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文科立体几何专题教师用1_图文

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一、填空题 1 . (南已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为 【答案】 2

2 ? 的扇形,则此圆锥的高为___cm. 3

2

2 . (苏锡常镇)已知, m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题:

①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l //

? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? .

则所有正确命题的序号是_________. 【答案】②
3 . (扬)设 a、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题

①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ?

②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

? , 则? ? ?

其中正确的命题序号是____. 【答案】③④; 4 . (常)给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为______.
【答案】 ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 5. (连 二维空间中 , 圆的一维测度 ( 周长 )l=2?r, 二维测度 ( 面积 )S=?r ; 三维空间中 , 球的二维测度 ( 表面
2

4 3 2 3 积)S=4?r ,三维测度(体积)V= ?r .应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度 V=8?r ,则其四 3 维测度 W=____. 4 【答案】2?r ;
6. (南已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.

①若 m?α ,m⊥β ,则 α ⊥β ; ③若 m?α ,n?β ,α ∥β ,则 m∥n;

②若 m?α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,m?β ,α ∩β =n,则 m∥n.

上述命题中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).
【答案】①④ 7. (南已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是________. 【答案】

答案:48.

8. (苏锡常镇在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 ? , ? ,则 cos

2

? ? cos2 ? ? 1 .类比到空

间中一个正确命题是:在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,对角线 AC1 与相邻三个面所成的角为 ? , ? , ? , 则有__________.
【答案】 cos 二、解答题 9. (苏锡常镇)已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAB 是等边三角形,侧面
2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2

SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, E 为 CD 的中点, M 为 SB 的中点. (1)求证: CM // 平面 SAE ;(2)求证: SE ? 平面 SAB ; (3)求三棱锥 S ? AED 的体积.

S M C E D A B

10. (扬如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

AC ? BD 于 O . (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

【答案】

(Ⅰ)证 : 因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD

又 AC ? BD , PA, AC 是平面

PAC 内的两条相交直线, ? BD ? 平面 PAC , 而 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ⊥平面 PAC (Ⅱ)证:? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,? AC ? 平面 BED , 连 接 EO , ? EO ? 平 面 BED , ? AC ? EO , ? PA ⊥ 平 面 ABCD , ? AC ? 平 面 ABCD , ? AC ? PA , 又 AC , PA, EO 共 面 , ? EO // PA ,
BED ,? PA // 平面 BED
11. (连如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且 AC1=4AF.

又 ? PA ? 平 面 BED , EO ? 平 面

(1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1;(2)求证:EF //平面 ABB1A1. A1 B1 C1

F C
(第 16 题图)

A B E

D

【答案】证明:(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1?平面 ABC, 而 AD?平面 ABC, 所以 CC1?AD

又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 AD?BC, 因为 BC?CC1=C,BC?平面 BCC1B1,CC1?平面 BCC1B1, 所以 AD?平面 BCC1B1, 因为 AD?平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1 (2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1,所以 CF=3FG, 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB, 所以 EF//GB, 而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1 A1 B1 C1

G A

F C B E D

12. (泰南扬宿迁淮如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等.

(1)求证: AB // 平面 PCD ;

(2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD .

P

A
B
O
(第 15 题)

D
C

【答案】证明:(1)在矩形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AB // 平面

PCD

BD 的中点 , 又 (2) 如图 , 连结 BD , 交 AC 于点 O , 连结 PO , 在矩形 ABCD 中 , 点 O 为 AC, PA ? PB ? PC ? PD , 故 PO ? AC , PO ? BD , 又 AC I BD ? O , AC, BD ? 平 面 A B C D, 所 以 PO ? 平面 ABCD , 又 PO ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD

13. (无如图,四棱锥 P-A BCD 中,底面 ABCD 为菱形,BD⊥面 PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=

4 ,M 是 PC 的中点. 5

(Ⅰ)证明 PC⊥平面 BMD;(Ⅱ)若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

【答案】

14. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯

形,AD//BC,PB ? 平面 ABCD,CD ? BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA. (1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC//平面 BDE.

【答案】

15. (徐宿)如图, AB , CD 均为圆 O 的直径, CE ? 圆 O 所在的平面, BF ? CE .求证:

⑴平面 BCEF ? 平面 ACE ; ⑵直线 DF ? 平面 ACE . E

F C A O
(第 15 题图)

B D

【答案】⑴因为 CE ? 圆 O 所在的平面, BC ? 圆 O 所在的平面,

所以 CE ? BC , 因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,所以 AC ? BC , 因为 AC ? CE ? C , AC , CE ? 平面 ACE , 所以 BC ? 平面 ACE , 因为 BC ? 平面 BCEF ,所以平面 BCEF ? 平面 ACE ⑵由⑴ AC ? BC ,又因为 CD 为圆 O 的直径, 所以 BD ? BC , 因为 AC , BC , BD 在同一平面内,所以 AC ? BD , 因为 BD ? 平面 ACE , AC ? 平面 ACE , 所 以 BD ? 平 面 A C E 因 为 B F? C E , 同 理 可 证 BF ? 平 面 A C E, 因 为 B D ? B ?F , BD B , BF ? 平面 BDF , 所以平面 BDF ? 平面 ACE , 因为 DF ? 平面 BDF ,所以 DF ? 平面 ACE
16. (扬南泰宿如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90? ,

?PBA ? 90? .求证:(1) AD // 平面 PBC ;

(2)平面 PBC ? 平面 PAB .

