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河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2013-10-09


2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科试卷)
(满分:150 分,时间:120 分钟)
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z } ,则 A ? B ? ( A. ? 0, 2 ? 2.如果复数 A. ? 1 B. ? 0, 2 ? C. ?0, 2? ) D. 2 ) D. ?0,1, 2? )

m2 ? i 是实数,则实数 m ? ( 1 ? mi
B. 1 C. ? 2

3.焦点为(0,6)且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

A.

x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 B . ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 12 24 12 24 24 12 24 12

4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 , b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为(
A. 60
0

) D. 45
0
2

B. 30

0

C. 150

0

5. 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象 下方的 点构成的区域。在 D 中随机取一点,则该点在 E 中的概率为( A. )

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2
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6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点,则打印的 点落在坐标轴上的个数是( A.0 B. 1 ) C. 2 D. 3

7.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等于(
A.

) D. ?

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

4 9

8. 函数

f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( x ? R ) (? ? 0, ? ? ) 的部分图像如图
2

?

所示,如果 x1 , x 2 ? (? 则

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 6 3
? 6

y 1
? O
? 3

f ( x1 ? x2 ) ? (
1 2

) C.
3 2

x

A.

B.

2 2

D.1

9. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足 为 H .则以下命题中,错误的命题是( .. A.点 H 是 ?A1 BD 的垂心 C. AH 的延长线经过点 C1 10.已知椭圆 )

B. AH 垂直平面 CB1 D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45
0

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P 使 (
为( ) B.(

a c ? ,则该椭圆的离心率的取值范围 sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1

A.(0, 2 ? 1 )

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

11.函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, x, y 满 足不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当1 ? x ? 4 时,

???? ???? ? OM ? ON 的取值范围为 (
A. ?12,?? ? B. ?0,3?

) C. ?3,12 ? D. ?0,12 ?

第 2 页 共 15 页

? 2 x ? 1( x ? 0) ? 12.已知函数 f ( x ) ? ? ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的零点按从小到大的顺序排 ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ? ?
列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A.15 B.22 C.45 D. 50 )

第 3 页 共 15 页

2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学

(理科试卷) 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.直线 y ? kx ? b与曲线y ? x ? ax ? 1 相切于点(2,3) ,则 b 的值为
3



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14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角 形,则该三棱锥的外接球的体积为_______________. 15.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、 乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言 时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 .

16.设 a1 , a 2 ,?, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列, 且公差 d ? 0 .若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数 对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为________. d ?

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别是三内角 A,B,C 所对的三边,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

(18)(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入的频数分布 及对 “楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分界点对“楼 市限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人
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月收入低于 55 百元的人数

合计

a?
b?

c?
d?

中不赞成“楼市限购令”人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 参考数据:

P(K 2 ? k)

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

(19)(本小题满分 12 分) 如图, 几何体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 四边形 ABCD 为菱形,

D1

C1

B1

?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、
CC1 、DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a ,E 为 CC1 的
中点, F 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.
A F B D

E

C

(20)(本小题满分 12 分)

? 1 1 在平面直角坐标系中,已知点 A( ,0) ,向量 e ? (0,1) ,点 B 为直线 x ? ? 上的动点,点 C 满足

2 ???? ? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ??? ? ? 2OC ? OA ? OB ,点 M 满足 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 .

2

(1)试求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设点 P 是轨迹 E 上的动点,点 R、N 在 y 轴上,圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN ,求 ?PRN 的面
2

积的最小值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) .
2

第 6 页 共 15 页

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x) 在区间 ?1, e ? 上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) ,那么就称为

1 .已知函数 f 1( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x , g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” 2 f 2( x) ?
范围。

1 2 ,求 x ? 2ax .若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ( x) 是 f 1( x) , f 2( x) 的“活动函数” a 的取值 2

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。(本 小题满分 10 分) 22. 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 中点, 连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ;

GF EF 2 ? . (2)求证: AG CE 2

A O · C E B M · F G D

23. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数) ,曲线 P 在以该直角坐标系的原点 O ? y ? t ?1
2

的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 p ? 4 p cos ? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.

