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1.2.2空间中的平行关系(1-2)_图文

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1.2.2空间中的平行关系 1.2.2空间中的平行关系

2011年12月15日

1、平行直线
初中知识回顾: 初中知识回顾: (1)平行直线 ----在同一平面内,不相交的的两条直线 (1)平行直线 ----在同一平面内 在同一平面内, (2)平行公理 (2)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知 平行公理: 直线平行
(3)性质:平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 性质:平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,

则这两条直线也互相平行. 则这两条直线也互相平行. 性质(3)推广到空间 作为空间平行直线的基本性质: 性质(3)推广到空间,作为空间平行直线的基本性质: 推广到空间, 基本性质4 基本性质4 平行于 同一条直线的两条直线平行

基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 基本性质 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 若a∥b,b∥c, ∥ , ∥ , 则 a∥c。 ∥ 。
c
a

b

α

性质4又叫做空间平行线的传递性 性质 又叫做空间平行线的传递性

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行,并且方向相同 那么这两个角相等. 并且方向相同,那么这两个角相等 平行 并且方向相同 那么这两个角相等
已知: ∠ BAC 和 ∠ B ' A ' C ' 的边 AB // A ' B ' , AC // A ' C ' ,

∠ 并且角的方向相同 求证: BAC= ∠B' A' C' . 证明 : 截取线段 A ' D ' = AD , A ' E ' = AE . 因为 : AD // A ' D ' ,
所以 : AA' D ' D是平行四边形 .

D. B' '

可得: AA //DD . .
' '

同理可得 AA' //EE' . : .

A'

β

E. '

C'

于是 DD' //EE'. :
因此 : DD E E是平行四边形 .
' '

. B
D

可得DE= DE. : 于是 : ?ADE ? ?A' D ' E ' .
' '

A
α

E

.

C

因此: ∠BAC = ∠B A C .
' ' '

一组边的方向相同,而另一组边的 方向相反,又如何?

γ

β

α =γ ? ? ? α,β互补 β , γ互补?

α

如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行,它们成的角有何关系?

γ

α

推论 如果两条相交直线和另两条

相交直线分别平行,那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
γ

α

如图(1)所示 顺次连接不共面的四点 所示:顺次连接不共面的四点 如图 所示 顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成 所构成 的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做 叫做空间四边形 这四个点中的各个点叫做空 的图形 叫做空间四边形 这四个点中的各个点叫做空 间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做 所连接的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的顶点 所连接的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四 间四边形的边 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四 连接不相邻的顶点的线段叫做 边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表 边形的对角线 空间四边形用表示顶点的四个字母表 线段AC,BD是它的 如图(2)中的空间四边形 中的空间四边形 线段 是它的 示.如图 如图 中的空间四边形ABCD,线段 对角线. 对角线.
A A

B C (1)

D B (2) C

D

已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边的 例1:已知空间四边形 已知空间四边形 中 分别是边的 AB,BC,CD,DA 的 中点 求证 : 四边形 中点.求证 四边形EFGH是平行 求证: 是平行 四边形

证明 : 在?ABD中,

因为 : E , H分别是AB, AD的中点,
1 所以: EH // BD, EH = BD. 2 1 同理 FG // BD, 且FG = BD. , 2
E

A

H D F C G

所以: EH // FG, EH = FG.

B

所以 : 四边形 EFGH 是平行四边形 .

2.直线与平面平行 直线与平面平行 (1).空间直线与平面的位置关系有哪几种? (1).空间直线与平面的位置关系有哪几种? 空间直线与平面的位置关系有哪几种
直线a在平面α 直线a在平面α内 直线a与平面α 直线 与平面α相交 与平面 直线a与平面α 直线 与平面α平行 与平面

a α
A B

a A α a//α α

a

α

a?α

a∩α=A α

(2).如何判定一条直线和一个平面平行呢? 如何判定一条直线和一个平面平行呢? 如何判定一条直线和一个平面平行呢 抽象概括: 抽象概括: 直线与平面平行的判定定理 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直 线平行,那么这条直线和这个平面平行. 线平行,那么这条直线和这个平面平行 a 即:a? α a //α α b?α ≠ b α b//a a//α α 简述为:线线平行? 简述为:线线平行?线面平行

已知 l ? α,m , 求证: 求证:l //α.

α, , ? ,l // m,
β
l

m 从正面思考这个问题, 从正面思考这个问题, P α 有一定的难度, 有一定的难度,不妨从 反面想一想。 反面想一想。 如果一条直线l和平面 相交, 和 一 和平面α相交 如果一条直线 和平面 相交,则l和α一

定有公共点,可设 定有公共点,可设l∩α=P。 。

再设l与 确定的平面为 确定的平面为β, 再设 与m确定的平面为 ,则依据平面 基本性质3, 一定在平面α与平面 基本性质 ,点P一定在平面 与平面 的 一定在平面 与平面β的 交线m上 交线 上。 于是l和m相交 这和l m矛盾 相交, 矛盾。 于是l和m相交,这和l // m矛盾。 所以可以断定l与 不可能有公共点 不可能有公共点。 所以可以断定 与α不可能有公共点。 即l // α.

