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河北省邢台一中高二数学下学期第一次月考试题 理【会员独享】

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邢台一中 2011-2012 学年下学期第一次月考 高二年级数学试题
第I卷(客观题共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 1. (i ? i ?1 )3 的虚部为 A. 8i B. ? 8 i C. 8 D. ?8 ( )

2. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f ( x ) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则 f ( x ) 与 g ( x) 满足 A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) ( )

3.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的 ( A 充分不必要条件 4.若复数 A 1 B 必要不充分条件 C 充要条件

D 既不充分也不必要条件 ( )

1-ai ? R ,则实数 a= 1+i
B -1 C 2 D -2

5.曲线 y ?

x 在点 (1,1) 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

( C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0 (

)

A. x ? y ? 2 ? 0

6.质点运动规律 s ? t ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中相应的平均速度为



A. 6 ? ?t
7.若 ? ? (

B.

6 ? ?t ?

3? 5? , ) ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin? ? cos? )i 在复平面内所对应的点在() 4 4
B.第二象限 C.第三象

9 ?t

C.3 ? ?t

D.9 ? ?t

A.第一象限 限 D.第四象限

8. 圆柱形金属饮料罐容积一定时, 它的高与低面半径的比为 ( B.2 C.

) , 才能使材料最省? A. D.3

1 2

1 3


9.

? ? (1 ? cos x)dx 等于
2 ? 2

?



A. ?

B. 2

C.

? -2

D.

? +2

10.函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f ( x) 的减区间是 A. (-1,1) B. (0,1) C. (-1,0) D. (-2,-1)

11. 设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是 y y y y ( )

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.
3

x

12.如图, 向一个空的轴截面为等边三角形的圆锥形容器注水, 速度为每分钟 3? m /分钟, 8 分钟时水面上升的速度为 ( )

A. 1 m/分钟 B. 0.5 m/分钟

C. 0.25 m/分钟

D. 2 m/分钟

第Ⅱ卷(主观题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 z 满足 z(1+i) =1-i (i 是虚数单位),则其共轭复数 z =. 14.若 函数f ( x) ? x ? mx ? x ? 1 在 R 上没有极值点,则 m 的取值范围
3 2

15、若函数 f ? x ? ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是
3

16. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,

xf ?( x ) ? f ( x) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 x2

f ( x ) ? 0 的解集是
三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分)

17.(10 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 9x ? 1(a ? 0) 若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与 直线 12x ? y ? 6 平行, (1)求 a 的值; (2)函数 f ( x) 的单调区间。

18.求由曲线 y ? x 2 和直线 y ? 2 x 和 y ? x 共同围成的图形的面积。

19.某单位用 2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方 米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x ? 10)层,则每平方米的 平均建筑费用为 560+48x (单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

20. 已知函数

f ( x) ? x 2eax ,其中 a ? R 。

(1)当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间。 (2)若函数 f ( x) 在区间 (??,?1] 上递增,求实数 a 的取值范围。

21.已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ? (1)求 a ? 1 时 f ( x ) 的极值;

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(2)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

22.已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? bx ? a2 (a ? 1) 在 x ? ?1 时有极值 0。

(1)求常数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间。 (3)对于

x ?[-4,0],不等式 f ( x) ? c2 ? 0 恒成立,求实数 c 的范围。

邢台一中 2011-2012 学年下学期第一次月考答案 高二理科数学 一、选择题:1-5DBDBC 6-10ABBDA 11-12 DC 二、填空题:13 i 14 (? 3, 3) 15 (?2,2) 16 (?1,0) ? (1,??)

a 2 a2 ' 2 f ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 9 ? 3 ( x ? ) ? 9 ? 17.解: (1) 3 3 f ' min ( x) ? ?9 ? a2 ,∵曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直线 12x ? y ? 6 平行 3

∴?9?

a2 ? ?12 ,∴ a 2 ? 9 又因为 a ? 0 ,∴ a ? ?3 3
' 2

(2)由(1)知 f ( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3)
' 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1或x ? 3 ,∴ f ( x) 的单调递增区间为 (??,?1) 和 (3,??)

f ' ( x) ? 0 得 ? ?1x ? 3 ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (?1,3)
?y ? x2 18.解:由 ? 得 x ? 0或x ? 2 ,由 ? y ? 2x

?y ? x ? ? y ? 2x

得 x ? 0或x ? 1 ,曲线 y ? x 2 和
2

直线 y ? 2 x 和 y ? x 共同围成的图形的面积

?

