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2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题及参考答案

时间:2017-06-09


高三(第三份)
第Ⅰ卷
一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)复数

2 的虚部是 1? i

(A) ?2

(2)已知集合 x x ? ax ? 0 ? ?0,1? ,则实数 a 的值为
2

?

(B) ?1

(C) 1

(D) 2

?

(A) ?1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(3)已知 tan ? ? 2 ,且 ? ? ? 0, (A)

? ?

?? ? ,则 cos 2? ? 2?
(C) ?

开始

4 5

(B)

3 5

3 5

(D) ?

4 5

输入 n

(4)阅读如图的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

k ?0
=3 k=k+1

(5)已知函数 f ? x ? ? ? (A)

?2 x ?1 ,

x ? 0, 则 f ? f ?3? ? ? ?1 ? log 2 x, x ? 0,
(B)

n ? 3n ? 1

4 3

2 3

(C) ?

4 3

(D) ?3



n ? 150 ?
是 输出 k ,n

(6)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F1 , F2 分别 a2 4

是双曲线 C 的左, 右焦点, 点 P 在双曲线 C 上, 且 PF 1 ? 2 , 则 PF2 等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 结束

(7)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的 硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没 有相邻的两个人站起来的概率为 (A)

1 4

(B)

7 16

(C)

1 2

(D)

9 16

(8)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图, 且该几何体的体积为

8 , 则该几何体的俯视图可以是 3
1

(A)

(B)

(C)

(D)

(9)设函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ,若曲线 y ? f ? x ? 在点 P x0 , f ? x0 ? 处的切线方程为

?

?

x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为
(A)

? 0,0 ?

(B) ?1, ?1?

(C)

? ?1,1?

(D) ?1, ?1? 或 ? ?1,1?

(10) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥 P ? ABC 为鳖臑, PA ⊥平面 ABC ,

P A? A B ? 2 , AC ? 4 ,三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上, 则球 O 的表面
积为 (A) 8? (B) 12? (C) 20? (D) 24? (11)已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? ? ? 是奇函数,直线

y ? 2 与函数 f ? x ? 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
(A) f ? x ? 在 ? 0, (C) f ? x ? 在 ? 0,

? ,则 2

? ?

?? ? 上单调递减 4? ?? ? 上单调递增 4?

(B) f ? x ? 在 ? (D) f ? x ? 在 ?

? ? 3? ? , ? 上单调递减 ?8 8 ? ? ? 3? ? , ? 上单调递增 ?8 8 ?

? ?

(12)已知函数 f ? x ? ? (A) 2016

2016 x ? ?1 ? ? ? k ? ? cos ? x ? ?, 则? f ? ? 的值为 2x ?1 2 ? ? ? 2017 ? k ?1

(B) 1008

(C) 504

(D) 0

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个考生都必须作答。第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本小题共 4 题,每小题 5 分。 (13)已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, ?1? ,若 a ∥ (a ? b) ,则 a ? b ? .

2 (14)若一个圆的圆心是抛物线 x ? 4 y 的焦点,且该圆与直线 y ? x ? 3 相切,则该圆的

标准方程是 (15)满足不等式组 ?

.

?? x ? y ? 1?? x ? y ? 3? ? 0, 的点 ? x, y ? 组成的图形的面积是 5 ,则实数 ?0 ? x ? a
.

a 的值为

? (16) 在△ ABC 中, ?ACB ? 60 , BC ? 1, AC ? AB ?

1 , 当△ ABC 的周长最短时, BC 2

的长是

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N*) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 {S n } 的前 n 项和 Tn .

