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(考试必备)广西南宁二中2011届高三年级11月月考数学文

时间:2012-10-15


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. sin 300 ? = ( ) A. ?
3 2

B. ?

1 2

C.

1 2
x

D.

3 2

2.已知全集 U=R,集合 A ? { x || g x ? 0} , B ? { x | 2 ? 1} , 则 C U ( A ? B ) = A. ( ?? ,1) 3.若 tan ? ? 2, 则 A.0 B. (1, ?? )
2 sin ? ? co s ? sin ? ? 2 co s ? 3





C. ? ? ? ,1 ?

D. ?1, ? ? ? ( )

的值为 C.1 D.
5 4

B.

4

4.若 p :| x ? 1 |? 2, q : x ? 2, 则 ? p 是 ? q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件
? ?





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? ?

5.设向量 a与 b 的模分别为 6 和 5,夹角为 1 2 0 ? ,则 | a ? b | 等于 A.
2 3

( D. 3 1 (



B. ?

2 3
2 2

C. 9 1

6.过原点且倾斜角为 6 0 ? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 A. 3 B.2
1 ? an 1 ? an



C. 6
( n ? 1), 则 a 2 0 1 1 =

D. 2 3 (
1 3

7.设数列 { a n }满 足 : a 2 ? 3, a n ? 1 ?
1 2



A.

B.3

C.-2

D. ?

8.某大学的包括甲、乙两人在内的 4 名大学生自愿参加 2010 年广州亚运会的服务,这 4 名大学生 2 人被分配在田径服务项目上, 2 个分配在球类服务项目上。 另 如这样的分配 是随机的,则甲、乙两人被分配在同一服务项目上的概率是 ( ) A.
2 3

B.

1 3
a3 a5

C.
? 5 9

3 4

D.
S0 S3 ?

1 4

9.设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若
5 9 9 5

,则





A.

B.

C.2

D.1 ( )

10.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为

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A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3 1 2

D.

6 3

11.设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率 e ?

, 右 焦 点 F ( e , 0 ), 方 程 a x ? b x ? c ? 0
2

的两个根分别为 x1 , x 2 , 则 点 P ( x1 , x 2 ) 在 A.圆 x ? y ? 2 内
2 2

( B.圆 x ? y ? 2 上
2 2



C. x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情况都有可能

12.已知函数 f(x)的定义域为 ? ? 2, ? ? ? ,部分对应值如下表, f '( x )为 f ( x ) 的导函数, 函数 y ? f '( x ) 的图象如右图所示:
x
f (x)

-2 1

0 -1

4 1

A. ( , )
7 3

6 4

B. ( , )
5 3

3 7

C. ( , )
3 5

2 6

D. ( ? 1, )
2

1

二、填空题:本大题共 4 个小题,第小题 5 分,共 20 分。把答案填写在题中横线上。 13.数列 { a n }中 , 若 a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 3( n ? 1) ,则该数列的通项公式 a n = 14. 已知点 A, C, 在同一个球面上, B, D AB⊥平面 BCD, BC⊥CD, AB=6, 若 AC= 2 1 3 , AD=8,则 B,C 两点间的球面距离是 15.若 (1 ?
5



2 ) ? a ? b 2 ( a , b 是 有 理 数 ), 则 a ? b =
x a
2 2

16.若 P 是双曲线 C 1 :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 和圆 C 2 : x ? y
2

2

? a ? b 的一个交点,且
2 2

2 ? P F1 F2 ? ? P F 2 F1 , 其 中 F1 , 2 是双曲线 C1 的两个焦点, F 则双曲线 C1 的离心率为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) ? 2 x , x ? [0, ? ] 设函数 f ( x ) ? sin ( x ? ) ? 2 sin
6 2

(I)求 f ( x ) 的值域; (II)记 ? A B C 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B ) ? 1, b ? 1, c ?
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3 ,求

a 的值。 18. (本小题满分 10 分) 由于近几年民用车现增长过快,造成交通拥堵现象日益严重,现有 A、B、C 三辆 车从同一地点同时出发,开往甲、乙、丙三地,已知 A、B、C 这三辆车在驶往目的地 的过程中,出现堵车的概率依次为 ,
1 1 1 , , 且每辆车是否被堵互不影响。 3 4 3

(I)求这三辆车恰有一辆车被堵的概率; (II)求这三辆车至少有两辆车被堵的概率。 19. (本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,点 D 是棱 AB 的中点,BC=1, A A1 ? (I)求证: B C 1 / / 平 面 A1 D C ; (II)求二面角 D—A1C—A 的大小。
3。

20. (本小题满分 14 分) 设 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 是函数 f ( x ) ? a x ? b x ? a x ( a ? 0 ) 的两个极值点。
3 2 2

(Ⅰ)若 x1 ? ? 1, x 2 ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 | x1 | ? | x 2 |? 2 2 , 求 b 的最大值; (Ⅲ)设函数 g ( x ) ? f ?( x ) ? a ( x ? x1 ), x ? ( x1 , x 2 ), 当 x 2 ? a 时,求证:
| g ( x ) |? 1 12 a (3 a ? 2 ) .
2

21. (本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列 { a n }中 ,已 知 a 2 ? 2 a1 ? 3, 且 3 a 2 , a 4 , 5 a 3 成等差数列。 (I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)设 b n ? lo g 3 a n , 求 数 列 { a n b n }的 前 n 项 和 S n . 22. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y ? ? 2 的距离小 1`。 (I)求曲线 C 的方程; (II)过点 P(2,2)的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 A P ? ? P B ,I 当 ? A O B 的 面积为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求 ? 的值。
??? ? ??? ?

