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浙江省杭州学军中学2019学年高三上学期期中考试数学(文)试题

时间:

浙江省杭州学军中学 2019 学年高三上学期期中考试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的)

1.已知集合 A={x|x2-x≤0}, B={x|0<x<3} 则 A∩B=
A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x<3} C.{x 0 ? x ? 3}

2.设 z ? 1? i (为虚数单位),则 z 2 ? 2 ? z

A. ?1? i

B. ?1? i

C.1? i

3.已知实数 a,b,则“ ab ? 2 ”是“ a2 ? b2 ? 4 ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

()
D.{x|0<x≤1}

D.1? i

() ()

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4. 函数 y ? 2 cos2 (x ? ? ) ?1是 4
A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为的偶函数

()

C. 最小正周期为 ? 的奇函数 2

D.最小正周期为 ? 的偶函数 2

5.观察 (x2 )' ? 2x , (x4 )' ? 4x3 , (cos x)' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在上的函数 f (x) 满足

f (? x) ? f ( x),记 g(x) 为 f (x) 的导函数,则 g(?x) =

()

A. f (x)

B. ? f (x)

C. g(x)

D. ?g(x)

2
6.已知 ?ABC满足 AB ? 2BA? CA ,则 ?ABC的形状为

()

A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

? ? 7. 设 Sn 是等比数列

an

的前项和, S3 ? 1 ,则 S6 等于

S6 3

S12

()

A. 1 3

B. 1 5

C. 1 8

D. 1 9

8.若函数 f ? x? 在上可导,且 f (x) ? x2 ? 2 f / (2)x ? m (m ? R) ,则

()

A. f (0) ? f (5) B. f (0) ? f (5) C. f (0) ? f (5) D.无法确定

9.已知函数

f

(x)

?

lg

x

?

(

1 2

)

x

有两个零点

x1

,

x

2

,则有

()

A. x1x2 ? 0

B. x1x2 ? 1

C. x1x2 ? 1

D. 0 ? x1x2 ? 1

10.已知函数

f

(x)

?

?2x ?

? 1( x

?

0)

,把函数 g(x) ? f (x) ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个

? f (x ?1) ?1(x ? 0)

数列,则该数列的通项公式为

()

A.

a

n

?

n(n ?1) 2

(n ?

N*)

B. an ? n ?1(n ? N *)

C. an ? n(n ?1)(n ? N *)

D. an ? 2n ? 2(n ? N *)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请把正确答案填在题中横线上)

11.已知是第二象限的角, tan? ? ? 1 ,则 cos? ? __________。 2

12.函数 f (x) ? lg(2 ? x ? x2) 的定义域是



x ?x

13.

若平面区域

???00

? ?

x?2 y?2

是一个梯形,则实数 k

的取值范围是



?? y ? kx ? 2

14.数列{an}的前项和 Sn ? n2 ? 4n ,则 a1 ? a2 ?

? a10 =_______



15.若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是



16.函数 f (x) ? sin x ?cos 2 x 在[0, ? ]上的最大值与最小值之和为



2

17.已知 f (x) 是偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若 f (ax) ? f (x2 ? 2) 恒成立,则实数的取值范围





三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分 14 分)

已知向量 a = (sin2 ? x,cos2 ? x) , b ? (sin2 ? x, ? cos2 ? x), g(x) ? a ? b 。

6

6

6

6

(Ⅰ)求函数 g( x) 的解析式,并求其单调增区间;

(Ⅱ)若集合 M ? { f (x) | f (x) ? f (x ? 2) ? f (x ?1), x ? R},试判断 g(x) 与集合 M 的关系。

19.(本小题满分 14 分)
? ? 数列?bn ? n ? N ? 是递增的等比数列,且 b1 ? b5 ? 17, b2b4 ? 16 .
(Ⅰ)求数列?bn ?的通项公式;
? ? ? ? (Ⅱ) 数列 an n ? N ? 满足 b2 , ban , b2n?2 成等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? …… ?am ? a40 ,求的最大值。
20.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) ? 3 sin ?x ?cos ?x ? cos 2 ?x (其中? ? 0 ),且函数 f (x) 的图象的相邻两条对称 轴间的距离为 2? 。 (Ⅰ)若 f (x) =1,求 cos(23π-x)的值;
(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取 值范围。

21.(本小题满分 14 分)

定义域为的奇函数

f

(x) 满足

f

(x)

?

f (x ? 2k)

(k ? Z ) ,且当 x ?(0,1) 时,

f

(x)

?

