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1986年全国高中数学联赛试题及解答

时间:2010-12-07


1986 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1986 年全国高中数学联赛试题
第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ=arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A.{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π-θ,n∈Z} B.{x|2nπ-θ<x<(2n+1)π+θ,n∈Z} C.{x|(2n-1)π+θ<x<2nπ-θ,n∈Z} D.{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π-θ,n∈Z} 2 2 ⑵ 设 x 为复数,M={z|(z-1) =|z-1| },那么( ) A.M={纯虚数} ⑶ 设实数 a、b、c 满足
?a2-bc-8a+7=0, ? 2 2 ? b +c +bc-6a+6=0.

B.M={实数}

? C.{实数}? ? M ? {复数}

D.M={复数}

那么,a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1]∪[9,+∞) C.(0,7) D.[1,9] ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆 C1,C2,…,C7,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点,圆 C6 恰好 经过 M 中的 6 个点,…,圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点,那么 M 中的点数最少为( ) A.11 B.12 C.21 D.28 1 ⑹ 边长为 a、b、c 的三角形,其面积等于 ,而外接圆半径为 1,若 4 1 1 1 s= a+ b+ c,t= + + , a b c 则 s 与 t 的大小关系是 A.s>t B.s=t C.s<t D.不确定 2.填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分): 本题共有 4 个小题,每小题的答案都是 000 到 999 的某一个整数,请把你认为正确的答案填在 上. ⑴ 在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13,若作一平面与这二球面相切, 且与圆柱面交成一个椭圆,则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 . ⑵ 已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程 1 f(f(f(x)))= x 2 的解的个数是
x

. 4 1 2 3 1000 ,那么和式 f( )+f( )+f( )+…+f( )的值等于 4 +2 1001 1001 1001 1001
x

⑶设 f(x)=



⑷设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4 小值的乘积等于 .

5x+9y+4z

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5x+9y+4z

+256=0,那么 x+y+z 的最大值与最

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1986 年全国高中数学联赛

冯惠愚

第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,…,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,…) 求证:对于任何自然数 n, P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n 1+a2Cnx2(1-x)n 2+…+an-1C
-

0

1

2

n n n-1 n-1 n x (1-x)+anCnx

是一次多项式.(本题应增加条件:a0≠a1)

2.(本题满分 17 分)已知锐角三角形 ABC 的外接圆半径为 R,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上, 求证:AD,BE,CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是 R S= (EF+FD+DE) . 2 式中 S 是三角形 ABC 的面积.

3.平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染色方法将所有的整点都染色, 每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边形. 证明你设计的方法符合上述要求.

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1986 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1986 年全国高中数学联赛解答 第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ=arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A.{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π-θ,n∈Z} B.{x|2nπ-θ<x<(2n+1)π+θ,n∈Z} C.{x|(2n-1)π+θ<x<2nπ-θ,n∈Z} D.{x|(2n-1)π-θ<x<2nπ+θ,n∈Z} π 解:- <θ<0,在(-π,0)内满足 sinx<a 的角为-π-θ<x<θ,由单位圆易得解为 D. 2 ⑵ 设 x 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( A.M={纯虚数} B.M={实数} ) ? C.{实数}? ? M ? {复数} D.M={复数}

y O

? 1

x

解:即(z-1)2-(z-1)(- z -1)=0,?(z-1)(z-- z )=0,?z=1 或 z=- z ,总之,z 为实数.选 B ⑶ 设实数 a、b、c 满足
?a2-bc-8a+7=0, ? 2 2 ? b +c +bc-6a+6=0.

那么,a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1]∪[9,+∞) C.(0,7) D.[1,9] 2 2 2 2 解:①×3+②:b +c -2bc+3a -30a+27=0,?(b-c) +3(a-1)(a-9)=0,?1?a?9.选 D. 2 2 b +c +2bc-a2+2a-1=0,(b+c)2=(a-1)2,?b+c=a-1,或 b+c=-a+1. ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解:取等腰四面体,其棱长至多 2 种长度.棱长少于 3 时,必出现等腰三角形.选 A. ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆 C1,C2,…,C7,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点,圆 C6 恰好 经过 M 中的 6 个点,…,圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点,那么 M 中的点数最少为( ) A.11 B.12 C.21 D.28 解:首先,C7 经过 M 中 7 个点,C6 与 C7 至多 2 个公共点,故 C6 中至少另有 4 个 M 中的点,C5 至 少经过 M 中另外 1 个点,共有至少 7+4+1=12 个点. 1 ⑹ 边长为 a、b、c 的三角形,其面积等于 ,而外接圆半径为 1,若 4 1 1 1 s= a+ b+ c,t= + + , a b c 则 s 与 t 的大小关系是 A.s>t B.s=t C.s<t D.不确定

1 abc 1 解:△= absinC= ,由 R=1,△= ,知 abc=1.且三角形不是等边三角形. 2 4R 4 1 1 1 1 1 1 a+ b+ c ∴ + + ? + + = = a+ b+ c.(等号不成立).选 C. a b c ab bc ca abc 2.填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分): 本题共有 4 个小题,每小题的答案都是 000 到 999 的某一个整数,请把你认为正确的答案填在 ⑴ 在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13,若作一 平面与这二球面相切,且与圆柱面交成一个椭圆,则这个椭圆的长轴长与短轴长之和 是 . 6 12 解:易得 cosα= = ,于是椭圆长轴=13,短轴=12.所求和=25. 6.5 13 ⑵ 已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程
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上.

?