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24. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ) ?x ? R ,使 f ( x) ? t 2 ?

11 t ,求实数的取值范围. 2

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2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科答案)
一、选择题 1.【答案】D 试题分析: A ? [?2,2] , B ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8} ,所以 A ? B ? ?0,1, 2? ,选 D。 2. 【答案】A 试题分析:

m 2 ? i (m 2 ? i)(1 ? mi ) m 2 ? m ? (1 ? m 3 )i 3 ? ? 是实数,则虚部 1 ? m 为 0,所以 2 2 1 ? mi 1? m 1? m

m ? ?1 ,选A
3. 【答案】B

x2 试题分析:设双曲线方程为 ,则 3? ? 36,? ? ?12 ,选 B。 ? y 2 ? ? ,又因为焦点为(0,6) 2
4.【答案】B 试题分析:由 sin B ? cos B ?

2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin 2B ? 1 ,因为 0<B<? ,所以 B=45? ,又
2 2 1 = ,解得 sin A ? ,又 a <b ,所 ? sin A sin 45 2

因为 a ? 2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得: 以 A<B=45 ,所以 A=30 。 5.【答案】C
? ?

1 3 2 试题分析: ? x dx ? x ?1 3
2

2 ?2

16 16 1 ? ,所以 P ? 3 ? ,选 C。 3 16 3

6.【答案】B 7. 【答案】D 试题分析: 由题意易知: 是 BC 的中点, 是三角形 ABC 的重心, M P 因为 AM ? 1 , 所以 PA ?

???? ?

2 1 ,PM ? , 3 3

??? ??? ??? ? ? ? 2 2 4 PA ? ( PB ? PC ) = PA ? 2 PM ? ? ? cos? ? - 。故选 D. 所以 3 3 9
8.【答案】C 试题分析:由图像可知 T ? ? ? ? ? 2 ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 代入 ? ?

? ? ? ,0? 得 ? 6 ?

??

?

? ?? 2? 3 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ? f ( x1 ? x2 ) ? ? 3 2 3? 3 6 ?
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9.【答案】D 10.【答案】D 试题分析:根据正弦定理得

PF2 sin ?PF1 F2

?

PF1 sin ?PF2 F1

,所以由

a c 可得 ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1

PF1 c a c ? ? e ,所以 ? ,即 ,又 PF1 ? e PF2 PF2 a PF2 PF1

PF1 ? PF2 ? e PF2 ? PF2 ? PF2 (e ? 1) ? 2a

,即 PF ? 2a ,因为 , 2 a ? c ? PF2 ? a ? c e ?1

(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2a ? a ? c ,

e ?1

?1 ? e 2 ? 2 ?(1 ? e)(1 ? e) ? 2 ? c 2 c ,所以 2 即1 ? ? ,所以 ? , ? 1? 1? e ? ? 1 ? e ,即 ? 2 ? 2 ? 1? e ? 2 ? (1 ? e) a e ?1 a e ?1 ?
解得 2 ? 1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ? 1,1) ,选 D. 11. 【答案】D 试题分析:因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以

y ? f ( x) 的图象关于原点对称,即函数 y ? f ( x) 为奇函数,
2 2 由 f ( x ? 2 x) ? f ( 2 y ? y ) ? 0 得

f ( x 2 ? 2 x) ? ? f (2 y ? y 2 ) ? f ( y 2 ? 2 y) ,
2 2 所以 x ? 2 x ? y ? 2 y ,

? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ?( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0 ? ? 1? x ? 4 1? x ? 4 所以 ? ,即 ? ,
画出可行域如图,可得 12. 【答案】C 试题分析:根据函数的解析式,画出图像,由图像易知这 10 个零点为 0,1,2,3,??,9,所以 S10 =45. 二.填空题: 13.【答案】—15 14. 【答案】 4 3? 15.【答案】600 试题分析:甲、乙两名同学只有一人参加时,有 C 2 C 5 A4 =480;甲、乙两人均参加时,有 C 5 A2 A3 =120。 共有 600 种。
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1 3 4 2 2 2

=x+2y∈[0,12].故选 D.

