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第2期第1课时有关测量距离的问题学案 (教师版)

时间:2019-04-17

第 1 课时 距离的测量 一、课前准备 (一)课时目标 1.能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关实际问题及不可到达的物体间 的距离问题。 2.了解常用的测量相关术语。 3.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。 (二)基础预探 1.正弦定理(用数学式子表示): 2.正弦定理的变形 ⑴ a ? 2R sin A, b ? ⑵ sin A ? ,c ? , sin C ? , b ? sin C ? c ? : : . . , a ? sin C ? c ? . . .

a , sin B ? 2R

⑶ a ? sin B ? b ? ⑷ a:b:c ?

( R 为 ?ABC 的外接圆半径) ⒊余弦定理: 4.余弦定理的推论: = ; ; = ; ; = . .

5.仰角:在同一铅直平面内,在低处向高处观察物体(视线在水平线上),视线与水平线的夹角叫 做 角;在高处向下观察物体(视线在水平线下),视线与水平线的夹角叫做 旋转到目标方向线的水平角.方位角的取值范围是 . . 角. .

6.方位角:从指北方向线

7.方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围是 8.坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡度的取值范围是
1/8

二、基本知识习题化 1. 某人从 A 点向正东方走了 此时他离出发点有( A. km ) B. km C. km D. km km 到达 B 点后,向右转 ,然后沿此方向走 3km 到达 C 点,

2.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度 ( 17 6 A. 海里/时 2 B.34 6海里/时 C. 17 2 2 海里/时 ) D.34 2海里/时 ,灯

3. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 塔 B 在观察站 C 的南偏东 A.akm 4.我舰在岛 A 南 B. ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( km C. km ) D.2akm

西 12 海里的 B 处,发现敌舰正从岛沿北

西的方向以每小时 10 海里 .

的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度为 三、学习引领 1、实际应用题中的有关名词术语要理解清楚. 2、与解斜三角形有关的公式 (1)正弦定理和余弦定理 (2)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等. 这些公式经常用到,要熟练掌握. 3、解斜三角形应用题的步骤

(1)准确理解题意,分清已知和所求,准确理解应用题中的有关术语,如坡度,仰角,俯角,视角,象 限角,方位角,方向角等; (2)根据题意画出示意图; (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理的运用正弦定理余弦定理等有关知 识建立数学模型,然后正确求解. 四、典例导析 4 例 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5

2/8

(1)求 sin2

B+C +cos 2A 的值; 2

(2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a. 思路导析:第(1)问中有 和 2A,由此可以想到要利用二倍角公式,把角化成一致,进而求解.

4 第(2)问求解时,由条件知道 cos A= , b=2,要想求 a,只需求出 c 的值即可,而由面积公式 5 1 S△ABC= bcsin A,可以求出 c 的值,则问题即可解决. 2 解:(1)sin2 B+C 1-cos(B+C) 1+cos A 59 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1= . 2 2 2 50

4 3 1 1 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= .由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 5 5 2 2 5 4 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 5 13.

规律总结:在三角形内,要注意三角形内角和定量及两角和与差的正余弦公式和二倍角公式 的应用,与面积有关的问题要注意利用面积公式. 例 2.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的距离(结果保留 根号). 思路导析:要求 BD 的长,需要把 BD 放在某个三角形中,根据条件知道△ ABC 中的量有两角和一边是可知或可求的,所以在△ABC 中求解即可. 解:在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60° ? ∠DAC=30°,所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° ? 60° ? 60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 在△ABC 中, 所以 AB=

AB AC ? , sin ?BAC sin ?ABC

AC sin 600 3 2 ? 6 3 2? 6 ? ,∴BD= ? (km). 0 sin15 20 20 3 2? 6 km. 20
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故 B、D 的距离为

规律总结:通过此例题要明确,要求解未知量,需要把它放在某个三角形中,而这个三角形根 据条件和图形能判断出是可求的. 例 3.如图,一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西 45°方向,此 人向北偏西 75°方向前进 30 km 到达 D,看到 A 在他的北偏东 45°方向,B 在其的北偏 东 75°方向,试求这两座建筑物之间的距离. 思路导析:要求 AB 的长,可以把它放在某个三角形中,可以是△ABD 也可以是△ABC,无论哪个三角形,都需要求角和边,观察图形可以 知道求边长比较好,由此考察 ?BDC 和 ?ADC ,利用正弦定理可以 分别求出 BC 和 AC 的长,进而在△ABC 中,利用余弦定理求出 AB. 解:依题意得, DC ? 30 , ?ADB ? ?BCD ? 30 ? ?BDC ,

?DBC ? 120 , ?ADC ? 60 , ?DAC ? 45 .
在 ?BDC 中,由正弦定理可得, BC ?

DC sin ?BDC 30 ? sin 30? ? ? 10 sin ?DBC sin 120? DC sin ?ADC sin ?DAC
2 2

在 ?ADC 中,由正弦定理可得, AC ?
2

?

30 ? sin 60? ?3 5 sin 45?

