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高等代数复习提纲

时间:2018-07-01


高等代数复习提纲
一. 1. 多项式 带余除法—->辗转相除法-? uf ? vg ? 1 的运用

2. 不可约多项式,标准分解式,特别是实数域和复数域情形。 3. 根与标准分解式(复数域) ,重因式判定。 4. 有理根计算。Eisenstein 判别法变形运用。 二. 行列式 基本性质与算法, 行列式仅是后继高代内容的研究工具。 三. 线性方程组 核心内容。线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。 1. 消元法:初等行变换是代数最基本方法。 2. 向量组线性相关性概念,秩的计算,矩阵非零 r 级子式计算,极大无关组 的求法。 3. 方程组三种等价形式的运用。 4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。 5. 解的结构与极大无关组。 四. 矩阵 1. 矩阵乘积的秩。 2. 逆矩阵计算 3. 初等变换与初等矩阵:左乘变行,右乘变列。 4. 分块的思想:与矩阵乘积,方程组关系等。 五. 二次型 1. 二次型几何意义。 2. 二次型矩阵,标准型计算。合同概念。 3. 规范形几何意义。特别是实二次型。 4. 正定性的判定。与向量内积关系等: 例如: r ( A) ? r ( AT A); AT A 正定当且仅当 AX ? 0 只有零解, 其中 A 不必是方 阵。 六 线性空间 1. 线性空间定义。 2. 基(维数) ,坐标,同构 V ? Pn . 3. 向量组线性相关性判定 ? 坐标向量组相关性 ? 线性方程组。 4. 子空间的交与和基的计算,维数公式。 5. 直和:交为 {0}. 七.线性变换 1. 线性变换矩阵表示:线性变换=矩阵(基固定) ,这一相等保持线性关系和乘
同构

积,从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。 2. 基变换前后矩阵相似。 3. 特征值,特征向量的计算和性质。注意特征向量和特征向量坐标的区别:首 先计算的是特征向量坐标! 4.可对角化判定。 值域与核的基的计算, “维数公式“。 八. ? 矩阵 1. 初等变换注意事项。 2. 标准型计算:简便算法。 3. 行列式因子,不变因子,初等因子,Jordan 块之间对应关系。 九.欧氏空间 1. 定义和基本性质。 2. 标准正交基。 3. Schmidt 正交化方法。 4. 正交矩阵,正交变换。 5. 实对称矩阵标准型 5. 正交补。 6.内射影计算。 7.同构 V ? Rn .

附注:
特征值特征向量基本性质: 1. A 和 f ( A) 特征值。如 A 和 E ? A 。
?1 2. A 和 B ? P AP 特征向量关系;特别是和 Jordan 标准型以及可对角化情形。

3. 可逆等价于 0 不是特征值。 3. Jordan 标准型对角线上元素为全部特征值;实对称矩阵正交化标准型就是 Jordan 标准型。 这一结论对相似可对角化矩阵也成立。

幂零矩阵:和 Jordan 标准型联系。参考 p320. 例1. 参见 p327,补充 4. 可逆变换对应可逆矩阵;矩阵(线性变换)可逆充要条件:0 非特征 值;逆的特征值为原矩阵特征值逆。 例2. 例3. 例4.
E ? AB, E ? BA 可逆等价。
B ? P ?1 AP 特征向量关系: ? ? A? .

A, f ( A) 特征值联系,特征向量联系: ? ? f (? ); ? ? ? .


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