P

A

D

B

C
(第 16 题)

【答案】 【证】(1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD,

所以 BC//AD 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC,所以 AD // 平面 PBC (2)自 P 作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,且平面 PAB I 平面 ABCD =AB, 所以 PH ? 平面 ABCD 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 ?PBC ? 90? ,所以 BC ? PB, 而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H. 因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB 因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 AB
17. (南盐)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点.

(1)证明:EF∥平面 ABC;(2)证明:C1E⊥平面 BDE.

C1 B1

A1

C1 B1

A1

E F

E F

C

D B (第 16 题)

A

C G

D B (第 16 题)

A

【答案】证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG.

1 ∥ C1C.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A ∥C1C,且 E 为 A1A 的中点,所以 FG ∥EA. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG = = = 2 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF∥AG 因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC

(2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC,所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC.因为 A1A∩AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平 6 AB,C1B= 3AB,所以 EB2+C1E2 2

面 A1ACC1.因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E 根据题意,可得 EB=C1E=
2

=C1B .从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB 因为 BD∩EB=B,BD ?平面 BDE, EB?平面 BDE,所以 C1E⊥平面 BDE
18. (南如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱

BC 的中点.求证:(1) EF // 平面 ABC;(2)平面 AEF⊥平面 A1AD.
A1 B1 E F A B C B D
(第 15 题)

A1 B1 E F A C C1

C1

D
(第 15 题)

【答案】解:(1)连结 A1 B和A1C .

因为 E、F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点 , 所以 E、F 分别是 A1 B和A1C 的中点 . 所以 EF // BC 又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC

(2) 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱 , 所以 A1 A ? 平面 ABC , 所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC , 得

EF ? A1 A

又 因 为 D 是 棱 BC 的 中 点 , 且 ?ABC 为 正 三 角 形 , 所 以 BC ? AD . 故 由 EF // BC , 得

EF ? AD

而 A1 A ? AD ? A , A1 A, AD ? 平面 A1 AD , 所以 EF ? 平面 A1 AD

又 EF ? 平面 AEF , 故平

面 AEF ? 平面 A1 AD \ 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲评时应注意强调规范化 的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等.
19. (苏如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC

? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. AF (1)求证: AD ? 平面 PBC ; (2)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求 的值. FC
P
【答案】

D A F E B C

20. (南盐在直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 为棱 CC1 上任一点.
∥平面 ABD ;(2)求证:平面 ABD ⊥平面

(1)求证:直线

A1 B1

BCC1 B1

.

【答案】(1)证明:由直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 ,得 A1 B1 / / AB

而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以

直线 EF ∥平面 ABD 而

AB ? BB1 ,又 AB ? BC , (2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以


BB1 ? 面 BCC1 B1 , BC ? 面 BCC1 B1 , 且 BB1 ? BC ? B , 所 以 AB ? 面 BCC1 B1

AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1
21 . (苏锡)如图,在三棱柱

A1 B1C1 ? ABC 中 , 已 知 E , F , G 分 别 为 棱 AB , AC , A1C1 的 中

点, ?ACB ? 900 , A1 F ? 平面 ABC , CH ? BG , H 为垂足.求证: (1) A1 E // 平面 GBC ; (2) BG ? 平面 ACH .

C1 G A1 B1

C F A
【答案】

H B

E

22. (盐如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点.

⑴求证:PA∥平面 BDE;

⑵求证:平面 PBC⊥平面 PDC.

【答案】证明(1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO, PO ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ O 是 AC 中点,

又 E 为 PC 中点.∴ PA ∥ EO

又 EO ? 面BDE , PA ? 面BDE ∴ PA ∥平面 BDE
?

(2)在△ PAC 中,易得 AO ? CO ? PO ? 3 ∴ ?APC ? 90 ,∴ PC ? 2 2 ∴ 在 △ PDC 中 可 求 得 DE ?

2 , 同 理 在 △ PBC 中 可 求 得 BE ? 2 ∴ 在 △ BDE 中 可 得
BE ⊥面 PDC ,又 BE ? 面

?BED ? 90? ,即 BE ⊥ DE

又 PB ? BC , E 为 PC 中点, ∴ BE ⊥ PC

PBC ∴平面 PBC ? 平面 PDC


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