2x 。 4x ?1

(Ⅰ)求 f (x) 在[?1,1]上的解析式;

(Ⅱ)当取何值时,方程 f (x) ? m 在 (0,1) 上有解?

22.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 9x2 cos? ? 48x cos ? ,g(x) ? f ?(x) ,且对任意的实数均有 g(1? e? t ) ? 0 , g(3 ? sin t) ? 0 。 (I)求 g(2) ; (II)求函数 f (x) 的解析式;
(Ⅲ)记函数 h(x) ? f (x) ? 2 x3 ? (a ? 9)x2 ? (b ? 24)x (a,b ? R) ,若 y ? h(x) 在区间[-1,2]上是单 3
调减函数,求 a ? b 的最小值。

杭州学军中学2019学年上学期期中考试 高三年级数学(文)答卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,答案请填入答题卡中) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤))
18、(本小题 14 分)

19、(本小题 14 分)

20、(本小题 15 分) 21、(本小题 14 分)

22、(本小题 15 分)

杭州学军中学2019学年上学期期中考试

高三年级数学(文)答案

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

1

2

3

4

5

D

C

A

A

D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

6

7

8

9

10

D

B

C

D

B

11. ? 2 5 12. ??1,0? 13. (2, ??)
5

14. 68

15. 2? 3

16.

23

9

17. ?2 2 ? a ? 2 2

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题 14 分)

解:(Ⅰ) g(x) ? sin4 ? x ? cos4 ? x

6

6

? (sin2 ? x ? cos2 ? x) (sin2 ? x ? cos2 ? x) ? ?cos ? x , …………4 分

6

6

6

6

3

由 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z,得6k ? x ? 6k ? 3, k ? Z, 3

? g(x) 的单调增区间为[6k,6k ? 3](k ? Z).

…………7 分

(Ⅱ)? g(x) ? g(x ? 2) ? ?[cos ?x ? cos(?x ? 2? )]

3

33

? ?(cos ?x ? cos ?x cos 2? ? sin ?x sin 2? ) ? ?(1 cos ? x ? 3 sin ? x )

3

33

33

2 32 3

? ?cos ? (x ?1) ? g(x ?1) , 3

…………13 分

? g(x) ? M.

…………14 分

19.(本小题 14 分)

解 :( Ⅰ ) 由

?b1b5 ? b2b4 ? 16 ??b1 ? b5 ? 17



b1, b5

是方程

x2 ?1 7x ?

1 6?

的0 两 根 , 注 意 到 bn?1 ? bn 得

b1 ? 1,b5 ? 16 . b1 ? 1, q ? 2 ? bn ? b1q n?1 ? 2n?1

…………4 分 ……………7 分

(Ⅱ) 由 b2 , ban , b2n?2 成等比数列,得 ban 2 ? b2 ?b2n?2 ,

an ? n ? 2.

…………10 分

∵ an?1 ? an ? ??n ? 1? ? 2?? ?n ? 2? ? 1数列?an ?是首项为 3,公差为 1 的等差数列.

由 a1 ? a2 ? a3 ? …… ?am ? a40 ,得 m2 ? 5m ? 84 ? 0 ,

解得 ?12 ? m ? 7 . ? m 的最大值是 7.

…………14 分

20.(本小题 15 分)

解:(Ⅰ) f (x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x = 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1

2

2

2

= sin(2?x ? ? ) ? 1 62

由条件得 2? ? 4? ,所以? ? 1 , f (x) ? sin( x ? ? ) ? 1 …………3 分

2?

4

26 2

由 f (x) =1 可得 sin(2x+π6)=12.

∴cos(23π-x)=cos(x-23π)=-cos(x+π3)

=-[1-2sin2(2x+π6)]=2·(

1 2

)2-1=-21.

