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2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10平面向量)

时间:2013-05-06


2009 年高考数学试题分类选编

北大附中广州实验学校

王 生

2009 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 (10 平面向量)
一、选择题: 1.(2009 北京文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

1. 【答案】D 【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. ∵a ,b ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B.

? ?1,0 ?

? ? 0,1?

? ?1,1?

,d ? a ? b

? ?1, ?1?



? ? ?1,1? ? ? ? ?1,1? 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ,d ? ? a ? b ,
即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 2.(2009 北京理)已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 2. 【解析】本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B.

若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D.

3. (2009 福建理)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线, a ? c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 以 a,b 为两边的三角形面积 B 以 b,c 为两边的三角形面积 C.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 3.[解析]依题意可得 b ? c ? b ? c ? cos(b, c) ? b ? a ? sin(a, c) ? S ? 故选 C.

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w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

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4. (2009 福建文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ? c
? ?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于
? ?

? ?

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C. a , b 为两边的三角形面积
? ? ? ?

B. 以 b , c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积
? ? ? ? ?

4. 解析 假设 a 与 b 的夹角为 ? , b ? c ∣=︱ b ︱· c ︱· ∣ ︱ ∣cos< b ,c >∣=︱ b ︱· ︱
?

a ︱?∣cos(90 0 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平行四边形的面积,故选 A。

?

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2009 年高考数学试题分类选编

北大附中广州实验学校

王 生

5. (2009 广东文)已知平面向量 a =(x,1), b =(—x,x2 ),则向量 a ? b A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C. 平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5.解: a ? b ? (0,1 ? x 2 ) ,故答 C。

6.(2009 广东理)一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知

F1 , F2 成 60 0 角,且 F1 , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为
A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7

6.解:依题意,可知 F1 ? F2 ? F3 ? 0 ,所以 F3 ? ?( F1 ? F2 ) ,

F3 ? F1 ? F2

2

2

? ( F1 ? F2 ) 2 ? F1 ? F2 ? 2 F1 ? F2 cos60o = 2 2 ? 4 2 ? 2 ? 2 ? 4 ?
28 ? 2 7 , 答 D。
A F1 C F3 O F2 B

2

2

1 =28. 2

所以,力 F3 的大小为 F3 ?

6.解法 2. D.结合向量的平行四边形法则,易知 F3 的大小即 行四边形对角线 OD 的长度,根据余弦定理,可得

平 D 从

OD2 ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4cos120 ? ? 28 ,故 OD ? 2 7 ,
而选 D.

7.(2009 海南、宁夏文)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

7. 【解析】向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有(-3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ?

1 ,故选.A。 7

8. (2009 海南、 宁夏理)已知 O, P 在 ?ABC 所在平面内, OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , N, 且 且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

由 由 8. 解析: OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ;

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,? CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
9. (2009 湖北文)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 9. 【解析】由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B
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?

?

?

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王 生

10、(2009 湖北理)已知 P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ?{b | b ? (1,1) ? n( ? 1,1), n ? R 是两个 } 向量集合,则 P I Q ? A.〔1,1〕 { } B. { 〔-1,1〕 } C. { 〔1,0〕 } D. { 〔0,1〕 } 10. 【解析】因为 a ? (1, m)

?

? b ? (1? n,1? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.

11.(2009 湖南文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则【 A 】

???? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? ? B. BD ? CF ? DF ? 0 ???? ??? ??? ? ? ? C. AD ? CE ? CF ? 0 ??? ??? ??? ? ? ? ? D. BD ? BE ? FC ? 0
A. AD ? BE ? CF ? 0

A D B
图1

F C

E

? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ??? ? 11.解: ? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC, 得 AD ? BE ? CF ? 0 ,故选 A. ???? ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 .
12.(2009 辽宁文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12
0

12. 【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B

13. (2009 辽宁理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

13. 【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B

14. (2009 全国Ⅰ文)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? (A)150° (B)120° (C)60° (D)30° 14. 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解:由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处的对角线 长等于菱形的边长,故选择 B。

15. (2009 全国Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为

( D

)

(D) 1 ? 2

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2009 年高考数学试题分类选编 15.

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? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ?? ? a ? c ? b ? c ? a? ? (a ? b)? ? c b c 解: ? a, b, c 是单位向量 ? ? ? ? ?? ? 1? | a ? b |? c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 故选 D. |

王 生
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

?

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?

16. (2009 全国Ⅱ文\理) 已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= (A) 5 (B) 10 (C)5 (D)25

16. 解:?50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a? ? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ? b |? 5 。故选 C b |

? ?

?

??

?

?

?

17. (2009 山东文、理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则(

??? ??? ? ? ? A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ? ? B. PB ? PC ? 0 ??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? C. PC ? PA ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

) B

17.【解析】:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B. 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, A 可以借助图形解答。 P 第 8 题图
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

??? ??? ? ?

C

18. (2009 陕西文、理)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2PM ,则

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? PA ? (PB ? PC) 等于 4 4 (A) (B) 9 3
??? ? ???? ?



科网

(C) ?

4 3

(D) ?

4 9

18. 解析:由 AP ? 2PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法, PB ? PC ? 2PM 则

??? ??? ? ?

???? ?

??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2 1 4 AP ? ( PB ? PC) = 2 AP ? PM =2 AP PM cos0? ? 2 ? ? ?1 ? 3 3 9

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

故选 A

19.(2009 浙江文)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? ( ) A. ( , )

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

19.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查, 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 【解析】不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b ,则有

??

? ?

? ?

?

? ?

?

?

? ? ? 7 7 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? 9 3

?

