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1992中国数学奥林匹克

时间:2010-07-04


,


在北京 举行
北京
,
,

年第 一朔 一





一 一一





一一 一





'

中国 数 学 奥 林匹 克
第 七 届冬令 营
北京

中 国 数 学 奥林 匹 克
香 港张 百 康 先 生
"
, ,

第七 居 全 国 中 学生 数 学冬 令 管
陈 省 身杯 " 团 休 比 赛

台湾 孙 文 先 先 生 参 加 了本 届 冬令 营 活 动 经过 两天 比赛
,

市 组 队 参 加 了本 届 冬 令 营 的
黑龙江


试题及解答




,

个省

,

湖南

,

四川

,

广东

,

江 苏 荣 获 团体 前 六 名

上 海 建 平 中 学张 健
"

安 徽 安 庆 一 中何
"

斯迈
.

,

天 津 耀 华 中 学唐 宁 等
.一

名 管 员入 选 中 国 数 学奥林 匹 充 国 家集 训 队

设 方程
"

所以


,


,

'



'

'
,



,





"

.艺

的系 数 都 是 实 数
.

,

且 适 合 条件
.一

由 条件 可 记 证法 二 今 为 复数 且
,

人二

其中. 由 于 久为 根 所

,
,


〔 一' 已 知 几为 此 方程 的 复 数 根

.

'

'

.



,

引 且适合 条 件 】
许 以 超提供

以 记
.

"

"


.二
" ,


,

" 一

,

,


"一

试证
证法
久一



"

'

,




,


.

.一

,



',



,

由 条 件 可 知 久斗

"

,

考虑






.

,




."

卜 几




,



由以
西

及 》 卜


.


,

,

.

可 知


·



, 一


.一

"






,
"

久一


,

,

二一

且 于是
,

"

,

"一

'




,

西.
… … …
,

,
.

于是

,



'
.








"

"一




"

久十





,
"

其 中右 式 系 数 都 是 非 负 实 数 因 此 ' 二 一 又 十 卜 卜 以
"
·


.一





.

"


.


.







.





,




,



,



.




'

西

.一


"

"





,





口卜


.

"一

一乙
记 夕二
,



十 '




一 口卜

.


"

由假 设 别


"于 ,

所以有



有 .
,

.



.

,刃 一





,





"


.,

,
"




"

沐 '久 川 可 知 这证 明 川 成 而由 假 设 】 七面 不 等 式 变 为 等 式 所 以 因此 以 】 有如 下 辐 角 关 系
,









西 夕 其 中系 数 都 是 非 负 实 数 显 然
.



西.



"

.



,,

'



,

,





,








"

一 '

'
,

,

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.



,




.







.



'



,

右.



'



.

,

'
,

,


·




.一


又 卜
"



, 一





.



所以
簇性





飞一

,


,
'

, 一

,



,


,

.


,

"

.二

所以

.



功. 礴 夕 "
"





.

于是
.一

,

匕 于 ' 召
,

,



因此

,





,





,









"

下 面证乙

,



一 .






,



从而

,



"



,



口 .

导 出矛 盾

设若不然 令 因此 夕 有 夕二 卜 有 而 由西
,
.

,

,

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·


曰 门 曰

,



曰加内幽目肠

'



"







"一

. '

所以
.
. 一

,

. 一

,


且 久
九 记
.十

一 一




十 十

,



〔一
.

又 由条 件 .

. 一



,

故有
"
,

,


,

〕 》

所以


,

几二

又卜
,
,
·

因此 几

.
一 '

"十

'








,

一 .


尸'
吸丫
,

,

山于 一 所以 朴

,
二·
'
· '

生 .或
,



,


, ,




为非 负实 数
,

'二

.

,

· ' '



,,

下了 . 式
'

导 出矛后 因 此 设, 证法
, ,

·


,
'




,



,

,

.







'

.


,



卫生生上 蕊

·



砰 喻子 馨

,





,

,

一 个 排列
'

,

且 '


,

,

〔 …续


,

.