3

(18) (本小题满分 12 分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产 品的甲, 乙两条流水线的生产情况, 随机地从这两条流水线上生产的大量 产品中各抽取 .. 50 件产品作为样本, 测出它们的这一项质量指标值. 若该项质量指标值落在 ?195, 210? 内,则为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本的频数分布表,图 1 是乙流水 线样本的频率分布直方图. 质量指标值 (190,195] (195,200] (200,205] (205,210] (210,215] 频数 9 10 17 8 6
图 1:乙流水线样本频率分布直方图

表 1:甲流水线样本的频数分布表

(Ⅰ)根据图1,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数; (Ⅱ)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了 5000 件产品,则甲,乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件? (Ⅲ)根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”? 甲生产线 合格品 不合格品 合计 乙生产线 合计

n ? ad ? bc ? 附: K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) ? a ? b ?? c ? d ??a ? c ??b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

4

(19) (本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , AB ⊥ BC , BD ⊥ DC , 点 E 是 BC 边的 中点, 将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面 BCD ,连接 AE , AC , DE , 得到如 图 2 所示的几何体. (Ⅰ)求证: AB ⊥平面 ADC ; (Ⅱ) 若 AD ? 1, AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 6 , 求点 B 到平面

ADE 的距离.

A

A

D
D

B

E

C

B

E

C

图1

图2

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 , 且过点 A ? 2,1? . ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 P, Q 是椭圆 C 上的两个动点,且使 ?PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 试判断直线 PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.

5

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ? a ? 0? . x

(Ⅰ) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当 a ?

2 时, f ? x ? ? e? x . e

6

请考生在第 22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? t, (t 为参数 ) . 在以坐标原点为极点, ? y ? 1? t

?? ? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C : ? ? 2 2 cos ? ? ? ? . 4? ?
(Ⅰ) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ?1 ? x ? 2a . (Ⅰ) 若 f ?1? ? 3 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 a ? 1, x ? R , 求证: f ? x ? ? 2 .

7

Answer
一、选择题 (1)B (7)B 二、填空题 (13) ? 三、解答题 (17) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ,即 a1 ? 2a1 ? 2 , ………………………………………1 分 解得 a1 ? 2 . ………………………………………………………2 分 (2)A (8)C (3)C (9)D (4)B (10)C (5)A (11)D (6)C (12)B

5 2

(14) x ? ? y ? 1? ? 2
2 2

(15) 3

(16) 1 ?

2 2

当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 2) ? (2an ?1 ? 2) ? 2an ? 2an ?1 , ………………3 分 即 an ? 2an?1 , ………………………………………………………4 分

所以数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.……………………………………5 分 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N*) . (Ⅱ) 因为 S n ? 2an ? 2 ? 2
n ?1

………………………………………………6 分 ………………………………………………8 分 ………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分

? 2,

所以 Tn ? S1 ? S2 ???? ? Sn

? 22 ? 23 ? ??? ? 2n?1 ? 2n

?

4 ? ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n

………………………………………………11 分

? 2n?2 ? 4 ? 2n .

………………………………………………12 分

(18) 解: (Ⅰ)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为 x ,因为

0.48 ? ? 0 . 0? 12

0 .? 032 ? 0 ?. 0 ? 52

5 ??

0.5? 0.01 ?2

, 0 .0 ? 07 36 0? . 00 5 ? .2 860. ?2 5

………………………………………1 分 则 ? 0.012 ? 0.032 ? 0.052? ? 5 ? 0.076 ? ? x ? 205? ? 0.5, ……………………………3 分 解得 x ?

3900 . 19

………………………………………4 分

(Ⅱ)由甲,乙两条流水线各抽取的 50 件产品可得,甲流水线生产的不合格品有 15 件,
8

15 3 ? , ………………………5 分 50 10 1 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 P , ………6 分 乙 ? ? 0.012 ? 0.028 ? ? 5 ? 5
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P 甲 ? 于是,若某个月内甲,乙两条流水线均生产了 5000 件产品,则甲,乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为:

5000 ?
(Ⅲ) 2 ? 2 列联表:

