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第4讲定积分的概念与微积分基本定理(教师用)

时间:2014-08-17

第4讲

定积分的概念与微积分基本定理

【2013 年高考会这样考】 1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理. 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程. 【复习指导】 定积分的考查频率不是很高, 本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用 微积分基本定理计算定积分, 使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等.

基础梳理 1.定积分 (1)定积分的定义及相关概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?xi-1<xi<?<xn=b,将区 间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,?, n),作和式 nf(ξi)Δx= ?
i=1
?

n

i=1

b-a n f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这

个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作?bf(x)dx. ?a 在?bf(x)dx 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间, ?a f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. (2)定积分的性质 ①?bkf(x)dx=k?bf(x)dx(k 为常数). ?a ?a
b ②?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx± ? f2(x)dx. ?a ?a ?a

③?bf(x)dx=?cf(x)dx+?bf(x)dx(其中 a<c<b). ?a ?a ?c 2.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x), 那么?bf(x)dx=F(b)-F(a), ?a 这个结论叫微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼兹公式.

3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的, 但是定积分并不一定就是曲边梯形的面 积.这要结合具体图形来定:

设阴影部分面积为 S.
b ①S=? ? f(x)dx; ?
?a

b ②S=-? ? f(x)dx; ?
?

a

c ?b ③S=? ? f(x)dx-? f(x)dx; ? ?
?a ?c

b ?b ④S=? ? f(x)dx-? g(x)dx= ? ?
?

a

?

a

?b ? ? ?

[f(x)-g(x)]dx .

a

(2)匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s ,等于其速度函数 v =
b v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=? ? v(t)dt . ?
?a

一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”, 用“有限”的步骤解决“无限”过程的 问题,其方法是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积 和体积公式等. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并 称为 17 世纪数学的三大成就. 三条性质

(1)常数可提到积分号外; (2)和差的积分等于积分的和差; (3)积分可分段进行. 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与 积分是互为逆运算.

双基自测 双基自测
1 x 1.(2011· 福建)? ? (e +2x)dx 等于( ?
?

). D.e+1

0

A.1 解析
?1 ? ? ?0

B.e-1 (ex+2x)dx

C .e

x 2 ?1 = ?e +x ?? ?0

=(e+1)-1=e. 答案 C π π 2.(2011· 湖南)由直线 x=-3,x=3,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的
面积为( 1 A.2 ). B.1 3 C. 2 D. 3

π π π π 解析 S=∫3-3cos xdx=2∫30cos xdx= 2sin x|30= 3. 答案 D

3.(2011· 山东)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为 ( 1 A.12 解析 1 B.4 1 C.3 7 D.12 ).

2 ? ?y=x , 由? 得交点坐标为(0,0),(1,1),因此所求图形面 3 ? ?y=x ,

?1 1 4??1 1 3 1 2 3 积为 S=? ? (x -x )dx= ? x - x ??0= ? 4 ?? 12. ?3 ?
0

答案

A

4.如图,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=sin x(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( ).

1 A.π

2 B.π

π C.4
?π ? ? ?

3 D.π
?
0=-(-1-1)=

解析 阴影部分的面积 S= 2,矩形的面积为 2π.

0

sin xdx=-cos x? ?π

阴影部分的面积 2 1 概率 P= =2π=π.故应选 A. 矩形面积 答案 A

5.(人教 A 版教材习题改编)汽车以 v=(3t+2)m/s 作变速直线 运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________. 解析 s=
?2 ? ? ?

? (3t + 2)dt = ? ? ? 1

?? ?3 ? 32 3 7 2 ?? t + 2 t 1 = ×4 + 4 - ? +2? = 10 - ? 2 2 2 ?? ?2 ?

13 = (m). 2 答案 6.5 m

考向一 【例 1】 计算下列积分

定积分的计算

当原函数较难求时,可考虑由其几何意义解得.

(5)由 y=xcos x-5sin x 为奇函数
?1 ? ? ?-1 ? 1-12dx=2x?1 (xcos x-5sin x+2)dx= ? ? ?-1=4.

(1)利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被 积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是 互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数. (2)根据积分的几何意义可利用面积求积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则 =0.

考向二 【例 2】

利用定积分求面积

求下图中阴影部分的面积.

[审题视点] 观察图象要仔细,求出积分上下限,找准被积函数.

?y=x-4, 解 解方程组? 2 ?y =2x, ?x=2 ?x=8 得? ,或? ?y=-2 ?y=4 S 阴影=?8 2xdx-8+?2|- 2x|dx+2 ?0 ?0 ?2 3??8 ?2 3?? = 2 ?3x2??0 + 2 ?3x2??2 -6=18. ? ?? ? ??0 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的 上、下限;(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;(3)写出 平面图形面积的定积分的表达式;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平

面图形的面积. 1 【训练 2】 求曲线 y= x,y=2-x,y=-3x 所围成图形的面积. ?y= x, 解 由? 得交点 A(1,1); ?y=2-x, y=2-x ? ? 由? 1 得交点 B(3,-1). y=-3x ? ?

1 ? 1 ? ? ? 故所求面积 S=?1? x+3x?dx+?3?2-x+3x?dx ? ? ?0? ?1? 1 ?? ?2 3 1 ?? ? = ?3x2+6x2??1 + ?2x-3x2??3 ? ??0 ? ??1 2 1 4 13 =3+6+3= 6 . 考向三 定积分的应用

【例 3】 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动. 求: (1)在 t=4 s 的位置; (2)在 t=4 s 内运动的路程. [审题视点] 理解函数积分后的实际意义,确定被积函数. 解 (1)在时刻 t=4 时该点的位置为 ?1 3 ?? 4 4 2 t -2t2+3t??4 = (m), ? (t -4t+3)dt= ? 3 ? ??0 3 ?0 4 即在 t=4 s 时刻该质点距出发点3 m. (2)因为 v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0,所以 t=4 s 时的路程为 S=?1(t2-4t+3)dt+|?3(t2-4t+3)dt|+?4(t2-4t+3)dt ?0 ?1 ?3

?1 3 ?? ?1 3 ??3 2 2 = ?3t -2t +3t??1 +| ?3t -2t +3t??1 |+ ? ??0 ? ?? ?1 3 ?? 4 4 4 ?3t -2t2+3t??4 = + + =4 (m), ? ??3 3 3 3 即质点在 4s 内运动的路程为 4 m. 1 由 s=v0t+2at2 通过求导可推出 v=v0+at,反之根据积分的几何意义, 由 v=v(t)(v(t)≥0)可求出 t∈[a,b]时间段内所经过的路程. 【训练 3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 (假定为直线) 行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是( ).

A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 解析 可观察出曲线 v 甲,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积大于曲线 v 乙,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积,故选 A. 答案 A

难点突破 8——积分的综合应用 定积分的考查在试卷中不是必然出现的,一般以选择题或填空题的形式出现,试 题难度不大, 在近两年的高考中,考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边

图形面积中的应用等,如 2011 年福建卷,陕西卷考查的是定积分的计算,新课 标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积. 一、积分的几何意义 【示例】? 已知 r>0,则?r-r r2-x2dx=________. ?

二、积分与概率 【示例】? (2010· 陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为__________.


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