于 是


,

卜 刀 .'

… 工 《

由排 序 不

且 证 等 式 成 立 当且 仅 当




,

等式



苏淳

许 以 超 提供


只要 能证 得

.

证法

所 求不 等式 可 改 写 为




刀 夕


叉 生土兰匕 ' 兄 瓦





.






典一 户





'

三 艺 份子 今












"



'


,

所以

,

只 要证 明对
之乏 之

,

…,
,

,

总有 即可


.










,

竺二



,,
即可


万 二,

'

,

一,


由于


,


.一



.













,






.



, 工

二 兰」 兰 担


' 专匕 卫 旦卫 土







"


















,

,

,

,

终 二二 兰


卜 ,

所以

,




十 工

烈厅 六

·

十 方




"

"

.




匕} 口几



十 ,



,



一 一

尚翼

' 〕"

一 "

'

·

丫 」

们 二 佗廷兰也止
, ,



钱 此

,



.

十 厂












·

这 就 证 明 了 不 等式 成 立 显然
,

气付 补

等 号 成 立 当且 仅 当









,

,

"

·



"
,

又 等 号成 立 当 且 仅 当
万 才弄


,

.一

, ,





, 一

十 工,


,
,



.





, ,



,





·



.一

,









.一





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年第 一期

.一

,

,



,

,


,

,

这证 明
.
.

了今 ,

"





.

"

,



…之

注意

上 面 证 明给 出 了 另 外 一 种 不 等 式

在 平 面上 画 出一 个


的方格表

,



这 些 小 方 格 的每 一 格 中都 任 意 填 入
一 次 变动



下 面 一种 改 变 填 入 数字 的 方 式称 为 作

对任 意 一 个 小 方格
,

,

凡 与此 小 方 不 包 含此 格
,

格 有 一 条公 共边 的 所 有 小 方格 本身

门厂厂口 门 「门曰口日口日口 口口门口口巨口 一 日口日厂 门口口 口口曰曰门曰曰 门 口口口 口 「口 同 「日曰 巨厂厂百 曰 门 「日曰 厂曰曰曰 剑口曰



厂阿厂日日可 阿 曰门门曰同门同 同口 曰下 阅 门 门 同曰曰曰 口 口 闭门 同门口日 门门门 门 门同门 门

一 一 一 一



中的 数 作 连 乘 积

于 是每取 一格
,


解法 容 易 验 证 在 上 列 两对 数表 中
,

,

算 出一个 数

在 所 有小格都 取 遍后
,

再将这

些 算 出 的 数放 入相 应 的小方 格 中 总 可 以经过有限次变 动

试 问是 否

每 对 的 两 个 数表在 规 定 操 作下 是 互 变 的

使 得 所有 小 方 格 中

表 中没 写 数 的 方 格 中均 填 入

由此 可 见

,

的 数都 变 为

并 不 总 是 可 以 经 过 有 限次 变 动 而 使 得 表 中 的
李 成 章供 题 所 有数都是
凸 四边 形

解法

容 易验 证

,

下 列三个 数 表 在 上

内接 于 圆
.

,

对 角线
的外接

铆 麟拒
述 变 动下 都 是 不 变的

与 刀刀 相 交 于
圆 相 交于


,

,


, ,

和 另一 点

且口

三 点两

两不重 合

试证



"

吴 伟 朝供 题

其 中没 写 数 的 格 中都 填 将


证法 连结
,

如图
,

,

方 格 表 的 中 间 一 行 和 中间 一 列 的

,

所 有方格 都 填 入
,

然后在 余 下
方格表

的 四个

中对 称地 填 入 上 面

三 个 数表 中 的 一

,

即 得到 在 规 定
,

操 作下 不 变 的 数表 如 右 图 由此 可见
,

巨曰曰口 口口口回 两巨 日 口口曰曰 口 「口 「 日口曰曰 厂巨口口巨口 口口 刁 阿厂日日厂 「巨巨巨 口 曰 下 不 一 厂 月 门 「「

同同




易知 乙


乙尸












,



,

'

