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等比数列前n项和PPT_图文

时间:2018-08-14

2.5等比数列 前n项和

回顾旧知
1.等比数列{an}的通项公式: an ? a1q
n ?1

注意:当q=1时,等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法:观察归纳法、 累乘法。

3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法 .

新课导入
国际象棋起源于古印度,关于国际象棋 还有一个传说。国王奖赏发明者,问他有什 么要求,他答道:“在棋盘第一个格放1颗麦 粒,在第二个格放2颗麦粒,在第三个格放4 颗麦粒,在第四个格放8颗麦粒。以此类推, 每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍,直 到64个格子。国王觉得这太容易了,就欣然 答应了他的要求,你认为国王能满足他的要 求吗?

经过计算,我们得到麦粒总数是

1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615(粒)
已知麦子每千粒约为40克,则折合约为

737869762948382064克≈7378.7亿吨.
那么这是怎么计算的呢?其实是一个比 较大小的问题,则实质上是求等比数列前n 项和的问题.

探讨问题
发明者要求的麦粒总数是:
S64=1+2+22+23+…+263 上式有何特点? ①

如果①式两端同时乘以2得: 2S64=2+22+23+…+263+264 ②

比较①、②两式,有什么关系呢?

S64=1+2+22+23+…+263 2S64= 2+22+23+…+263+264

① ②

两式上下相对的项完全相同,把两式相减, 就可以消去相同的项,则②-①得:

S64=264-1= 18446744073709551615
设问: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2呢?

等比数列前n项和公式及推导
设等比数列 ?an ? ,首项为 a1 ,公比为 q 如何求前n项和 Sn ? 在等比数列{an}中首先要考虑两种情况:

当q=1时 ,Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =a1+a1+a1+……+a1+a1 共n个a1 =na1
当q≠1时,Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =?

分析:
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ① -②得: Sn (1—q)=a1—a1qn

① ②

a1 (1 ? q ) 当q≠1时, sn ? 1? q
n

则等比数列{an}前n项和公式为

na1
Sn=
a1 (1 ? qn ) 1?q

q=1
q≠1

1.注意q=1与q≠1两种情况.

a1 (1 ? q ) a1 ? anq 2.q≠1时, sn ? ? 1? q 1? q
n

通过上面的讲解,对于等差数 列的相关量a1、d、n、an、sn,一 般确定几个量就可以确定其他量?

a1、d、n a1、d、an a 1、 a n 、 n a1、an、sn an、d、n a n、 s n、 n

a n、 s n n、sn d、sn d、n a1、sn a1、d

例1

等比数列{an}的公比q =

1 2

,a8=1,求它的

前8项和S8. 解法1:因为a8=a1 因此

q7,所以 a
7

1

a8 ? 7 ? 27 q

1 8 a1 (1 ? q 8 ) 2 [1 ? ( 2 ) ] s8 ? ? ? 28 ? 1 ? 255 1 1?q 1? 2

解法2:把原数列的第8项当作第一项,第1项 当作第8项, 即顺序颠倒,也得到一个等比数列{bn}, 其中b1=a8=1,q=2,所以前8项和

b1 (1 ? q ) 1 ? 2 s8 ? ? ? 255 1? q 1? 2
8 8

例2

求和

9 ? 99 ? 999 ?

? 999
n
个9

99

分析:数列9,99,999,……,不是等比数列,不
能直接用公式求和,

但将它转化为
10-1,100-1,1000-1,……, 就可以解决了。

解:
原式=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+…+(10n-1)
=(10+100+1000+……+10n)-n

10(10n ? 1) ? ?n 10 ? 1

10 n ? (10 ? 1) ? n 9

例3

已知数列 {an } 的前五项是
1 1 1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 ,5 . 3 9 27 81 243

(1)写出该数列的一个通项公式; (2)求该数列的前n项和 sn 分析:此数列的特征是 {an ? bn } 两部分构成,其中
{an }是整数部分,又是等差数列, {bn }是分数部分,

又是等比数列. 所以此数列可以转化为等差数列

和等比数列,所以此方法称为“分组法求和”

1 解:(1) an ? n ? n 3


(2) sn ? (1 ? 1 ) ? ( 2 ?
3

1 1 1 ) ? ( 3 ? ) ? ...( n ? ) 2 3 n 3 3 3

1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ) ? ( ? 2 ? 3 ? ... n ) 3 3 3 3
n(n ? 1) 1 ? (1 ? 3n ) ? ? 2 1? 3

n(n ? 1) 3n ? 1 ? ? 2 2 n(n ? 1) ? 3n ? 1 ? 2

例4

某工厂去年1月份的产值为a元,月平均

增长率为p(p>0),求这个工厂去年全年产值 的总和。 解:该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元, 3月,4月,……,的产值分别为a(1+p)2 元,a(1+p)3元,……, 所以12个月的产值组成一个等比数列, 首项为a,公比为1+p,

a[1 ? (1 ? p) ] S12 ? 1 ? (1 ? p)
12

a[(1 ? p) ? 1] ? p
12

答:该工厂去年全年的总产值为

a[(1 ? p)12 ? 1] p

元。

例5

1 2 3 4 n Sn ? ? ? ? ??? n . 求和: 2 4 8 16 2

分析: n 1 ?1? a ? ? n ? ?n? 设 n 2n ? n? 2n ,其中 为等差数列, ?2 ?
1 为等比数列,公比为 ,利用错位相减法求和. 2

解: Sn ? 1 ?