证明直线与平面平行,三个条件必须具 证明直线与平面平行,三个条件必须具 才能得到线面平行的结论. 备,才能得到线面平行的结论. 三个条件中注意: 不在平面内, 三个条件中注意:“不在平面内,在平 面内、平行” 面内、平行” 线线平行 线面平行 运用定理的关键是找平行线; 运用定理的关键是找平行线; 找平行线 找平行线又经常会用到三角形中位线定理 找平行线又经常会用到三角形中位线定理. 三角形中位线定理

已知空间四边形ABCD中, E,F分别为 ,AD 分别为AB, 例2.已知空间四边形 已知空间四边形 中 分别为 的中点 求证:EF//平面 平面BCD. 求证 平面 证明:如图,连接 连接BD,在△ABD中, 证明:如图 连接 在 中 因为 E,F分别为 ,AD的中点, 分别为AB, 的中点 的中点, 分别为 E 所以 EF ∥BD, 又 因为 BD ? 平面 BCD, B EF ? 平面 BCD, ∥平面BCD。 平面BCD 所以 EF ∥平面BCD。 A F D C

(3)线面平行的性质 线面平行的性质
问题1:命题“若直线 平行于平面 平行于平面α, 问题 :命题“若直线l平行于平面 ,则直 平行于平面α内的一切直线 线l平行于平面 内的一切直线.”对吗? 平行于平面 内的一切直线. 对吗?
l c

α

b

问题2:在上面的论述中平面α的直线b
l 满足什么条件时可以与直线a平行? l Q a与平面α的任何直线都没有公共点, l ∴ 过直线a的某一个平面,若与平面α 相交, l 则直线a就平行于这一条交线。

直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果一条直线和一个平 )文字语言: 面平行, 面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行. 面相交,那么这条直线就和交线平行
a

(2)图形语言: )图形语言:

α
a//α (3) 符号语言: a ?β ) 符号语言: α∩β=b

b

? a//b

已知: 已知:l //α,l ,

?β,α∩β=m, , ,
β α
l m

求证: 求证:l //m. 证明:因为l , 证明:因为 //α,所以 l与α没有公共点, 与 没有公共点 没有公共点,

又因为m在α内 所以l与m也没有公共点 也没有公共点. 又因为m在α内,所以l与m也没有公共点. 因为l和 都在平面 都在平面β内 且没有公共点, 因为 和m都在平面 内,且没有公共点, 所以l 所以 //m. 这条定理, 这条定理,由“线面平行”去判断“线线平 线面平行”去判断“ 行”

求证: 例2. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线, 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 直线在这个平面内。 已知: 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, , ∈ , ∈ , , 求证: 求证:m ? α. 证明: 与 确定的平面为 确定的平面为β, 证明:设l与P确定的平面为 , 且α∩β=m’, , 则l //m’,又知l //m, ,又知 , m∩m’=P, ,
l

β

P

m

α

m'

由平行公理可知, 与 重合 重合. 由平行公理可知,m与m’重合 所以m 所以 ? α.
l

β

P

m

α

m'

(1)以下命题 ) 其中a, 表示直线 表示直线, 表示平面) (其中 ,b表示直线,α表示平面)

练习: 练习:

?α, ①若a∥b,b?α,则a∥α ∥ , ?α ∥ ②若a∥α,b∥α,则a∥b ③若a∥b,b∥α,则a∥α ?α, ④若a∥α,b?α,则a∥b ∥ ?α ∥

其中正确命题的个数是(A) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

(2)下列命题中正确的个数是( (2)下列命题中正确的个数是(B ) 下列命题中正确的个数是 上有无数个点不在平面α内 ①若直线 l上有无数个点不在平面 内,则

l // α

与平面α平行 平行, 与平面α内的 ②若直线 l 与平面 平行,则 l 与平面 内的 任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行 与平面α平行 平行, 与平面α内的 ④若直线 l 与平面 平行,则 l 与平面 内的 任意一条直线都没有公共点. 任意一条直线都没有公共点 (A)0 ) (C)2 ) (B) 1 ) ( D )3

(3)、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1六个表面 、如图,在正方体 中, 平行的直线有: (Ⅰ)与AB平行的直线有: 1B1、CD、C1D1 平行的直线有 A 、 (Ⅱ)与AB平行的平面有:平面 C 、平面 C 平行的平面有:平面A 平行的平面有 平面D1 1 1
D1 A1 B1 C1

D A B

C

(4)、如图,在长方体ABCD—— 、如图,在长方体 A1B1C1D1中,E为DD1的中点。试判 的中点。 为 与平面AEC的位置关系,并说 的位置关系, 断BD1与平面 的位置关系 明理由。 明理由。
D1 A1 E D A
F

C1 B1 C B

(5)、如图,已知1-37,在三棱柱 、如图,已知 - ,在三棱柱ABC— —A1B1C1中,D是AC的中点。 的中点。 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 C1

B1

P
D A C

B

(6)、如图,在正方体ABCD—— 、如图,在正方体 A1B1C1D1中,E、F分别是棱 与C1D1 分别是棱BC与 、 分别是棱 的中点。 的中点。 求证: D1 平面 平面BDD1B1. 求证:EF//平面 F
C1 A1 B1 A1 D1 F C1 B1

M

ND M
A B E

C A

D E B

C

小结
基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 基本性质 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 方向相同,那么这两个角相等 那么这两个角相等. 方向相同 那么这两个角相等 直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行. 此平面平行 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。 面相交 那么这条直线和两平面的交线平行。 那么这条直线和两平面的交线平行


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