…………8 分

(Ⅱ)∵(2a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,

∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0,

∴cosB=21,B=π3,

…………12 分

∴0<A<23π.∴π6<A2+π6<π2,12<sin(A2+π6)<1.

又∵f(x)=sin(2x+π6)+12,∴f(A)=sin(A2+π6)+12.

故函数 f(A)的取值范围是(1,32).

…………15 分

21.(本小题 14 分)

定义域为的奇函数

f

(x) 满足

f

(x)

?

f (x ? 2k)

(k ? Z ) ,且当 x ?(0,1) 时,

f

(x)

?

2x 。 4x ?1

(Ⅰ)求 f (x) 在[?1,1]上的解析式;

(Ⅱ)当取何值时,方程 f (x) ? m 在 (0,1) 上有解?

解:(Ⅰ)当 x ? (?1, 0) 时, ?x ?(0,1) ,



f

(x)

为上的奇函数,得

f

(?x)

?

?

f

(x)

?

2?x 4?x ?1

?

2x 4x ?1

,…………4



又 f (0) ? ? f (0), f (0) ? 0 ,

f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1? 2) ? f (1) ,

? f (?1) ? 0, f (1) ? 0 ,

…………7 分

? f (x) ? ??????04,x2?x 1,

x ? (?1, 0) x ? 0, ?1

? ?

2x

,

x ? (0,1)

?? 4x ?1

x ? (0,1)

…………8 分

(Ⅱ)?m ? 2x ? 1 ,

4x ?1

2x

?

1 2x

…………11 分

2x ? (1, 2) ,?2x ? 1 ? (2, 5) ,

2x

2

即m?(2, 1) 。 52

…………14 分

22.(本小题 15 分)已知函数 f (x) ? x3 ? 9x2 cos? ? 48x cos ? , g(x) ? f ?(x) ,且对任意的实数均有

g(1? e? t ) ? 0 , g(3 ? sin t) ? 0 . (I)求 g(2) ; (II)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅲ)记函数 h(x) ? f (x) ? 2 x3 ? (a ? 9)x2 ? (b ? 24)x 3
[-1,2]上是单调减函数,求 a ? b 的最小值。
解:(I)由题得, g(x) ? 3x2 ?18x cos? ? 48cos ? ,

(a,b ? R) ,若 y ? h(x) 在区间

又1? e? t ? (1, 2],3 ? sin t ?[2, 4] ,

知 g(x) ? 0 在 x ?(1, 2] 恒成立, g(x) ? 0 在 x ?[2, 4] 恒成立,

所以 g(2) ? 0

…………5 分

(II)法一:设 g(x) ? 0 的另一根为 x0 ,由条件得 x0 ? 4 ,而 2 ? x0 ? 6 cos? ,所以 6cos? ? 6 ,又

6 cos? ? 6,所以 6cos? ? 6,得 cos? ? 1, cos ? ? 1 , 2

即 f (x) ? x3 ? 9x2 ? 24x 。

…………10 分

法二:

? ? ?

g(2) g(4)

? 12 ? 36cos? ? 48cos ? ? 0 ? 3?16 ?18? 4cos? ? 48cos ?

?

得 cos? 0

? 1, cos ?

?

1 2

即 f (x) ? x3 ? 9x2 ? 24x 。

…………10 分

(Ⅲ)∵ y ? h(x) 在区间[-1,2]上是单调减函数,

∴ h/ (x) ? x2 ? 2ax ? b ? 0 在区间[-1,2]上恒成立.

根据二次函数图象可知 h/ (?1) ? 0 且 h/ (2) ? 0 ,

即:

?1? 2a ? b ? 0, ??4 ? 4a ? b ? 0,

也即

?2a ??4a

? ?

b b

? ?

1 ? 0, 4 ? 0.

作出不等式组表示的平面区域如图:

2a+b-1=0

当直线 z ? a ? b 经过交点 P(- 1 , 2)时, 2

z ? a ? b 取得最小值 z ? ? 1 ? 2 ? 3 ,

2

2

∴ z ? a ? b 取得最小值为 3 …………15 分 2

b 4a-b+4=0

4

P(- 1 , 2) 2

-2 o

2a z=a+b


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