1986 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1 f(f(f(x)))= x 2 的解的个数是 . 1 1-4x,(0?x? ) 4 1 1 4x-1,( ?x? ) 4 2 1 3 3-4x,( ?x? ) 2 4 3 4x-3,( ?x?1) 4

? ? 解:f(f(x))=|1-2|1-2x||=? ? ?

同样 f(f(f(x)))的图象为 8 条线段,其斜率分别为±8,夹在 y=0 与 y=1,x=0,x=1 之内.它们各与线段 1 y= x (0?x?1)有 1 个交点.故本题共计 8 解. 2 4x 1 2 3 1000 ⑶ 设 f(x)= x ,那么和式 f( )+f( )+f( )+…+f( )的值等于 4 +2 1001 1001 1001 1001 解 f(x)+f(1-x)= 4 4x 4x 4 + 1-x = x + =1. 4 +2 4 +2 4 +2 4+2?4x
x 1-x





1 2 3 500 以 x= , , ,…, 代入⑴式,即得所求和=500. 1001 1001 1001 1001 ⑷ 设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4 值的乘积等于 解:令 2
5x+9y+4z 5x+9y+4z

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,那么 x+y+z 的最大值与最小

; =t,则得,t2-68t+256=0,?(t-64)(t-4)=0,?t=4,t=64.

4 5x+9y+4z=2?5x+9y+4z=4,?9(x+y+z)=4+4x+5z?4,x+y+z? ; 9 4 4(x+y+z)=4-x-5y?4,x+y+z?1?x+y+z∈[ ,1]; 9 5x+9y+4z=6?5x+9y+4z=36,?9(x+y+z)=36+4x+5z?36,?x+y+z?4; 4(x+y+z)=36-x-5y?36,?x+y+z?9. 4 故,所求最大值与最小值的乘积= ?9=4. 9

第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,…,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,…) 求证:对于任何自然数 n, P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n 1+a2Cnx2(1-x)n 2+…+an-1C
-

0

1

2

n n n-1 n-1 n x (1-x)+anCnx

是一次多项式. (本题应增加条件:a0≠a1) 证明:由已知,得 ai+1-ai=ai-ai-1,?故{ai}是等差数列.设 ai-ai-1=d≠0.则 ak=a0+kd.
n n1 n2 1 2 2 于是 P(x)=a0C0 n(1-x) +a1Cnx(1-x) +a2Cnx (1-x) +…+an-1C
-

n-1 n-1 n n n ,n)x (1-x)+anCnx
-

n1 n2 n 0 2 2 n-1 n 1 = a0Cn (1-x)n+(a0+d)C1 (1-x)+(a0+nd)Cn nx(1-x) +(a0+2d)Cnx (1-x) +…+(a0+(n-1)d)C n x nx

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1986 年全国高中数学联赛

冯惠愚
n
1 n

=a0[C (1-x) +C x(1-x) +C x (1-x) +…+C x (1-x)+C x ] n-1 n-2 2 2 n-1 n-1 n n +d[C1 nx(1-x) +2Cnx (1-x) +…+(n-1)C n x (1-x)+nCnx ] n-1 n-2 0 1 n-2 n-2 n-1 n-1 =a0(1-x+x)n+ndx[Cn- ] 1(1-x) +Cn-1x(1-x) +…+Cn-1x (1-x)+Cn-1x =a0+ndx(1-x+x)n 1=a0+ndx=a0+(an-a0)x. 此为一次多项式.证毕.


0 n

n-1

2 2 n

n-2

n-1 n-1 n

n n n

k k-1 (由 kCn =nCn -1)

2.(本题满分 17 分)已知锐角三角形 ABC 的外接圆半径为 R,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上, 求证:AD,BE,CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是 R S= (EF+FD+DE). 2 式中 S 是三角形 ABC 的面积. 证明 连 OA,则由 C、E、F、B 四点共圆,得?AFE=?C,又在⊿OAB 中,?OAF=(180?-2?C)/2=90?-?C,∴OA⊥EF. OA R ∴ SOEAF=EF· = · EF, 2 2 R R R 同理,SOFBD= · DF,SODCE= · DE,故得 S= (EF+FD+DE). 2 2 2 R R 反之,由 S= (EF+FD+DE) .得 OA⊥EF,OB⊥FD,OC⊥ED,否则 S< (EF+FD+DE) . 2 2 过 A 作⊙O 的切线 AT,则∠AFE=∠TAF=∠ACB,?B、F、E、D 共圆, 同理,A、F、D、C 共圆,A、E、D、B 共圆.?∠AFC=∠ADC,∠AEB=∠ADB. ∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180° .但∠BFC=∠BEC,即∠AFC=∠AEB=90° ,于是 F、E 为垂 足,同理 D 为垂足.故证. 3.(本题 16 分)平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染色方法将所有的整 点都染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边形. 证明你设计的方法符合上述要求. 证明: 设任一点的坐标为(x, y), 把 x+y≡1(mod 4)的点染白, x+y≡3(mod 4)的点染黑, x+y≡0 或 2(mod4) 的点染红. 显然,这样染色的点满足要求. 首先,每条平行于 x 轴的直线上都有三种颜色的点.即每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的 直线上;其次,对于任一白点 A(x1,y1),任一红点 B(x2,y2),与任一黑点 C(x3,y3),当点 D(x4,y4)与之组 成平行四边形时,有 x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4.而 x1+y1+x3+y3≡0(mod 4),于是 x2+y2+x4+y4≡0(mod 4), 故 x4+y3≡0(当 x2+y2≡0 时)或 2(当 x2+y2≡2 时)(mod 4).即点 D 为红点.
B F E O D C A

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