容
函数概念与基本 初等函数I
立体几何初步 平面解析几何 初步 概率 统计

增加知识点 删减知识点
幂函数
三垂线定理 及其逆定理 空间直角 坐标系 几何概型 茎叶图

数学2
数学3 数学3

数学4 数学4 数学5 数学 1—1 数学 2—1 数学 2—2 数学 4—4

基本初等函数II (三角函数) 平面上的向量 不等式 常用逻辑用语 全称量词与 存在量词 定积分与微 积分基本定 理 柱坐标系、 球坐标系

已知三角函数 值求角 线段定比分点、 平移公式 分式不等式

导数及其应用 坐标系与参数方程

课程

教学内容

提高要求

降低要求

数学1

反函数的处理,只要求以具 分段函数要 体函数为例进行解释和直观 函数概念与基 求能简单应 理解,不要求一般地讨论形 本初等函数1 用 式化的反函数定义,也不要 求求已知函数的反函数 立体几何初步 知道最小二 乘法的思想 不要求使用真值表

数学2

仅要求认识柱、锥、台、球 及其简单组合体的结构特征; 对棱柱,正棱锥、球的性质 由掌握降为不作要求

数学3
选修1—1
选修2—1

统计 常用逻辑用语

选修1—1

圆锥曲线与方程
选修2—1

对双曲线的定义、几何图 形和标准方程的要求由掌 握降为了解,对其有关性 质由掌握降为知道 要求通过使利润最大、 用料最省、效率最高 等优化问题,体会导 数在解决实际问题中 的作用 对组合数的两个性质不作 要求

选修1—1 导数及其应用 选修2—2

选修2—3 计数原理

对原大纲未作要求的 原大纲理解圆与椭圆的参 直线、双曲线、抛物 选修4—4 坐标与参数方程 数方程降为选择适当的参 线提出了同样的写出 数写出它们的参数方程 参数方程的要求

(三)改革的六大重点
? 亲和力:以自然的、生动活泼的呈现方式, 激发兴趣和美感,引发学习激情。 ? 问题性:以适时恰当的问题引导数学活动, 培养问题意识,孕育创新精神。

? 思想性:螺旋上升地安排核心数学概念和重 要数学思想,加强数学思想方法的渗透与概 括。

? 联系性:通过不同数学内容的联系与启发, 强调类比、推广、特殊化、化归等思想方 法的运用,学习数学地思考问题的方式, 提高数学思维能力,培育理性精神。 ? 时代性与应用性:以具有时代性和现实感 的素材创设情境,加强数学活动,发展应 用意识。

(四)数学新教材的五大特点
1.讲背景,讲思想,讲应用 ? 知识的引入强调背景,使教材生动、自 然而亲切,让学生感到知识的发展水到渠 成而不是强加于人。 ?螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学 思想;把握数学本质,保证科学性;强调 数学形式下的思考和推理训练。 ?通过解决具有真实背景的问题,引导学生 体会数学的作用与力量,发展应用意识。

2.强调问题性、启发性 遵循认知规律,以问题引导学习, 体现数学知识、学生认知的过程性, 促使学生主动探究,培养学生的创新 意识和应用意识,引导教、学方式的 改进

3.强调基础性
? 坚持“双基”不动摇,为学生终身发展 打好数学基础 ——把握好对新增内容的定位。 ——把握好传统内容在要求和处理方式上 的变化。

? 在继承传统教材优点的基础上,“削枝 强干”,加强教材的基础性和可接受性

4.加强联系性

突出数学思考方法的引导
推广

类比

当前内容

类比

特殊化

5.适当使用信息技术
根据学习内容需要选择恰当的信息 技术工具,充分使用科学型计算器,同 时积极提倡各种数学软件的使用,但应 讲究实效,注重学生的实践。

课例 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点

教材设计

(五)教学目标的三层级模型
? 第一层级

? 主成分:以记忆为主要标志,培养的是以 记忆为主的基本能力。
? 测试:基本事实、方法的记忆水平。 ? 标准:获得的知识量以及掌握的准确性。

? 第二层级 ? 成分:以理解为主要标志,培养的是以 理解为主的基本能力;
? 测试:能否顺利地解决常规性、通用性问 题,包括能否满意地解决综合性问题;