16. 【答案】 {( 4,?4), (4,1)}
2 满足题意的数列只能有 4 项,若删掉 a 2 ,则 a3 ? a1 ? a 4 , ad ? ?4d ,若删掉 a 3 ,则 a 2 ? a1 ? a 4 ,
2
2

? a ? ad ? d 2 ,所以所有数对 ? n, 1 ? 所组成的集合为 {( 4,?4), (4,1)} ? d ?
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 解析: (1) b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ?
2

? b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? ,得到 A ? 2bc 2bc 2 3

?4 分

(2)∵ 2 sin

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2

∵ 1 ? cos B ? 1 ? cosC ? 1∴ cos B ? cosC ? 1,??6 分

即 cos B ? cos(

2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin(B ? ) ? 1 , 3 6
?

?????8 分

?0 ? B ?

2? 3

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?B ?

?
6

?

?
2

?B ?

?
3
????12 分

? ?ABC 为等边三角形
(18)(本小题满分 12 分) 【 解 析 】 (I )先 列 出 2 ? 2 列 联 表 然后利用公式 K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,计 算 出 k 2 值 , 再 根 据 k 值 是 否 大 于 6.635 ,来 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

确 定 是 不 是 有 没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (II)先确定 ? 所有可能取值有 0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望值. (Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 月收入低于 55 百元人数 合计 赞成 32 a?3 c ? 29 不赞成 18 b?7 d ? 11 合计 10 40 50

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29) 2 K ? ? 6.27 ? 6.635 6.47 ? 6.635 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)
2

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. ??(6 分)
2 C4 C82 6 28 84 ? ? (Ⅱ) ? 所有可能取值有 0, 1,2,3, P ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? , C5 C10 10 45 225 1 1 1 2 C4 C82 C4 C8C2 4 28 6 16 104 P ?? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 1 1 2 2 C4 C8C2 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 C4 C2 4 1 2 P ?? ? 3? ? 2 ? 2 ? ? ? C5 C10 10 45 225

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所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

35 2 225 225 104 70 6 4 所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ? ? ? ? . 225 225 225 5
(19)(本小题满分 12 分)

84 225

104 225

????????????(12 分)

解: (I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a
?

因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ???????????????2 分 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则
D1

z
C1
B1

DB1 ? DB ? BB ? a ? 2a ? 3a
2 2 1 2 2

a2 6a DE ? DC ? CE ? a ? ? 2 2
2 2 2

E

H
D
C

a2 6a B1 E ? B1C12 ? C1 E 2 ? a 2 ? ? ?4 分 2 2

O

x A

F

B

6a ? 6a ? 3a 2 ? DB12 所以 DE ? B1 E ? 4
2 2 2 2

y

所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形

?????????????????????5 分

(II)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系, 则 D(0, ?

a 3 2 a 3 a , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ???? ???? 3 a 2 3 3 a, , a), DF ? ( a, a, 0) ????????7 分 2 2 2 4 4

所以 DB1 ? (0, a, 2a), DE ? (?

???? ?

设面 DB1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ?

??

?? ???? ?

?? ????

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (0, ? 2,1) ??????????????????????????9 分 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即

??

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
第 12 页 共 15 页

令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

??????????????????????11 分

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 2 3 3 ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 ????12 分 ? 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3
???? ? ? ???? ? ? m ??? ), AB ? (?1, m) , 2

(20)(本小题满分 12 分) 解:(1)设 M ( x, y ), B(? , m) ,则 BM ? ( x ? , y ? m), e ? (0,1), CM ? ( x, y ?

1 2

1 2

?y ? m ???? ? ? ???? ??? ? ? ? 2 由 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 得 ? m 2 ,所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 y ? 2 x ;?????4 分 ?x ? 2 ?
(2)设 P( x0 , y0 ), R(0, b), N (0, c) ,且 b ? c ,? lPR : y ? 即 lPR : ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ,由相切得

y0 ? b x ?b, x0
? 1 ,注意到 x0 ? 2 ,化简得

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b) 2 ? x0 2

( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
同理得 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0 c ? x0 ? 0 , 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x 2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,??????????????????8 分 所以 b ? c ?

