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常用逻辑用语高二复习

时间:2013-01-21


常用逻辑用语
知识点梳理: 1、四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q;⑵逆命题:若 q 则 p;⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题:若 ? q 则?p 注:1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。 2、注意命题的否定与否命题的区别:命题 p ? q 否定形式是 p ? ?q ;否命题是 ? p ? ? q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. ; 3、逻辑联结词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; ⑵或(or) 命题形式 p ? q; : ⑶非(not) :命题形式 ? p . p q 真 真 真 假 假 真 假 假 p?q 真 假 假 假 p?q 真 真 真 假

?p 假 假 真 真

“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假” ; “且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真” ; “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件 由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的 必要条件。 5、全称命题与特称命题: 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 ? 表示。 含有全体量词的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中 通常叫做存在量词,并用符号 ? 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

典例分析
题型一:逻辑连接词
【例1】 写出下列命题的“ ?

p ”命题:

(1)正方形的四边相等; (2)平方和为 0 的两个实数都为 0 ;
1

(3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角; (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个为 0 ; (5)若 ( x ?1)( x ? 2) ? 0 ,则 x ? 1 且 x ? 2 .

【例2】 若 p : N ? {x ? R | x ? ?1}, q :{0} ? ? .写出由其构成的“ p 或 q ”“ p 且 q ”“非 p ”形 、 、

式的新命题,并指出其真假.
【例3】 用联结词“且”“或”分别联结下面所给的命题 p , 构成一个新的复合命题,判断它 、 q

们的真假. ⑴ p : 1 是质数; q : 1 是合数; ⑵ p :菱形的对角线互相垂直; q :菱形的对角线互相平分;
【例4】 把下列各组命题,分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题,并判断其真假.

⑴ p :梯形有一组对边平行; q :梯形有一组对边相等. ⑵ p : 1 是方程 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 的解; q : 3 是方程 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 的解. ⑶ p :不等式 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 解集为 R ; q :不等式 x2 ? 2 x ? 2 ≤1 解集为 ? . ⑷ p : ? ? {0} ; q : 0 ? ? .
【例5】 判断下面对结论的否定是否正确,如果不正确,请写出正确的否定结论:

⑴至少有一个 S 是 P ;否定:至少有两个或两个以上 S 是 P ; ⑵最多有一个 S 是 P .否定:最少有一个 S 是 P ; ⑶全部 S 都是 P .否定:全部的 S 都不是 P .
【例6】 “ a 2 ? b2 ? 0 ”的含义为__________;“ ab ? 0 ”的含义为__________.
b A. a , 不全为 0 b C. a , 至少有一个为 0 b B. a , 全不为 0

D. a 不为 0 且 b 为 0 ,或 b 不为 0 且 a 为 0 )

【例7】 已知全集 U ? R , A ? U , B ? U ,如果命题 p : 3 ? A ? B ,则命题“ ?p ”是(

A. 3 ? A C. 3 ? A ? B

B. 3 ??U B D. 3 ? (痧A) ? ( U B) U )

【例8】 命题“关于 x 的方程 ax ? b(a ? 0) 的解是唯一的”的结论的否定是(

A.无解

B.两解

C.至少两解 )

D.无解或至少两解

【例9】 若条件 P : x ? A ? B ,则 ?P 是(

2

A. x ? A 且 x ? B C. x ? A 且 x ? B

B. x ? A 或 x ? B D. x ? A ? B )

【例10】 命题: “若 a2 ? b2 ? 0(a , ?R) ,则“ a ? b ? 0 ”的逆否命题是( b
b A.若 a ? b ? 0(a , ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0
b B.若 a ? 0 且 b ? 0(a , ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0

b C.若 a ? b ? 0(a , ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0
b D.若 a ? 0 或 b ? 0(a , ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0

【例11】 命题“ ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是(



A. a ? 0 或 a ≥ 3 C. a ? 0 或 a ? 3

B. a ≤ 0 或 a ≥ 3 D. 0 ? a ? 3 )

【例12】 命题“ p 或 q ”是真命题, p 且 q ”是假命题,则( “

A.命题 p 和命题 q 都是假命题 C.命题 p 和命题“非 q ”的真值不同

B.命题 p 和命题 q 都是真命题 D.命题 p 和命题 q 的真值不同
1 1 ? , a b

【例13】 已知命题 p :若实数 x , 满足 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , 全为 0 ;命题 q :若 a ? b ,则 y y