1

0

(2 x ? x)dx + ? (2 x ? x 2 )dx =
1

?

1

0

xdx + ?

2

1

x2 (2 x ? x )dx = 2
2

1

? (x 2 ?
0

x3 2 1 5 ) ? ?2? 3 1 2 2

19.解:设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得

y ? (560 ? 48 x) ?

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? N * ) 2000 x x 10800 10800 ? 0 ,解得 x ? 15 则 y ? ? 48 ? ,令 y? ? 0 ,即 48 ? 2 x x2

当 x ? 15 时, y? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y? ? 0 , ∴函数 y ? 560 ? 48 x ?

10800 在 (10,15) 上为减函数,在 (15,??) 为增函数。 x

因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元. 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层 20.解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x 2 e x , f ' ( x) ? 2xe x ? x 2 e x ? ( x 2 ? 2x)e x 令 f ' ( x) ? 0 得 x 2 ? 2 x ? 0 ∴ x ? 0或x ? 2 ∴ f ( x) 的单调递增区间为

(??,0)和(2, ? ?) 令 f ' ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ,∴ f ( x) 的单调递减区间为 (0,2)
(2) f ' ( x) ? 2 xeax ? ax2 e ax ? (ax2 ? 2 x)e ax ∵ f ( x) 在 (??,?1] 上为增函数,∴ f ' ( x) ? (ax2 ? 2 x)e ax ? 0 对 x ? ?1 恒成立,
2 即 x ? ?1 时 ax ? 2 x ? 0 ,∴ a ? ?

2x 2 ?? , 2 x x

而当 x ? ?1时 ?

2 ?2 x

∴a ? 2

f ( x) 在 (??,?1] 上单调递增时 a 的范围是 [2,??)
21.解: (1)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 (2)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x
4 (舍去) , e

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍去) , a e

所以,此时 f ( x) 无最小值. 综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. 22、解: (1) f '( x) ? 3x 2 ? 6ax ? b ,由题知:

?1? ? f '( ?1) ? 0 ?3 ? 6a ? b ? 0 ?? ? 2 ?2? ? f ( ?1) ? 0 ??1 ? 3a ? b ? a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 2 联立<1>、<2>有: ? 或? ?b ? 3 ?b ? 9
当?

?a ? 1 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0 , x ? ?1 时 f ( x) 没有极值, b ? 3 ?

?a ? 2 时 f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) ,可得 x ? ?1 时 f ( x) 有极值 ? b ? 9 ? 所以 a ? 2, b ? 9
(2)由(1)得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 ? 3?x ? 3??x ? 1? 故方程 f '( x) ? 0 有根 x ? ?3或 x ? ?1 x

???, ? 3?
+ ↑

?3
0 极大值

??3, ? 1?
- ↓

?1
0 极小值

??1, ? ??
+ ↑

f ' ( x) f ( x)

由表可见,当 x ? ?1时, f ( x ) 有极小值 0,故 ? 由上表可知: f ( x ) 的减函数区间为 ?3, ? 1

f ( x ) 的增函数区间为 ???, ? 3? , ??1, ? ??
(3)因为 f (?4) ? 0, f (? 3) ? 4, f (? 1) ? ? 1, f (0)? 4 ,再由(2)可得 ? 4 ? x ? 0 时

?

?

?a ? 2 符合题意 ?b ? 9

? 1 ? f ( x) ? 4 ,若 f ( x) ? c 2 ? 0 恒成立则 ? 1 ? c 2 ? 0 恒成立,解得 ? 1 ? c ? 1 所以 c 的
范围是(-1,1).


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