4 y0 2 ? 4 x0 ( x0 ? 2) x0 ? 2

?

2 x0 , x0 ? 2

有 S?PRN ?

1 2 x0 4 ? ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 8 ,当 x0 ? 4 时 ?PRN 的面积的最小值为 8. ?12 分 2 x0 ? 2 x0 ? 2

(21)(本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ?

1 1 2 1 x2 ?1 时, f (x) ? x ? ln x , f ?(x) ? x ? ? ; x x 2 2

对于 x ?[1, e],有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f (x) 在区间[1, e]上为增函数 ∴ f max (x ) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f m in (x) ? f (1) ? .???????????????? 3 分 2 2

(2)在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 是 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”,则 f1 (x) ? f (x) ? f 2 (x) 令 p( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ? 0 ,对 x ? (1,??) 恒成立,
2

1 2

第 13 页 共 15 页

且 h( x) ? f1 ( x) ? f ( x) = ?

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立,?????? 5 分 2

?(x ∵ p`( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
1) 若 a

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] (*) ? ? x x x

?

1 1 ,令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x 2 ? , 2 2a ? 1
1 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 p?( x) ? 0 ,此时 p (x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增 2

当 x 2 ? x1 ? 1 ,即

函数,并且在该区间上有 p (x) ∈( p( x2 ) ,+∞) ,不合题意; 当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p (x) 在区间(1,+∞)上,有 p (x) ∈( p (1) ,+∞) ,也不 合题意; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2) 若 a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p?( x) ? 0 ,从而 p (x) 在区间(1,+∞) 2

上是减函数;要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p(1) ? ?a ? 所以 ?

1 1 ?0?a ?? , 2 2

1 1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ? a ? .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9 分 2 2
/

又因为 h (x)= –x+2a–

? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 a2 = <0, h(x)在(1, +∞)上为减函数, ? x x x

1 1 1 1 h(x)<h(1)= ? +2a ? 0, 所以 a ? 综合可知 a 的范围是[ ? , ]. 12 分 2 4 2 4

另解: (接在(*)号后)先考虑 h(x),

h`(x) = – x + 2a ?

a2 ( x ? a)2 ? 0, =? x x

h(x)在(1,+?)递减,只要 h(1) ? 0, 得 ? 而 p`(x)=

1 1 。。。。。 ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 。。。。。。8 分 2 4

( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 对 x?(1,+?) 且 a ? 有 p`(x) <0. x 4 1 1 1 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? ,所以. ? ? a ? 2 2 2 4
0

只要 p(1) ? 0, a ?

。。。。。。 。。。。。。12 分

22.证明:(1)连结 AB , AC , ∵ AD 为圆 M 的直径,∴ ?ABD ? 90 , ∴ AC 为圆 O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD , ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∵ ?ECB ? ?BAG ,∴ ?DAG ? ?ECF , A O · E B M · F D

G C CE AG ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴ , ? EF GD ????????????????????????5 分 ? AG ? EF ? CE ? GD
第 14 页 共 15 页

(2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , ∴ ?DFG ∽ ?AGD ,∴ DG ? AG? GF ,
2

由(1)知 23. 【 解 析 】

EF 2 GD 2 GF EF 2 ,∴ . ?????????????????10 分 ? ? CE 2 AG 2 AG CE 2
2 2

( Ⅰ ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 4x ? 3 ? 0 . ?????????????????????????????????????5 分 (Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,
2 2

则圆心到直线 C 的距离为 d ? 24. 【解析】

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .??????10 分 2

1 ? ? x ? 3, x ? ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x ) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,??????????????????????2 分 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ? 1 当 x ? ? ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2 1 当 ? ? x ? 2,3x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2 当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述 ?x | x ? 1或x ? ?5? ??????????????????????????5 分 5 11 (2)易得 f ( x) min ? ? ,若 ?x ? R 都有 f ( x) ? t 2 ? t 恒成立, 2 2 5 11t 1 2 则只需 f ( x) min ? ? ? t ? 解得 ? t ? 5 ???????????????????10 分 2 2 2

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