给出下列四个复合命题:① p 且 q ② p 或 q ③ ?p ④ ?q ,其中真命题的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )



【例14】 由下列各组命题构成“ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假, ?p ”为真的是( “ “

A. p : 0 ? ? , q : 0 ? ? B. p :等腰三角形一定是锐角三角形, q :正三角形都相似
b C. p : {a} 躿 a , } , q : a ? {a , } { b

D. p : 5 ? 3 , q : 12 是质数
【例15】 在下列结论中,正确的是(

) ① p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 “ ② p ? q ”为假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 “ ③ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件 “ ④ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件 “ A.①② B.①③ C.② ④ D.③ ④
a b ? 2 ,则 a ? b .则( 2 c c

【例16】 设命题 p : x ? 2 是 x2 ? 4 的充要条件,命题 q :若

)

A. p 或 q ”为真 “

B. p 且 q ”为真 “
3

C. p 真 q 假

D. p , q 均为假命题

【例17】 若命题“ p 且 q ”为假,且“ ? p ”为假,则

() D. p 假

A. p 或 q 为假

B. q 假

C. q 真

【例18】 若条件 P : x ? A ? B ,则 ? P 是

A. x ? A 且 x ? B

B. x ? A 或 x ? B

C. x ? A 且 x ? B

( ) D. x ? A ? B

【例19】 设 集 合 M ? ? x| x ? 2 , P ?? x| x? ? , 那 么 “ x ? M , 或 x ? P ” 是 “ x ? M ? P ” 的 3 ?

( ) A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.①④ ( ) )

【例20】 p 或 q ”是假命题.其中正确的结论是

A.①③

B.②④

C.②③

【例21】 已知命题 p 且 q 为假命题,则可以肯定

A. p 为真命题 C. p, q 中至少有一个是假命题

B. q 为假命题 D. p, q 都是假命题

【例22】 已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的
2





A.充分不必要条件 C.充要条件
【例23】 下列判断正确的是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

A. x2 ? y 2 ? x ? y 或 x ? ? y B.命题“ a 、b 都是偶数, a ? b 是偶数” 的逆否命题是“若 a ? b 不是偶数, a 、b 都 则 则 不是偶数” C.若“ p 或 q ”为假命题,则“非 p 且非 q ”是真命题 D.已知 a, b, c 是实数, 关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是空集, 必有 a ? 0 且 ? ? 0
【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题.
4

⑴若命题“ ?p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,那么 p ? q 是______;
?p ? q 是_____;

⑵若命题“ ?p 或 ?q ”是假命题,那么 p ? q 是______; p ? q 是_______;
?p 是_______.

【例25】 ⑴ p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的

条件; 条件.

⑵ ?p 为假命题是 p ? q 为真命题的

(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要) .

【例26】 如在下列说法中:①“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;②“ p 且 q ”为假

是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;③“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; ④“非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件.其中正确的是__________.

【例27】 如果命题“非 p 或非 q ”是假命题,给出下列四个结论:①命题“ p 且 q ”是真命题;

②命题“ p 且 q ”是假命题;③命题“ p 或 q ”是真命题;④命题“用“充分、必要、 充要”填空:① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的________________条件;② ? p 为 假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件.

3 2 【例28】 已知命题: p : “若 a ? 1 ,则 a ? a ” ;命题 q :“若 a ? 0 ,则 a ?

1 ”.则在“ p 或 q ” 、 a

“ p 且 q ”“非 p ”“非 q ”四个命题中,真命题是 、 、

.

【例29】 命题 p : 0 不是自然数;命题 q : 2 是无理数,则在命题“ p 或 q ”“ p 且 q ”“非 p ” 、 、 、

“非 q ” 真命题是 中,

; 假命题是

.

【例30】 命题“对一切非零实数 x ,总有 x ?