? 标准:运用知识的水平,如正确、敏捷、 灵活、深刻等。

? 第三层级

? 主成分:以探究为主要标志,培养以评判 为主的基本能力;
? 测试:能否对解决问题的过程进行反思, 即检验过程的正确性、合理性及其优劣; ? 标准:思维的深刻性、批判性、全面性、 独创性等。

五、数学新课程实施中 的一些困惑

困惑一:

学生课业负担加重,师生齐叫苦 ? 我省不少使用新教材的老师反映,现在 的备课比以前辛苦很多,因为新教材的 内容呈现方式、章节安排、习题难度、 题型等与旧教材多不相同。此外新教材 的教学参考书质量普遍不高,教学辅导 书也很少。

? “考试到底应该怎样考 ” ?“知识的 难度把握到什么程度” ?等问题都困 扰着许多一线教师。
? 很多学生在使用新教材后,觉得许多 知识难以掌握,并且很容易忘记,有 些章节的习题和例题的搭配不吻合, 尽管例题读懂了,但练习不会做。学 生学得辛苦,成绩不好。

? 据我们对广州市新课程实验情况的了解, 在新课程实验后,广州市普通高中出现 了一个预想不到的矛盾:学生的学业负 担明显加重了。根据广州市教育局2005 年的问卷调查,79.6%的校长和61.4% 的教师认为“学生的学业负担比课改前 更重”,69%的学生感到学习负担“很 重”和“比较重”。

?据统计,学生中明确表示自己“高中三年平 均每天睡眠时间有8小时”的居然只有6%, 而“平均每天睡眠不足6小时”的,却有29%! 近十多二十年来,广州市绝大多数的高中一、 二年级基本上是没有利用双休日进行学生补 课的。但是从2005年开始,高二甚至高一利 用周六补课的现象有所增加,新课程实验后, 广州市非毕业班中曾经利用双休日补课的学 校约占了1/3。

困惑二:

一半校长和老师不认同
“学习领域、学科模块”的课程结构是此次 高中新课改最大的亮点之一,然而,据广州市 教育局2005年调查显示,广州市大多数校长、 教师对于新课程设计的课程管理模式和教学管 理制度改革的认同度并不高。据调查统计,约 有一半的校长和教师对新课程将每学期分两段 安排课程,每段10周,其中9周授课,1周复习 考试的课程管理模式持否定态度。

困惑三:

选修课程怎么开 第八次课程改革的亮点之一是增 大课程的选择性,力图实现“不同的 人学习不同的内容,不同的人达到不 同的学习要求,不同学习的人成为不 同需求不同层次的人才”的目标。然 而,由于目前云南省新高考方案不明, 使得各学校在选修课的选择上存在很 大的困惑。

困惑四:
课改与高考的矛盾
从课改设想本身来看,改革政策是很理 想的,比如,学生分学段学习,逐个模块拿 学分,拿足学分就毕业,负担轻压力小,学 生完全根据自己意愿选学模块,个性特长得 到发展。但在目前高考仍是普通高中主要出 口的现实下,学校、学生、家长如何面对高 考?

? 如果学生自己选择学习的内容与高考内容不 一致怎么办? ? 如果学校教的与高考考的不一致怎么办? 广大教师一方面想转变教育观念和思想, 但另一方面又不能不关注高考,因为教育要 受到社会、政治、经济等因素的制约。 …… …… …… …… …… ……

从广东、山东等省区新课程实验的情况 看,普遍反映高中新课程有如下一些问题:
(1)模块数量过多,并行开设学科过多。课 程方案不够完善,突出表现在没有处理好局 部(各个领域、学科)与整体(课程方案、学习 时间)的关系。以模块数量为例,按5天工作 制,目前每周只能并行开设8个模块。