3 1 =1500,5000 ? =1000 . 10 5
甲生产线 乙生产线 40 10 50

…………………………8 分

合计 75 25 100 …………………………10 分

合格品 不合格品 合计
2

35 15 50

100 ? ? 350 ? 600 ? 4 ? ? 1.3 , 则K ? 50 ? 50 ? 75 ? 25 3
2

……………………………………………11 分

因为 1.3 ? 2.072, 所以没有 85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲, 乙两条流水线 的选择有关”. ……………………………………………………12 分 (19) 解: (Ⅰ) 因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD ? BD , 又 BD ⊥ DC , 所以 DC ⊥平面 ABD . …………………………………1 分 因为 AB ? 平面 ABD , 所以 DC ⊥ AB …………………………………2 分 又因为折叠前后均有 AD ⊥ AB ,DC ∩ AD ? D , …………………………………3 分 所以 AB ⊥平面 ADC . …………………………………4 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 DC ⊥平面 ABD ,所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD , 即∠ CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角. ……………………………5 分

CD ? 6, AD 因为 AD ? 1, 所以 CD ? 6 . …………………………6 分
依题意 tan ?CAD ? 设 AB ? x ? x ? 0? ,则 BD ?

A

D

x2 ?1 ,
AB DC ? , AD BD
B E ……………………………… 7分 C

因为△ ABD ~△ BDC ,所以 即

x ? 1

6 x2 ?1



解得 x ?

………………………………8 分 2 ,故 AB ? 2, BD ? 3, BC ? 3 . AB AB E ADC AC BC 由于 ⊥平面 , ⊥ , 为 的中点, BC 3 ? , 由平面几何知识得 AE ? 2 2 BC 3 ? , 同理 DE ? 2 2
9

所以 SD ADE

1 = 创 1 2

骣 3鼢 骣 1 珑 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 2 2

2

2

=

2 . 2

…………………………9 分

因为 DC ⊥平面 ABD , 所以 V A? BCD ? 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d , 则 d ? S ADE ? VB ? ADE ? V A? BDE ? 所以 d ? (20) 解: (Ⅰ) 因为椭圆 C 的离心率为

1 3 . ………………………10 分 CD ? S ABD ? 3 3

1 3

1 3 , V A? BCD ? 2 6

…………………………11 分

6 6 即点 B 到平面 ADE 的距离为 . , 2 2
3 , 且过点 A ? 2,1? , 2

…………………………12 分

所以

4 1 ? ? 1, a 2 b2

c 3 . ? a 2

………………………………………………2 分

因为 a 2 ? b2 ? c2 , 解得 a 2 ? 8 , b2 ? 2 , 所以椭圆 C 的方程为

………………………………………………3 分 ……………………………………………4 分

x2 y 2 ? ? 1. 8 2

(Ⅱ)法 1:因为 ?PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x ? 2 对 称. 设直线 PA 的斜率为 k , 则直线 AQ 的斜率为 ? k . ………………………………5 分 所以直线 PA 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? ,直线 AQ 的方程为 y ?1 ? ?k ? x ? 2? . 设点 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ ,

?

?

由 ? x2

? y ?1 ? k ? x ? 2? , ? 消去 y ,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? ?16k 2 ? 8k ? x ? 16k 2 ? 16k ? 4 ? 0 . ① y2 ? 1, ? ? 2 ?8
16k 2 ? 16k ? 4 , 1 ? 4k 2

因为点 A ? 2,1? 在椭圆 C 上, 所以 x ? 2 是方程①的一个根, 则 2 xP ?

……………………………………………6 分 所以 xP ?

8k 2 ? 8k ? 2 . 1 ? 4k 2

……………………………………………7 分

同理 xQ ?

8k 2 ? 8k ? 2 . 1 ? 4k 2

……………………………………………8 分

10

所以 xP ? xQ ? ?

16k . 1 ? 4k 2

……………………………………………9 分

又 yP ? yQ ? k xP ? xQ ? 4 ? ? 所以直线 PQ 的斜率为 kPQ ?

?

?

8k . ……………………………………………10 分 1 ? 4k 2

yP ? yQ xP ? xQ

?

1 . …………………………………………11 分 2
……………………………………………12 分

所以直线 PQ 的斜率为定值, 该值为 法 2:设点 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则直线 PA 的斜率 k PA ?