在 ?ABC 中,由余弦定理可得, AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos?ACB

? (3 5)2 ? ( 10)2 ? 2 ? 3 5 ? 10 ? cos45? ? 25
答:这两座建筑物之间的距离为 5km

?

AB ? 5

规律总结:根据题目给信息,把要求的量放在某一个三角形中,利用正弦定理或余弦定理从 而使得问题得以求解. 五、随堂练习 1. 在△ABC 中,A=60°,AC=16,面积为 220 A.25 B.51 5,b= C.49 3 3,那么 BC 的长度为( D.49 ) )

2. 在△ABC 中,已知 a=

15,A=30°,则 c 等于(
4/8

A.2

5

B.

5

C.2

5或

5

D.以上都不对

3. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2 a,则( ) A.a>b B.a<b C. a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 ,则坡底要伸长 m.

4.有一长为 100m 的斜坡,它的倾斜角为

,现打算把倾斜角改成

5. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后, 船到达 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15°方向, 这时船与灯塔的距离为________km. 6. 如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这一岸定一基线 CD, 现已测出 CD=a 和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°, 试求 AB 的长.

六、课后作业 1.有一山坡,坡角为 30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成 30°角的小路前 进一段路后,升高了 100 米,则此人行走的路程为 ( A.300 m B.400 m C.200 m ) D.200 3 m

2. 从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30°,看到正南方向有一只船俯 角为 45°,则此时两船间的距离为( A.2h 米 B. 2h 米 C. ) 3h 米 D.2 2h 米 ,在观察站 C

3. 已知灯塔 A 离观察站 C 的距离为 30km,在观察站 C 看灯塔 A,方位角为 看灯塔 B,方位角为 为 . ,从灯塔 B 看灯塔 A,方位角为

,则灯塔 B 的观察站 C 的距离

4. 某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 东

距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏

方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇速度为 21 海里/小时,则舰艇到达渔船 小时. ,行驶 4 小时后,

的最短时间为

5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 船到达 C 处,看到灯塔在北偏东 ,求船与灯塔的距离.

6.一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东 20 的方向,30
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min 后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东 65 的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以 外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 第 1 课时答案 一、1.

a b c = = sin A sin B sin C

2.⑴ 2 R sin B

2 R sin C ⑵
sin C
; ;. 6. 顺时针;

b 2R

c ⑶ sin A 2R
;

sin B

sin A



sin A
3. 4. 5.仰;俯 二、1. A

sin B

;

. 7. 8. , ∴ .

解析:由余弦定理知

2. A 解析:如图.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

3 MN PM ? 在△PMN 中,由正弦定理,得 ,∴MN=68× 2 =34 6 . sin120 sin 45 2 2
又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4 小时,∴船的航行速度 v= 3. B 解析:由已知可得 ,又 ,∴ 4. 14 海里/小时 解析:设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 v,则在 里), ∴ (海里), (海里/小时) 1 1 3 解析:S△ABC= AC×AB×sin 60°= ×16×AB× =220 2 2 2 3,∴AB=55. ,∴ 中, ,∴ (海 , ,在

34 6 17 ? 6 (海里/时). 4 2
中,由余弦定理得

五、1. D

1 ∴ BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos 60°=552+162-2×16×55× =2 401,∴ BC=49. 2

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2. C

解析:因 a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2 5c+10=0,即(c-2 5)(c-

15×c×

3 2

. 5.

化简得:c2-3 3. A

5)=0,∴c=2

5 或 c=

解析:由余弦定理得:

,又∠C=120°,c= 2 a, b,∴a>b



,解得:

4. 5. 30 2

解析: 设伸长 xm,由正弦定理得

,解

.

解析:如图,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°, 在△AMB 2 km.

60 BM 中,由正弦定理得 = ,解得 BM=30 sin45° sin30°

6. 解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以 AC =a. ① 3+1 2 a. ②

asin105° 在△BCD 中,由正弦定理可得 BC= = sin45°

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30°, 所以由余弦定理得 A、B 两点之间的距离为 AB= 六、1. B AC2+BC2-2AC·BC·cos30°= 2 2 a.

解析:如图,AD 为山坡底线,AB 为行走路线,BC 垂直水平面.则 BC=100,

∠BDC=30°,∠BAD=30°,∴BD=200,AB=2BD=400 米. 2. A 解析:如图所示,BC= 3 h,AC=h,∴AB= 3h2 ? h2 = 2h. 3. 60km ∴ 解析:可知 , km. ,AC=30km,

为直角三角形, ∴

4.

解析:设舰艇到达渔船的最短时间为 t,地点为 B,则 AB=21t,BC=9t,AC=10,由余弦

定理得

,解得



(舍).

7/8

5. 解:由正弦定理得

, ∴

km.

6. 解:根据正弦定理,

AS AB , ? sin ?ABS sin ? 65 ? 20 ?

AS ?

AB ? sin B ? AB ? sin ?ABS ? 2 ? 16.1? sin115 ? 2 , sin ? 65 ? 20 ?

S 到直线 AB 的距离是 d ? AS ? sin 20 ? 16.1? sin115 ? 2 ? sin 20 ? 7.06 (cm) .
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.

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