1 ? 2 ”的否定是 x

,它是

命题.(填“真”或“假”)
【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛,设命题 p 是“甲获奖”,命题 q 是“乙获奖”,试用 p , 及逻 q

辑联结词“且”、“或”、“非”表示:
5

⑴两人都获奖; ⑶恰有一人获奖;

⑵两人都未获奖; ⑷至少有一人获奖.

b 【例32】 命题 p :若 a , ? R ,则 a ? b ? 1是 a ? b ? 1 的充分条件,命题 q :函数 y ? ? ? 定义域是 (?? , 1] ? [3 , ?) ,则(

x ?1 ? 2 的

) D. p 假 q 真

A. p 或 q 为假 B. p 且 q 为真 C. p 真 q 假

【例33】 已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件,q 是 s

的必要条件.现有下列命题:①s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条 件;③r 是 q 的必要条件而不是充分条件;④?p是?s 的必要条件而不是充分条件;⑤r 是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( ) A.① ⑤ ④ B.① ④ ② C.② ⑤ ③ D.② ⑤ ④
【例34】 已知 p : 方程 x2 ? mx ? 2 ? 0 有两个不等的负根;q : 方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根. 若

p ? q 为真, p ? q 为假,则实数 m 的取值范围是_______.

【例35】 已知命题 p :关于 x 的不等式 x ? 2006 ? x ? 2008 ? a 恒成立;命题 q :关于 x 的函数
1] y ? loga (2? ax )在 [0 , 上是减函数.若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,则实数 a 的

取值范围是_______;

已 知 命 题 p : 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的 解 集 为 空 集 ? ; 命 题 q : 函 数

f ( x) ? ax2 ? ax ? 1没有零点,若命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

1] 【例36】 已知命题 p :方程 a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 在 [?1, 上有解;命题 q :只有一个实数满足不等式 x 2 ? 2ax ? 2a ≤ 0 .若 p ? q 是假命题,求 a 的取值范围.

2 2 【例37】 命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0

6

无实数根.若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围.

【例38】 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? lg a ? 2 (a ? R ,且 a ? ?2) ,

⑴ f ( x) 能表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 的和,求 g ( x) 和 h( x) 的解析式; ⑵命题 p :函数 f ( x) 在区间 [(a ? 1)2 , ?) 上是增函数;命题 q :函数 g ( x) 是减函数.如 ? 果命题 p 且 q 为假, p 或 q 为真,求 a 的取值范围. ⑶在⑵的条件下,比较 f (2) 与 3 ? lg 2 的大小. 题型二:全称量词与存在量词 【例39】 判断下列命题是全称命题,还是存在性命题. ⑴平面四边形都存在外接圆; ⑵有些直线没有斜率; ⑶三角形的内角和等于 π ; ⑷有一些向量方向不定; ⑸所有的有理数都是整数; ⑹ 实数的平方是非负的.
【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题.

⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ⑵负数的平方是正数; ⑶有些三角形不是等腰三角形; ⑷有些菱形是正方形.
π p 【例41】 设语句 p( x) : cos( x ? ) ? ? sin x ,写出“ ?? ? R , (? ) ” ,并判断它是不是真命题. 2
? 【例42】 用量词符号“ ? , ”表示下列命题,并判断下列命题的真假.

⑴任意实数 x 都有, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ; ⑵存在实数 x , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ; b ⑶存在一对实数 a , ,使 a 2 ? b ? 0 成立; ⑷有理数 x 的平方仍为有理数; ⑸实数的平方大于 0 . ⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于 0 .
【例43】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.

⑴所有的素数是奇数; ⑵一切实数 x ,有 ( x ? 1)2 ? 0 ;

7

⑶对于正实数 x , x ? ≥ 2 ; ⑷ ?x ? R , x ? sin
1 ≥2 ; sin x

1 x

⑸一定有实数 x 满足 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; ⑹至少有一个整数 x 能被 2 和 3 整除; ⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线; ⑻ ?x ? {x | x 是无理数 } , x2 是无理数.
【例44】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.

⑴ 2 x ? 1 是整数( x ? R ) ; ⑵对所有的实数 x , x ? 3 ; ⑶对任意一个整数 x , 2 x 2 ? 1 为奇数; ⑷末位是 0 的整数,可以被 2 整除; ⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ⑹正四面体中两侧面的夹角相等; ⑺有的实数是无限不循环小数; ⑻有些三角形不是等腰三角形; ⑼有的菱形是正方形.