,



卜 一










,





, ,

,

此 题 的 答案
'

,

是 否定 的


于是





,

网 一 曰 门 曰 曰 门 门 门 曰曰日 门 门 门 门门曰口口门 刃 口 厂 日「 日日 「 同 日「 石 厂









厂 日 口 口 日 「曰口口口日 门同口厂门曰曰巨口 厂厂 曰 口口 曰 厂 曰日同口 口厂厂口 厂日 一 习



厂 」口

从而


,

四 点 共圆


.



乙 刀
.
'






乙'
,



乙,

,





口 户以 子
,

艺通 匕







,

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,


一一一 , 一







'



证法
,

如图

,

分 别 是
和 △
.


的外心

必 定 有 四边 形 设 是 有八个顶 点 十 二 条 边 的 简 单 图 下 证 必 有 四边 形 用反 证 法 即 设 , … 没 有四边 形 用 山 表示 的
,

连结 口

并 延 长交
连结
乙 乙



于是
,

八个顶 点 的 度 数
了声 了
, 口

,

"


,

乙 ..
.

一 一

乙 乙
.

.

从而


,

.

,


因而
,



.





故 是

, , ,

同理
平 行 四边 形




的 中点
,



的 中点

,
..






,


,

即乙

在 有 八个 顶 点 的 简单 图 中
形 的 图的边 数 的最大 慎是 多少

没 有 四边

简单 图 是
而 且任 何 两 个

指任 一 点 与 自己 没 有 边 相 连 点之 间 如 果 有边 相 连

,

,

就 只 有 一 条边相 连 的
舒 五 昌供 题


,

右 图 是 有八个

.

顶点 卜 条边 的 简 单 一 图 其 中没 有 四 边 形
,

下面证

即是所要

求 的 最大 值

为此

,




先指 出
月 都 有
,

要证 明有
几个事实

条 边 的 图 中必 有 四 边 形
与点
,
,

设点 边 相连


,



,

,

又 是 与 不 同 的顶 点

,

可 以是
, ,
,

, ,

中点

,

如 果 刀与
,

中 的 两个 点 有边 相 连

则 图 中有 四
,

边形
四 个顶 点的 图 中如 果 有 五 条边



心 的 每 一 个 顶 点 的度 数 都 是 这时 任 取 一个 顶 点 与 有边 相 连 的 顶 点设 为 其 余四个 顶 点 为 刀 刀 刀 刀, 刀' 中点 由 . 与 中点 相连 的边 至 多 只 有 四条 而 中 点相 连 的 边 至 ' 刀, 多只 有一 条 所 以 在 , 一 一 一 这 些 点 中相 连 的 边 至 少 有 可知也 只有四条 条 由 我 们 只考 虑 这 四 个 顶 点 及连 结 它 们 的 四 条 边 这 时 其 中必 有 某 一 顶 点 的度 数 是 工 如 这 四 个 点 度 数都 是 就 成为 一 个 四 边 形 从 而 有顶 ' 刀 即 度 数为 中 必 点 有 一 点 不 妨设 为 与 共它 三 点 , 刀 都 有边 相 连 刀 丑' 中的 而 , ' 点与 中的 点 相 连 的 边 数 为 , , 必与 中某 一 点 有 边 的 度 数将 是 相连 这 样 在 图 中 与假设 矛 盾 王 . 二 … 第二种情 况 取 一 个度 数 为 的顶 点 设 与 有边 相 连 的 顶 点为 共余 三 个 顶 点 为 , ' , 刀 刀 刀. 由 中 的 . 点 相 连 的边 至 多 是 条 把 ' 中 点 相 连 的边 至 中点 与 , 刀. 多是 条 而 中的 点相连 的 边 显 然 至 多是 条 由 子 总 的 边 数是 条 因此 上 述 的 各种边 数 恰 为 于是 ' . 中点 相 连 的边 有 条 ' 及 不 妨设 为 且 这 两 条边 不 会 有公 丑 共 顶 点 否 则 将 出现 四 边 形 ' , 每一 点都与 中 中某 刀 刀 .都 是 一 点 有边 相 连 , . 中 的边 由 于 都与 ' 中某 一 点 相 连 因 此 至 少 有 两 个 ' 工 点与 或 某一 点 相
, ,
,
,

第一种 情 况

,

,


, ,

,

,

,

,

由于



,



,

,



,

· ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

.

