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上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:空间几何体 Word版含答案

时间:2014-02-28


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

A. 6 【答案】D

B. 8 )

C. 16

D. 24

2.下列向量中不垂直的一组是( A. (3, 4, 0) , (0, 0, 5) C. (?2, 1, 2) , (4, ? 6, 7)

B. (6, 0, 12) , (6, ? 5, 7) D. (3, 1, 3) ,

(1, 0, ? 1)
【答案】B 3.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 【答案】D 4.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C

? ? 5.一条直线与一个平面所成的角等于 3 ,另一直线与这个平面所成的角是 6 。则这两条直线
的位置关系( A.必定相交 【答案】D 6.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点, 则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( A. 90 【答案】C 7.下列说法不正确的 是( .... ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面;
0

) B.平行 C.必定异面 D.不可能平行

) C. 45
0

B. 60

0

D. 30

0

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D 8.正方体的棱长为 4,在正方体内放八个半径为 1 的球,再在这八个球中间放一个小球,则小 球的半径为( A.1 【答案】D 9.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是( ) ) B.2 C.

1 2

D. 3 ? 1

A.27 【答案】B

B.30

C.33

D.36

10.已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 ②若 ③若

m // ? , n // ? , 则m // n; m // ? , n ? ? , 则n ? m; m ? ? , m // ? , 则? ? ? .
) B.1 C .2 D.3

其中真命题的个数是( A.0 【答案】C

11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,底面边长为 2 的等腰三角形, 那么原平面图形的面积是( A. )

0

2? 2

B.

4 2

C. 2

2

D.

2

【答案】C 12. 已知直线 l ⊥平面 ? , 直线 m ? 平面? , 给出下列命题: ① ? ∥ ? ? l ? m. ② ? ? ∥m. ③ l ∥m ? ? ? ? ④ l A.①③ 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) . 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.空间直角坐标系中两点 A(0,0,1),B(0,1,0),则线段 AB 的长度为

? ?l

? m ? ? ∥ ? ,其中正确的命题是(
C.②④

)

B.②③④

D.①②③

【答案】 2 14.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积 为 .

【答案】 14? 15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为

【答案】

3

?

16.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个圆,那么这 个几何体的侧面积为

【答案】 4? 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E , F 分别是 AB , BD 的中 点.

(1)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (2)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 , 求三棱锥 B ? ADC 的体积. 【答案】 (1)∵ ∴ EF ∥ AD .

E,F 分别是 AB,BD 的中点,

EF ? BD . ∵ CB ? CD ,∴ CF ? BD . ∵ CF ? EF ? F ,∴ BD ? 面 EFC . ∵ BD ? 面 BDC ,∴平面 EFC ? 平面 BCD . (2) ∵ 面 ABD ? 面 BCD ,且 AD ? BD , ∴ AD ? 面 BCD . 由 BD ? BC ? 1 和 CB ? CD ,得 ?BCD 是正三角形.
所以 S ?BCD ?

又 AD ? BD ,∴

1 3 3 . ? 1? ? 2 2 4 1 3 3 ? ?1 ? 3 4 12
.

所以 VB ? ACD ?

18.如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面△ABC 是等 腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D 是 A A1 的中点.

(Ⅰ)求异面直线 AB 和 C1D 所成的角(用反三角函数表示) ; (Ⅱ)若 E 为 AB 上一点,试确定点 E 在 AB 上的位置,使得 A1E⊥C1D; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点 D 到平面 B1C1E 的距离. 【答案】 (Ⅰ)法一:取 CC1 的中点 F,连接 AF,BF,则 AF∥C1D.

∴∠BAF 为异面直线 AB 与 C1D 所成的角或其补角. ∵△ABC 为等腰直角三角形,AC=2,∴AB= 2 又∵CC1=2,∴AF=BF= 5 . ∵cos∠BAF= 2 ? 10 , 5 5 ∴∠BAF= arccos 10 , 5 即异面直线 AB 与 C1D 所成的角为 arccos 10 .
5

2.