(2)高中三年中,除了高考复习时间外,用 于新课程教学的时间最多是9个学段(即从高 三上学期中才进入高考复习),共能学习72个 模块,拿144个学分,刚好达到毕业水平,按 照新课程方案,144学分的构成是116(必 修)+22(选修1)+6(选修2),按这样计算,选修 l课程最多只有时间修习11个模块,这连高考 需要考查的选修模块数都应付不了。

(3)课程内容偏多。第八次高中课改要着力 解决的一个课程问题是“课程内容难、繁、 偏、旧”,然而根据调查,可以看到,无 论在课改前还是课改后,物理、数学、化 学、外语等4个科目,都毫无变化地仍然是 学生感到“内容太难”的科目,而数学和 历史,依然被学生列为“内容偏多”的科 目。

(4)“学生成长记录档案袋”和学生“综合 素质评定”,是促进学生全面发展的一种 过程性和发展性的评价,它能促进学生在 学习中不断反思,不断感受成功和进步, 从而促进学习成绩的不断提高,促进学生 的自我完善和自我发展。但在实践中,各 实验省区发现存在流于形式或过于繁琐的 现象。

六、对高中数学新课程 教学策略的思考
(借鉴昆明市云南师范大学五华 实验中学高一年级组的做法)

提高数学新课程实验课堂教学 的有效性
(1)有效备课----为学生而备 (2)有效提问----为解决问题而提 (3)有效训练----为学生能力提高而练 (4)适当使用技术手段、做好数学实验。

课堂教学有效性是指通过课堂教学活动,学生 在学业上有收获、有提高、有进步。 每节课都应该让学生有实实在在的认知 收获和或多或少的生命感悟。 ?知识和能力上:从不懂到懂, 从少知到多知, 从不会到会, 从不能到能。 ?情感和态度上:从不喜欢到喜欢, 从不热爱到 热爱, 从不感兴趣到感兴趣,从不执着到很执 着。

(1)有效备课 ——为学生而备 备目标:教材目标化、目标问题化、问题要 点化、要点练习化、练习应用化。 备教材:教材钻深研透、要进行再加工、教 材的深度广度难度、教材的内涵与外延。 (知识概念、内外联系、拓展程度)

? 备学生:学生的准备知识、可能出现的问 题、怎样想到这样做、站在学生的角度思 考。(人文化数学) ? 备教法:自主学习范围、探索研究问题、 互动合作内容、不仅教学生学会,更要使 学生会学。(因材施教、终生发展) ? 备问题:组织有效问题、有中心有层次、 能引起讨论。注重针对性、科学性、思考 性、探究性、指向性。(可持续发展)

? 备习题:前提测评、典型例题、随堂练习、 当堂反馈、课外练习。要好中选优、正确 定位。(课堂效果评价)

? 备课外:联系生活、社会实际、现代科技。 (数学的工具性)

(2)有效提问 ----为解决问题而提
精心酝酿、优化课堂提问的内容
巧妙安排、优化课堂提问的结构 合理调控、优化课堂提问的语言

科学设计、优化课堂提问的过程
丰富多彩、优化课堂提问的形式 主辅分明、优化课堂提问中关系

(3)有效训练 ----为学生能力提高而练

要注重阶段性、要注重指导性、 要注重规范性、要探索新颖性。

量不在多典型、变形就行, 题不在难有思想、方法则灵。

(4)适当使用技术、做好数学实验

? 信息技术对数学家而言犹如望远镜对于天 文学家、显微镜对生物学家,给数学家进 行数学研究和创造提供了锐利的新式武器。
? 同时动态化的知识呈现方式,激发了人们 对数学的热爱,引发人们展开想象的翅膀 不断思索与追求,使得数学以新的形态 ──可视化、快捷化、人文化而展现在人 们面前。

案例

课题:求函数零点近似解 的一种计算方法(二分法)
(高中数学新课程高一教材)
教师:吴元永 班级:云南师大附中高三2班 时间:2008年9月26日 地点:云南师大附中教学楼5楼多功能厅