?

20.(2009 浙江理)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构 成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

20. 答案:C 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置 稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现.

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王 生


21.(2009 重庆文)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 B.0 C.1 D.2 21. 【答案】D 解法 1 因为 a ? (1,1), b ? (2, x) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2), 由于 a ? b 与

4b ? 2a 平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 解法 2 因为 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则存在常数 ? ,使 a ? b ? ? (4b ? 2a) ,即 (2? ? 1)a ? (4? ?1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2 。
22.(2009 重庆理)已知 a ? 1, b ? 6, a? b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( ( A.



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

22.【答案】C 【解析】因为由条件得 a ? b ? a2 ? 2, 所以a ? b ? 2 ? a 2 ? 3 ? a ? b cos ? ? 1? 6 ? cos ? ,

1 ? 所以 cos ? ? ,所以? ? 2 3
二、填空题: 其中 ? , ? ?R ,则 ? + ? = _________。 1. 【解析】设 BC ? b 、 BA ? a 则 AF ?

1.(2009 安徽文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 AC = ? AE + ? AF ,

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ? ? ??? ? 1 ? ??? ? ? b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2 2 4 代入条件得 ? ? u ? ? ? ? u ? 【答案】4/3 3 3 ??? ?

??? ?

?

??? ?

?

??? ??? ? ? o ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.
2. [解析]设 ?AOC ? ?

2. (2009 安徽理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 .如图所示,点 C 在

1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2 ? 0 ∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 6
3.(2009 广东理)若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1, a ? b 平行于 x 轴, b ? (2, ?1) ,则 a ? 3。解:设 a ? ( x, y) ,则 a ? b ? ( x ? 2, y ? 1) ,依题意,得



? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ? x ? ?1 ? x ? ?3 ? ,解得 ? 或? ,所以 a ? (?1,1) 或 a ? (?3,1) 。 ? ?y ?1 ? 0 ?y ? 1 ?y ? 1 ? 答: (?1,1) 或 (?3,1) 。
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??? ? ??? ?

4.(2009 湖南文)如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? xAB ? yAC ,则

??? ?

x?

1?

3 2

,y?

3 . 2

4. 解:作 DF ? AB ,设

AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ? 2 , 6 ? ?DEB ? 60? ,? BD ? , 2
由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2
o

5. (2009 江苏)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,a |? 2,| b |? 3 , 则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = ▲。 | 5. 【解析】 考查数量积的运算。

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? 3 a ? b ? 2 ? 3? ? 3 2

6.(2009 江西理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k = 6. 答案: 5 【解析】

?

?

?

? ?

?



3 ? k ?6 ? ?k ?5 1 3

7.(2009 江西文)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 (a ? c) ? b 则 k = 7. 答案: 0 【解析】因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0 .

?

?

?

? ?

?



? ?

8. (2009 辽宁文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B (6,8) ,C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 8. 【解析】平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC ???? ??? ???? ??? ? ? ∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 【答案】 (0,-2)
??? ???? ? ??? ???? ?

9.(2009 四川文)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ?V ,记 a 的象为

f (a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ? V 及任意实数 ? , ? 都有 f (? a ? ?b) ? ? f (a) ? ? f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。
其中的真命题是 9. 【答案】①③④
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(写出所有真命题的编号)

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【解析】①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题 同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换,故③是
真命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e ∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,突出创新 能力和数学阅读能力,具有选拔性质。

10.(2009 四川理)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ?V ,记 a 的象为

f (a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a, b ?V 及任意实数 ? , ? 都有
f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换,则 f (0) ? 0
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

②对 a ? V 设 f (a ) ? 2a ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

③若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ? V 设 f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a, b ? V ,若 a, b 共线,则 f (a), f (b) 也共线。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 10. 【考点定位】本小题考查新定义,创新题。 解析:令 a ? b ? 0, ? ? ? ? 1 ,由题有 f (0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 ,故①正确; 由题 f (? a ? ? b) ? 2(? a ? ? b) , ?f (a) ? ?f (b) ? 2? a ? 2? b ? 2(? a ? ? b) ,即

f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,故②正确;
由题 f (? a ? ?b) ? ? a ? ?b ? e , ?f (a) ? ?f (b) ? ? a ? e ? ?b ? e ,即

f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,故③不正确;
由题 b ? 故④正确; 即 ? a , f (0) ? f (a ? ? b) ? f (a) ? ?f (b) ? 0 ? f (a) ? ?f (b) , f (a), f (b) 也共线,

11. (2009 天津文)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

?

1 ? 2 ? CB ? CA ,则 6 3

MA? MB ? ________.
11. 【答案】-2 【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0), A(2 3,0), B( 3,3) 这样利用向量关系式,求得 M (
? 3 3 1 3 1 ? 3 5 , ) ,然后求得 MA ? ( ,? ), MB ? (? ,? ) ,运用数量 2 2 2 2 2 2

?

?

积公式解得为-2. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。 考查了基本知识的综合运用能力。

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12. (2009 天津理)在四边形 ABCD 中, AB = DC =(1,1) , 则四边形 ABCD 的面积是 12. 【考点定位】本小题考查向量的几何运算,基础题。

??? ???? ?

? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? B ? B? D ??? B ? ???C ? A ? ??? , B A B C B D

解析:由题知四边形 ABCD 是菱形,其边长为 2 ,且对角线 BD 等于边长的 3 倍,所以

cos ABD ?

3 3 1 2 , SABCD ? ( 2 ) ? ? 3。 ? ? ,故 sin ABD ? 2 2 2 2? 2 ? 2

2? 2?6

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