【例45】 写出下列命题 p 的否定形式,并判断 p 与 ?p 的真假.

⑴平行四边形的对边相等; ⑵不等式 2 x2 ? 2 x ? 1 ≤ 0 有实数解. ⑶ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ; ⑷ ?x ? R , x 2 ? 1 ? x ; ⑸有些实数的绝对值是正数. ⑹不是每个质数都是偶数.
【例46】 判断下列命题的真假:

(1)对任意的 x, y 都有 x2 ? y 2 ? 2xy ; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3) ? 实数 a ? 2 且 b ? ?1 使 a2 ? b2 ? 4a ? 2b ? ?5 ;
4 (4)存在实数 x 使函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 取得最小值 4 . x

【例47】 对于下述命题 p ,写出“ ? p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ? p ”的真假:

(1) p : 有一个素数是偶数;.
8

(2) p : 任意正整数都是质数或合数; (3) p : 三角形有且仅有一个外接圆.

? 【例48】 用量词符号“ ? , ”表示下列命题,写出它们的否定,并判断这两个命题的真假.

⑴存在一对实数 x , ,使 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 成立; y ⑵对任意实数 x , ,有 x2 ? y 2 ? 0 成立. y ⑶对任意实数 x , ,有 x2 ? y 2 ? x ? 1成立. y
【例49】 已知命题 p :对任意的 x ? R ,有 sin x ≤ 1 ,则 ?p 是(



A.存在 x ? R ,有 sin x ≥ 1 C.存在 x ? R ,有 sin x ? 1

B.对任意的 x ? R ,有 sin x ≥ 1 D.对任意的 x ? R ,有 sin x ? 1 )

【例50】 命题“对任意的 x ? R , 3 ? x2 ? 1≤ 0 ”的否定是( x

A.不存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1≤ 0 x C.存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1 ? 0 x

B.存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1≥ 0 x D. 对任意的 x ? R , 3 ? x2 ? 1 ? 0 x

【例51】 已知条件 p : | x ? 1|? 2 ,条件 q : x ? a ,且 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 a 的取值范

围可以是( A. a ≥ 1

) B. a ≤ 1 C. a ≥ -1 ) D. a ≤ ?3

【例52】 命题“对任意的 x ? R , 3 ? x2 ? 1≤ 0 ”的否定是( x

A.不存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1≤ 0 x C.存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1 ? 0 x
【例53】 有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1 : ?x ? R , sin 2 ? cos2 ? 2 2 2
p3 : ?x ? ?0 ,π? ,
1 ? cos 2 x ? sin x 2

B.存在 x ? R , 3 ? x2 ? 1≥ 0 x D. 对任意的 x ? R , 3 ? x2 ? 1 ? 0 x

p2 : ?x , y ? R , sin( x ? y ) ? sin x ? sin y

p4 : s i n? x

π c o ? x? y? ys 2

其中假命题的是( ) A. p1 , p4 B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p3

sin 【例54】 已知命题 p : ?x ? R , x ≤1 ,则(


9

sin A. ?p : ?x ? R , x ≥1 sin C. ?p : ?x ? R , x ? 1

sin B. ?p : ?x ? R , x ≥1
sin D. ?p : ?x ? R , x ? 1

【例55】 命题“存在 x0 ?R , 2 x0 ≤ 0 ”的否定是(

) B.存在 x0 ?R , 2 x ≥ 0
0

A.不存在 x0 ?R , 2x ? 0
0

C.对任意的 x ? R , 2 x ≤ 0
【例56】 结论“至少有两个解”的否定的正确说法是(

D.对任意的 x ? R , 2 x ? 0 )

A.至少有三个解 C.至多有两个解

B.至多有一个解 D.只有一个解

【例57】 命题 p :存在实数 m ,使方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有实数根,

命题 q :对任意实数 m ,方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有实数根, 则“非 p ”和“非 q ”的形式的命题分别是 ①存在实数 m ,使得方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 无实根 ②不存在实数 m ,使得方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 无实根 ③对任意的实数 m ,方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 无实根 ④至多有一个实数 m ,使得方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有实根

【例58】 命题 p 的否定是“对所有正数 x, x ? x ? 1” ,则命题 p 是

.

10


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