,

,

,

,

,

,

'

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

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年第




,
,



中有两 点 与 中 点有边 相 连 这 时 如 , 果刀 都 与 同一 点 设 为 相 连 四边 形 如果 与 是个 则 因为 中不 同 的 点 分 别 有边 相 连 , , 都 是 边 仍 有 四 边 形 与假 设
,

不 妨设
,

,

以 下 对所 要结 果 给出两种证 法 证法 和
,
,

.

,




知 存 在非负整 数 使得 从而
,

,

,

,

,

,

都 是完 全 平 方 数


十 十
,

,

,

,

,









,

所 以 是偶 数 令
,

矛盾

.



,


.



"

' 一
.

" 凡

第三种 情 况 一 个 度 数最 大 的 顶 点
点集 记 为
, ,

… 取 有边 相 连 的 顶 其 余 顶 点集 记 为
, ,
,

.

.

,


,

" 可 以证 明 . 一 几
,

从而
,

,

二 一


几 寺
,

,

,

,



事 实上
,

反设
,


,

.



, ,



它 的 不 同约 数 只 有 有 限 多 个
由通 项 公 式 可 知

鱿 少个 数 设 为
.

的点与


咋 的 点相 连 的 边 数 至 多 有
,

存在

.

使得当
,





,

条 中 点 相 连 的 边 数 至 多 有 日气

中 这样
,

数列

,
.,

.

严格单增

由假 设

存 在

使得
,

点相 连 的 边 数 至 多 有
图 中的 边 数 不 超 过

〔 〕 鲁

'
·



·


,
,

,

,

,

, … 二

其中

是非 负整数
由此 可 知




,
"

.

,

… 无

,


,

气十
.

,

,
,



〔 〕 粤
,





.一








,

"

无一
,


,


.

,

,



,,



,


,

综 上 所述

都 不 可 能 使边 数 为 即 知 所 求 的最 大 值 为
.,
,

己 知 整 数列

, ,
'

,

·

满足

在 且
.

证法 . 使得 当
,

矛盾 " 于 . 时 数列
廷二 ,

乙,
.

从而存 , 严格单增
,

.








,

' 卜 互,









.



,

'

,



,

. 对 任 意 自然 数 在 数列 十 , … 中必 有相继 的 项 都 是完 全 平方数 . , … 的 所 有 页都 是 求证 戈
,
, , ,

于是
,

,








.

矛 乙


.







,


一 此
'


, .
,


,
.,



,

,

,





,

,



使得 当 " ,
,

,' ,

,

,

,

完全 卜 数 方
黄 玉 氏提 供



侧" 用假 设
,

,

训" 易 知 存 在 无》 "
,



使 得" 和 由通 项 公
,

,

证明


.


.


.
.一

,

对任 何

, ,












.



, ,
.

… 则
,

侧 云 丁一 侧 砚 二 石 式可得
. ,

都是完 全 平方数 所 以 记侧砚二

.

',

.






.一










"

,

"

,



导 布己
"
.







.二

所以

,

,

所以
于是

,

" ,



"



"


" 工, "
,

"




,

.





,'

,

用 归 纳 法 易证 数 列

" .,





,

二 '" "

,

,

,



,

的 所 有项 都 是 完 全 平方 数
中 国 数 学 奥 林 匹 克 委 员会 命 题 纽 提 供

共渺

"

一 " .一

,

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