1 两端同乘以 ,得 2

1 1 1 1 1 ? 2? 2 ? 3? 3 ? 4? 4 ??? n ? n 2 2 2 2 2



1 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得 1 Sn ? 1 ? 12 ? 13 ? 14 ? ? ? 1n ? n , n ?1
2 2 2 2 2 2 2

于是 Sn ? 2 ?

1 2n ? 1

?

n 2n

.

例6 设数列 an ? (?a) (a ? 0) 求这个数列的前n项和
an ? 1 (?a)n ? ? ?a (与n无关的常数) 解: n ?1 an (?a)
n ?1

所以该数列是等比数列,首项为1, sn ? n a ? ?1 ,该数列的公比为1,

a?

1 ? ( ? a )n ?1,该数列的公比不为1, sn ? 1? a

注意:当等比数列的通项公式中有参数, 求前n项和时要注意公比是否为1.

例7
1 2 3 4 n Sn ? ? ? ? ??? n . 求和: 2 4 8 16 2

n 1 ?1? 设 an ? n ? n ? n ,其中 为等差数列, ?n? ? n? 2 2 ?2 ?
1 为等比数列,公比为 ,利用错位相减法求和. 2

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n , 解: 2 2 2 2 2
1 两端同乘以 ,得 2
1 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 , 2 2 2 2 2 2 2

于是 S n ? 2 ?

1 2n ? 1

n ? n . 2

思考与余味
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,怎样用
学过的知识来说明它?

解:这句古语用现代文叙述是:
一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完.

1 1 得到一个首项为a1= ,公比q= 的等比数列, 2 2

如果每天取出的木棒的长度排成一个数列,则

它的前n项和为
1 1 n ? [1 ? ( ) ] 1 n 2 2 sn ? ? 1? ( ) 1 2 1? 2

不论n取何值,

1 n 1 ? ( ) 总小于1, 2

这说明一尺长的木棒,每天取它的一半,永

远也取不完.

课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式:

na1
Sn=

q=1
q≠ 1

a1 (1 ? qn ) a1 ? anq ? 1? q 1? q

以及他们的推导过程,在具体使用时,不 一定完全套用公式,要灵活变通.

1.推导等差数列前 n项和公式的方法. -------错位相加法

2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个. -------知三求二

(07年广东)等比数列 {an}中, 高考链接 a1=3,an=96,sn=189,求n的值.

a1 ? anq 3 ? 96q ? ? 189 解: 由 sn ? 1? q 1? q
得: q=2
n?1

所以: an ? a1q
n ?1

? 3q

n?1

? 96

q ?2 n?1 ? 5 n?6

n ?1

? 32

随堂练习
1.求等比数列
解:
1 a1 ? 2
1 1 1 , , ,...的前8项的和 2 4 8

n?8

1 1 1 q? ? ? 4 2 2

1 1 8 [1 ? ( ) ] 255 2 ? s8 ? 2 1 256 1? 2

2.某商场第1年销售计算机5000台,如果 平均每年的销售量比上一年增 加10%,那么从第1年起,约几年内可使总销 售量达到30000台 (保留到个位)? 分析:由题意可知,每年销售量比上一年增 加的百分率相同,所以从第1年起, 每年的销售量组成一个等比数列,总产量则 为等比数列的前n项和.

解:设每年的产量组成一个等比数列 ?an ?

其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000 ∴ 5000(1? 1.1n )
1 ? 1.1 ? 30000

整理可得:1.1n=1.6两边取对数得 即: n lg1.1 ? lg1.6
l g1.6 n? ?5 l g1.1

答:约5年内可以使总销售量达到30000台.

3.已知数列

{an } 是等差数列,且 a ? 2 1

a1 ? a2 ? a3 ? 12
(1)求数列 {an } 的通项公式;
n b ? a ? 3 (n ? R) ,求数列 {bn } (2)令 n n

的前n项和

sn

解:(1)设数列 {an } 的公差是d,则
a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12

又 a1 ? 2, 得d=2,所以 an ? 2n, n ? N

*

(2)令 sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn , 则由 bn ? an ? 3n ? 2n ? 3n 得

sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ... ? (2n ? 2) ? 3n ?1 ? 2n ? 3n ① 2 3 n n ?1 ② 3sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ... ? (2n ? 2) ? 3 ? 2n ? 3 ①-②得 (1 ? 3)sn ? 2(3 ? 32 ? ... ? 3n ) ? 2n ? 3n ?1

3n ? n ? 3n ? 1 ? 3 所以 sn ? 2

a4 64 1.(1)q ? ? , a1 ?1
3

习题答案 q ? ?4. a1 ? a4 q ?1 ? 64 ? 4 s4 ? ? ? 51. 1? q 1? 4
q ?2 ? q ?1 ? 1 ? 3, 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

(2) s3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 (q ?2 ? q ?1 ? 1),

1 q ? 1或q ? ? . 2 3 ? a1 ? 或a1 ? 6. 2


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