法二:以 C 为坐标原点,CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

则 A(0,2,0) ,B(2,0,0) , C1(0,0,2) ,D(0,2,1) , ∴ AB =(2,-2,0) , C1 D =(0,2,-1) . 由于异面直线 AB 与 C1D 所成的角 为向量 AB 与 C1 D 的夹角或其补角. 设 AB 与 C1 D 的夹角为 ? ,

则 cos ? =

?4 10 =? , 5 2 2? 5
10 , 5

∴ ? = ? ? arccos

即异面直线 AB 与 C1D 所成的角为

arccos

10 . 5

(Ⅱ)法一:过 C1 作 C1M⊥A1B1,垂足为 M,则 M 为 A1B1 的中点,且 C1M⊥平面 AA1B1B.连接 DM. ∴DM 即为 C1D 在平面 AA1B1B 上的射影. 要使得 A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要 A1E⊥DM. ∵AA1=2,AB=2

2,

由计算知,E 为 AB 的中点. 法二:过 E 作 EN⊥AC,垂足为 N,则 EN⊥平面 AA1C1C.连接 A1N. ∴A1N 即为 A1E 在平面 AA1C1C 上的射影. 要使得 A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要 A1N⊥C1D. ∵四边形 AA1C1C 为正方形, ∴N 为 AC 的中点, ∴E 点为 AB 的中点. 法三:以 C 为坐标原点,CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

则 A1(0,2,2) ,B(2,0,0) , C1(0,0,2) , 要使得 A1E⊥C1D, D(0,2,1) , 设 E 点的坐标为(x,y,0),

只要 A1 E · C1 D =0, ∵ A1 E =(x,y-2,-2) ,

C1 D =(0,2,-1) ,
∴y=1. 又∵点 E 在 AB 上, ∴ AE ∥ AB .∴x=1. ∴E 点为 AB 的中点. (Ⅲ)法一:取 AC 中点 N,连接 EN,C1N,

则 EN∥B1C1. ∵B1C1⊥平面 AA1C1C, ∴面 B1C1NE⊥平面 AA1C1C. 过点 D 作 DH⊥C1N,垂足为 H, 则 DH⊥平面 B1C1NE, ∴DH 的长度即为点 D 到 平面 B1C1E 的距离. 在正方形 AA1C1C 中,由计算知 DH=

3 5 , 5

即点 D 到平面 B1C1E 的 距离为 法二:连接 DE,DB1.

3 5 . 5

在三棱锥 D—B1C1E 中,点 C1 到平面 DB1E 的距离 为

2 ,B1E= 6 ,DE= 3 ,
3 2 , 2

又 B1E⊥DE,∴△DB1E 的面积为

∴三棱锥 C1—DB1E 的体积为 1. 设点 D 到平面 B1C1E 的距离为 d,在△B1C1E 中,B1C1=2,B1E= C1E= 6 , ∴△B1C1E 的面积为 5 .由

1 ? d ? 5 ? 1, 3

得 d=

3 5 3 5 ,即点 D 到平面 B1C1E 的距离为 . 5 5
? ?

19.如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , , AB ? BD ? 2CD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙) 设点 E 为棱 AD 的中点. (1)求证: DC ? 平面 ABC ;(2)求 BE 与平面 ABC 所成角的正弦值大小.
A

A

E
D B

D
C 甲 图甲在

B C
图乙 ?
?

【答案】 (1) ? AB ? BD , ?A ? 45 又 ? 平面 ABD ? 平面 BDC 平面 ABD ? 平面 BDC ? BD AB ? 平面 ABD ? AB ? 平面 BDC ? AB ? DC 又 DC ? BC ? DC ? 平面 ABC

? AB ? BD

(2)取 AC 中点 F,连结 EF,BF.

? E 为 AD 中点,? EF // DC ?EF ? 平面 ABC ? BF 为 BE 在平面 ABC 中的射影 ??EBF 为 BE 与平面 ABC 所成角.
令 AB= a ,则 EF ?

2a 1 a DC ? , BE ? 2 2 4

? sin EBF ?

EF 2 ? BE 4

2 . 4 20.在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角

? BE 与平面 ABC 所成角的正弦值为

梯形, AB // CD , ?ADC =90° AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .

(1)求证: BC ? 平面 PBD ; (2)设 E 为侧棱 PC 上一点, PE

??? ?

??? ? ? ? PC ,试确定 ? 的

值,使得二面角 E ? BD ? P 的大小为 45°. 【答案】 (1)平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz.

则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) , P(0,0,1)

DB ? (1,1,0), BC ? (?1,1,0).

所以

BC ? DB ? 0, BC ? DB,

又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD. (2)平面 PBD 的法向量为 BC

? (?1,1,0),

PC ? (0,2,?1), PE ? ? PC , ? ? (0,1) ,所以 E (0,2? ,1 ? ? ) 设平面 QBD 的法向量为 n=(a,b,
c) , DB

? (1,1,0), DE ? (0,2? ,1 ? ? ) 由 n ? DB ? 0 ,n ? DQ ? 0 ,得 所以,

?a ? b ? 0 ? 2? ), ? n ? (?1,1, ? ? ?1 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0 ? ? ? n ? BC 由 cos ? ? ? 解得 ? ? 2 ? 1 4 n BC
21.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2

(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)设 PM=t MC,若二面角 M-BQ-C 的平面角的大小为 30°,试确定 t 的值. 【答案】 (I)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,

∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC= ∵ ∠ADC=90°

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . 2
∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∴∠AQB=90°.

∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD.

∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.

则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ;

?

Q(0,0,0) , P(0, 0, 3) ,

B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .
设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , ∵ PM

???? ?

???? ?

???? ?

???? ? ? tMC ,
t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?
???? ? t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .

??? ?

??

? ?? n ?m t 3 ? ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, cos30 ? ? ?? ? , ? 2 n m 3 ? 0 ? t2


t ? 3.
(1)求证:B1C//平面 A1BD; (2)求证:平面 A1BD⊥平面 ACC1A1;

22.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB,D 是 AC 的中点。

(3)求二面角 A—A1B—D 的余弦值。

【答案】 (1)证明:连 AB1 交 A1 B 于点 E ,连 DE .

则 E 是 AB1 的中点, ∵ D 是 AC 的中点,∴ DE // B1C ∵ DE ? 平面 A1BD , B1C (2)

? 平面 A1BD ,∴ B1C ∥平面 A1BD .

(3)法一:设 AA1 ? 2a ,∵ AA 1 作 AF

? AB ,∴ AE ? BA1 ,且 AE ? 2a ,

? A1D ,连 EF ? BA1

∵平面 A1BD ⊥平面 ACC1 A1 ,∴ AF ? 平面 A1BD ,∴ EF

∴ ?AEF 就是二面角 A ? A1B ? D 的平面角, 在 ?A1 AD 中, AF ?

2 a, 5
4 6 AE 2 ? AF 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 5 5

在 ?AEF 中, EF ?

cos ?AEF ?

EF ? AE

6 a 5 ? 15 ,即二面角 A ? A B ? D 的余弦值是 15 . 1 5 5 2a

解法二:如图,建立空间直角坐标系.

则 D(0,0,0) , B(0, 3a, 0) , A(?a, 0, 0) , A1 (?a, 0, 2a) ∴ AA1

????

???? ? ??? ? ??? ? ? (0, 0, 2a) , AB ? (a, 3a, 0) , DA1 ? (?a, 0, 2a ) , DB ? (0, 3a, 0)

设平面 A1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z ) ,则 由?

? ?m ? DA1 ? ? x ? 2 z ? 0 ? ?m ? DB ? 3 y ? 0

,取 m ? ( 2,0,1)

设平面 AA 1 B 的法向量是 n ? ( x, y , z ) ,则 由?

? ?n ? AB ? x ? 3 y ? 0 ? ?n ? AA1 ? 2 z ? 0

,取 n ? ( 3 ,?1,0)

?? ? m?n 2 3 15 ? 记二面角 A ? A1B ? D 的大小是 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? , 5 | m || n | 2 5
即二面角 A ? A1B ? D 的余弦值是

15 . 5


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