1 . 2

y1 ? 1 y ?1 , 直线 QA 的斜率 kQA ? 2 . x1 ? 2 x2 ? 2

因为 ?PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x ? 2 对称. 所以 kPA ? ?kQA , 即

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 0 , ① ………………………………………5 分 x1 ? 2 x2 ? 2

因为点 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 在椭圆 C 上,

所以

x12 y12 ? ? 1 ,② 8 2
2 x2 y2 ? 2 ? 1. ③ 8 2

2 2 由②得 x1 ? 4 ? 4 y1 ? 1 ? 0 , 得

?

? ?

?

y1 ? 1 x ?2 , ④ ………………………6 分 ?? 1 x1 ? 2 4 ? y1 ? 1?
………………………………………………7 分

同理由③得

y2 ? 1 x ?2 , ⑤ ?? 2 x2 ? 2 4 ? y2 ? 1? x1 ? 2 x ?2 ? 2 ? 0, 4 ? y1 ? 1? 4 ? y2 ? 1?

由①④⑤得

化简得 x1 y2 ? x2 y1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0 , ⑥ 由①得 x1 y2 ? x2 y1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0 , ⑦ ⑥ ? ⑦得 x1 ? x2 ? ?2 ? y1 ? y2 ? . ② ? ③得

……………………………8 分 ……………………………9 分

…………………………………………10 分

2 2 x12 ? x2 y 2 ? y2 y ?y x ?x 1 ? 1 ? 0 ,得 1 2 ? ? 1 2 ? . …………………11 分 8 2 x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2

11

所以直线 PQ 的斜率为 k PQ ?

y1 ? y2 1 ? 为定值. …………………………………12 分 x1 ? x2 2

法 3:设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? b ,点 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b , 直线 PA 的斜率 k PA ?

y1 ? 1 y ?1 , 直线 QA 的斜率 kQA ? 2 . ………………………5 分 x1 ? 2 x2 ? 2

因为 ?PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x ? 2 对称. 所以 kPA ? ?kQA , 即

y1 ? 1 y ?1 , ?? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

……………………………………………6 分

化简得 x1 y2 ? x2 y1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0 . 把 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b 代入上式, 并化简得

2k x ?1 ? 2 ?? k 1 x 2? ? b

1

. 0 (*) x? ?2x ?4 b ?4 ?

…………………………………7 分

? y ? kx ? b, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? 4k ? 1? x ? 8kbx ? 4b ? 8 ? 0 , (**) ? 1, ? ? 2 ?8
则 x1 ? x2 ? ?

8kb 4b2 ? 8 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

……………………………………………8 分

2k ? 4b2 ? 8? 8kb ? b ? 1 ? 2k ? 代入(*)得 ? ? 4b ? 4 ? 0 , ……………………………9 分 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
整理得 ? 2k ?1?? b ? 2k ?1? ? 0 ,

1 或 b ? 1 ? 2k . ……………………………………………10 分 2 若 b ? 1 ? 2k , 可得方程(**)的一个根为 2 ,不合题意. ………………………………11 分 1 若 k ? 时, 合题意. 2 1 所以直线 PQ 的斜率为定值, 该值为 . ……………………………………………12 分 2
所以 k ? (21) 解: (Ⅰ)法 1: 函数 f ? x ? ? ln x ?

a 的定义域为 ? 0, ??? . x a 1 a x?a 由 f ? x ? ? ln x ? , 得 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x
12

……………………………………1 分

因为 a ? 0 ,则 x ? ? 0, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? a, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减, 在 ? a, ??? 上单调递增. ………………………2 分 当 x ? a 时, ? ? f ? x ?? ? min ? ln a ? 1. 当 ln a ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ? …………………………………………………3 分

1 时, 又 f ?1? ? ln1 ? a ? a ? 0 , 则函数 f ? x ? 有零点. …4 分 e
? 1? . ? e? ?
……………………………………………………5 分

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, 法 2:函数 f ? x ? ? ln x ? 由 f ? x ? ? ln x ?

a 的定义域为 ? 0, ??? . x

a ? 0 , 得 a ? ? x ln x . …………………………………………………1 分 x

令 g ? x ? ? ?x ln x ,则 g? ? x ? ? ? ? ln x ? 1? . 当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 . 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 在 ? , ?? ? 上单调递减. ……………………2 分

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

故x ?