教材设计
? 本节课为人教版高中新课程高一数学教材。 本节课的教学内容有两个: ⑴介绍函数“零点”的概念; ⑵介绍“二分法”的基本思想。 本节课中的理论基础是函数连续性之根 的存在定理:设函数y=f(x)在区间D=[a,b]上 连续,且f(a)f(b) <0,则方程f(x)=0在(a,b)内 至少有一个根。

教学任务分析
⑴本节课的第一个关键是:“零点”、“根”、 “解”这三个概念之间的关系: ? “根”是特殊的“解”,从几何上看,根就是 “零点”(即X轴上使函数值为零的点); ? 求函数y=f(x)的零点,等价于求方程f(x)=0的根; ? 对于一次方程和二次方程,有方便实用的求根 公式,也可以用近似方法求根。但是三次或三 次以上的方程,要么求根公式不好用,要么就没 有求根公式。因此,在数学中对高次方程的求 根,在因式分解失效后,常用近似方法求根。

⑵本节课的第二个关键是:“二分法” (在教材的 P72-73)的渗透。二分法是一种特殊的“算 法”,高中数学新课程特别重视算法的渗透。 按现代数学的基本观点,学习数学在某种程度 上就是学习一种算法,例如有理数的加法是一 种算法,包含两个基本步骤:确定符号,确定绝对 值,这是中学最简单的算法之一。 ⑶使用二分法的关键是: ? y=f(x)在区间D上必须是连续函数; ? 用观察法或其它方法在D中确定初始区间[a,b], 使f(x)在a,b两点的函数值异号; ? 取[a,b]的中点,将初始区间缩小1/2,通过不断 的迭代,求出合于条件的f(x)=0的近似解。

⑷使用二分法需要较强的计算能力,一般是使 用计算器帮助计算。吴元永老师考虑到是 第一次使用高中数学新教材,第一次比较系 统地讲授一种近代数学的算法,加上教材中 设计的例题计算量比较大,故请高三毕业班 的同学来协助完成这节课的教学。

教学过程
一、创设情境 1.函数零点的定义: ? 若函数y=f(x)在实数a处的函数值为0,即 f(a)=0,则称x=a为函数y=f(x)的零点。 ? 方程f(x)=0有实根的充要条件是:函数y=f(x) 的零点存在。 2.求下列函数的零点: 2 2 2 f ( x ) ? ( x ? 2)( x ? 3x ? 2) ① f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ; ② ( x ? ? 2,1,2 )

吴老师对这两个题的解法分别使用了求根公式 和因式分解法。并由此总结出: ? 求函数y=f(x)的零点,等价于求方程f(x)=0的根; ? “根”是特殊的“解”,从几何上看,根就是 “零点”; 3.介绍一些代数学发展的简史 ? 阿拉伯数学家阿尔· 花拉子模、法国数学家韦 达、意大利数学家卡丹诺等在解方程上的贡 献。 ? 法国天才数学家伽罗华对代数学的贡献(证 明了四次以上的方程没有求根公式)

4.出示课题: 求函数零点近似解的一种计算方法 ---“二分法” (以上用去了7分钟) 二、提出问题
例 求函数零点的近似解: f(x)= x3 + x - 1.(结果精确到0.1)

(吴老师的做法是:让同学们先阅读 教材,再分析解题的思路)

三、解决问题
1.确定初始区间 3 3 x x ? x ? 1 ? 0 由 得 ?1 ? ? x , 由此确定初始区间为[0,1] . 2. 缩小区间 ? 教师首先解释逼近的思想: [0,1]的中点为0.5,而 f(0.5)=-0.375 , f(1)=1; 由此将初始区间缩小为[0.5,1]. ? 再取中点0.75,而f(0.5)=-0.375, f(0.75)=0.572; 上述区间可缩小为:[0.5,0.75],

?再取中点:0.625,

而f(0.625)=-0.13, f(0.75)=0.572
区间再缩小为:[0.625,0.75]; ?取中点0.6875, 而f(0.625)=-0.13 ,f(0.6875)=0.1 区间缩小为:[0.625,0.6875] ;