1 1 1 1 ?1? 时, 函数 g ? x ? 取得最大值 g ? ? ? ? ln ? . …………………………3 分 e e e e ?e?
1 a 有零点, 则 0 ? a ? . ………………………………………4 分 e x
? 1? . ? e? ?
…………………………………………………5 分

因而函数 f ? x ? ? ln x ?

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, (Ⅱ) 要证明当 a ?

2 时, f ? x ? ? e? x , e 2 a 即证明当 x ? 0, a ? 时, ln x ? ? e ? x , 即 x ln x ? a ? xe? x .………………………6 分 e x
令 h ? x ? ? x ln x ? a , 则 h? ? x ? ? ln x ?1 . 当0 ? x ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . e e

所以函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增. 当x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, ? h ? x ?? ? ? ? a . ……………………………………………………7 分 ? ? min e e
13

于是,当 a ?

2 1 1 时, h ? x ? ? ? ? a ? . e e e



……………………………………8 分

令 ? ? x ? ? xe? x , 则 ?? ? x ? ? e? x ? xe? x ? e? x ?1 ? x ? . 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减.

1 . e 1 于是, 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? . e
当 x ? 1 时, ? ?? ? x ? ? ? max ? 故当 a ? (22)解: (Ⅰ) 由 ?

……………………………………………………9 分 ② ……………………………………………………10 分 …………………………………11 分

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

2 时, f ? x ? ? e? x . e

……………………………………………………12 分

? x ? 3 ? t, 消去 t 得 x ? y ? 4 ? 0 , ? y ? 1 ? t,

………………………………………1 分 ………………………………………2 分

所以直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 由 ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

? ?? ? ? ? 2 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? , ……3 分 4? 4 4? ?
………………………………………4 分

得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? .

将 ? 2 ? x2 ? y2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y 代入上式, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

………5 分

(Ⅱ) 法 1:设曲线 C 上的点为 P 1 ? 2 cos ? ,1 ? 2 sin ? , ………………………………6 分

?

?

则点 P 到直线 l 的距离为 d ?

1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 4 2 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 2

…………………………7 分

?

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 4? ? ? . ………………………………………8 分 2
当 sin ? ? ?

? ?

??

? ? ?1 时, dmax ? 2 2 , 4?
14

………………………………………9 分

所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .………………………………10 分 法 2: 设与直线 l 平行的直线为 l ? : x ? y ? b ? 0 , 当直线 l ? 与圆 C 相切时, 得 解得 b ? 0 或 b ? ?4 (舍去), 所以直线 l ? 的方程为 x ? y ? 0 . 所以直线 l 与直线 l ? 的距离为 d ? ………………………………………8 分 ………………………………………6 分

1?1? b 2

? 2 , ………………………………………7 分

0?4 2

? 2 2 . …………………………………9 分

所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . ………………………………10 分 (23)解: (Ⅰ) 因为 f ?1? ? 3 ,所以 a ? 1 ? 2a ? 3 . ………………………………………1 分

2 2 ,所以 ? ? a ? 0 ; ……………2 分 3 3 1 1 ② 当 0 ? a ? 时,得 a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ?2 ,所以 0 ? a ? ; ……………3 分 2 2 1 4 1 4 ③ 当 a ? 时,得 a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ,所以 ? a ? ; ……………4 分 2 3 2 3
① 当 a ? 0 时,得 ?a ? ?1 ? 2a ? ? 3 ,解得 a ? ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ? , ? . (Ⅱ) 因为 a ? 1, x ? R , 所以 f ? x ? ? x ? a ? 1 ? x ? 2a ? ? x ? a ? 1? ? ? x ? 2a ? ……………………………7 分

? 2 4? ? 3 3?

………………………………………5 分

? 3a ?1

……………………………………………………………………8 分

? 3a ? 1 ……………………………………………………………………9 分 ? 2. ……………………………………………………………………10 分

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