?取中点:0.65625,而f(0.65625)=-0. …
区间继续缩小为:[0.65625 ,0.6875] 3.确定近似解 (以上用去了28分钟)

四、知识归纳(使用了多媒体课件)
1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上函数图像不间断, 且 f (a)f (b)<0 的函数 y =f (x),通过不断地 把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零 点(或对应方程的根)近似解的方法叫做“二 分法”。 可以使用二分法的条件是:

2.零点存在的判定法则
如果函数 y = f ( x ) 在一个区间 [a,b] 上的图像 不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号, 即f (a ) f (b ) <0,则这个函数在这个区间上,至少有 一个零点。即存在一点x0∈ (a ,b),使 f ( x0 ) =0
y

a x0 b O x1 x2 x

【附注】这里吴元永老师特别指明:二分法 x ? x1 不适用于“同号零点”。即上图中的解 无法用二分法去求解。 五、课堂小结 1.本节课你学到了哪些知识? 2.在解决问题的过程中,用到了那些方法? 体会到了哪些数学思想? (以上用去8分钟,超时了3分钟)

3.用二分法来求函数零点近似解的步骤
1.利用(1)图象法;(2)函数状态法,寻找确 定近似解所在的区间 ?a , b ? ,验证 f (a ) ? f (b) ? 0; 2.不断二分解所在的区间,即取区间
a?b x1 ? 2

( a , b ) 的中点

3.计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) ? 0, 则x 0 ? x1 b ? x(此时 x 0 ? (a, x1 )) ②若 f (a ) ? f ( x1 ) ? 0,则令 1 a ? x(此时 x 0 ? ( x1 , b)) ③若 f (b) ? f ( x1 ) ? 0,则令 1
; ;

4. 判断是否达到给定的精确度,若达到,则得出近 似解;若未达到,则重复步骤2~4。

评析
1.本节课的知识背景是: ? 15-18世纪,世界数学发展的中心是研究方程 (组)的解法,并由此产生了许多近似计算的 方法。例如,中国宋朝数学家秦九韶解高次 方程的近似解法,被命名为“秦九韶法”,对 它的简化就是“二分法”。 2.本节课的理论基础是: 连续函数根的存在定理。

3.本节课的教学背景是: ? 需要联系九年级的一元二次方程的近似解。 ? 教学的流程最好是: 预习—阅读教材—提取信息—建构知识 4.本节课的学习背景是: ? 要考虑学生的基础,尤其是计算的能力。 5.本节课教学的特点是: ? 教师准备比较充分,备课时查阅资料,对教学 过程做了认真的思考。

? 教学中通过数学简史的介绍,既让学生明白 为什么学习“二分法”,又渗透了数学文化。 ? 教材上只有二分法的介绍,没有例题,吴老师 用一个具体的例子来讲解二分法,这样做比 较直观,易于学生接受。 ? 在讲解完例题以后,等学生对“二分法”有 了一个了解以后,再对本节课的知识进行比 较系统的归纳。这种教学方法体现了“从 做中学”,其效果可能好于先讲知识,再讲例 题。

6.对本节课改进的建议是: ? 建议使用“学案”。 ? 昆明市教科院马绍文副院长的建议是:要关 注教学的过程与方法,注意教学的预设与学 生的生成,二分法一开始不要讲那么多,要 让学生自己去总结。 ? 省教科院教研员何立恒老师的建议是:使用 高中新课程,一定要重点考虑“算法初步” 这一模块,要注意教材的广度、深度及算法 的特点:程序化、有限度、可重复。此外,在 吸收新课程理念的同时,也要维持好的传统。 这节课的开场白多了一些。

7.从本节课的现场观察看,高三年级学生由于 已经学习了极限、连续、导数等知识,这些 同学的计算能力也很强,因此他们这节课学 起来比较轻松。这个教学设计如果放在高 一讲,结果又会如何呢?听课的老师建议 吴元永老师根据大家的建议和自己的反思, 进一步改进教学设计,到高一年级再讲一次, 以便于对高中数学新课程的教学有一个好 的把握。

谢谢!


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