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一、选择题 1—5 ABBAD 二、填空题 13. 2
n ?1

6—10 DCBDD
4? 3

11—12 AD

?3

14.

15.70

16. 3 ? 1

三、解答题 17.解: (1) f ( x ) ? sin ( x ?
?
6 3 2 1 2 ) ? 2 sin
2

x 2

?

3 2

sin x ?

1 2

co s x ? 1 ? co s x

?

sin x ?

co s x ? 1 ? sin ( x ?

?
6

) ? 1.

………………3 分

? x ? [0, ? ],? x ? ? f ( x) ? [ 1 2 , 2]

?
6

? [?

? 5?
, 6 6

]

………………5 分
?
6
2 2 2

(II)由 f ( B ) ? 1, 得 sin ( B ?

) ? 0, 故 B ?

?
6

………………6 分

解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2 a co s B , 得 a ? 3 a ? 2 ? 0, 解 得 a ? 1或 2
2

………………10 分
,

解法二:由正弦定理
3 2

b sin B

?
2? 3

c sin C

得 sin C ? 当C ? 当C ?
?

,C ?

?
3



………………6 分
b ?c
2

时, A ?

?
2

,从 而 a ?

2

? 2

………………8 分

3 2? 3

时, A ?

?
6

,又B ?

?
6

,从 而 a ? b ? 1

故 a 的值为 1 或 2 18.解: (I)所求概率为
p1 ? 1 3 ? (1 ? 1 4 ) ? (1 ? 1 3 ) ? (1 ? 1 3 )? 1 4 ? (1 ? 1 3 ) ? (1 ? 1 3 ) ? (1 ? 1 4 )? 1 3 ? 4 9

…………6

分 (II)恰好有两辆车被堵的概率为
P2 ? 1 3 ? 1 4 ? (1 ? 1 3 )? 1 3 ? (1 ? 1 4 1 3 )? 1 3 ? 1 4 ? 1 3 ? (1 ? 1 3 ? 1 36 )? ? 4 ? 1 3 ? 7 36

…………8 分

恰好有三辆车被堵的概率为 p 3 ? 故所求概率 p ? p 2 ? p 3 ?
2 9

………………12 分

19. (1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 G,连结 DG,
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在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 四边形 ACC1A1 是平行四边形, ∴AC=GC1, ∵AD=DB, ∴DG//BC1 ………………2 分 ∵DG ? 平面 A1DC,BC1 ? 平面 A1DC, ∴BC1//平面 A1DC ………………4 分 (II)解法一:过 D 作 DE⊥AC 交 AC 于 E,过点 D 作 DF⊥A1C 交 A1C 于 F, 连结 EF。 ∵平面 ABC⊥面平 ACC1A1,DE ? 平面 ABC, 平面 ABC∩平面 ACC1A1=AC, ∴DE⊥平 ACC1A1, ∴EF 是 DF 在平面 ACC1A1 内的射影。 ∴EF⊥A1C, ∴∠DFE 是二面角 D—A1C—A 的平面角,………………8 分 在直角三角形 ADC 中, D E ?
A1 D ? D C A1 C
AD ? DC AC ? 3 4

同理可求: D F ?

?

39 8

,? sin D F E ?

DE DF

?

2 13 13

.

? ? D F E ? (0,

?
2

),? ? D F E ? arcsin

2 13 13

.

………………12 分

解法二:过点 A 作 AO⊥BC 交 BC 于 O,过点 O 作 OE⊥BC 交 B1C1 于 E。 因为平面 ABC⊥平面 CBB1C1 所以 AO⊥平面 CBB1C1,分别以 CB、OE、OA 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系,如图所示,因为 BC、1,AA1= 3 , △ABC 是等边三角形,所以 O 为 BC 的中点,则
O (0, 0, 0 ), A (0, 0, 3 2 ), C ( 1 2 , 0, 0 ), A1 (0, 3, 3 2 ), D ( 1 4 , 0, 3 4 ), C 1 ( ? 1 2 , 3,0)

………………6 分 设平面 A1DC 的法向量为 n ? ( x , y , z ),
???? ? n ? C D ? 0, ? 则 ? ???? ? ? n ? A1 C ? 0 . ?

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???? ? 3 3 ???? 1 3 ? C D ? ( , 0, ), A1 C ? ( ? , ? 3 , ? ), 4 4 2 2 ?3 3 z ? 0, ? x? ?4 4 ?? 3 ? 1 ? x ? 3y ? z ? 0. ? ? 2 2

取x ?

3 , 得 平 面 A1 D C 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( 3 ,1, ? 3).

………………8 分

可求平面 ACA1 的一个法向量为 n1 ? ( 3 , 0, ? 1) 设二面角 D—A1C—A 的大小为 ? , 则 co s ? ? co s ? n , n1 ? ?
6 13 ? 2
3 13 13

………………10 分

?

3 13 13

.

? ? ? (0, ? ),? ? ? arcco s

.

………………12 分

20.解: (Ⅰ)? f ( x ) ? a x ? b x ? a x ( a ? 0 )
3 2 2 2 2 ? f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? a ( a ? 0 ) …………1 分

? f ? ( ? 1) ? 0 ,? 依题意有 ? ? f ?( 2 ) ? 0

?3a ? 2b ? a 2 ? 0 ? (a ? 0) ? 2 ?1 2 a ? 4 b ? a ? 0 ?
3 2

………………3 分

解得 ?

?a ? 6 ?b ? ?9

,? f ( x ) ? 6 x ? 9 x ? 3 6 x …………5 分

2 2 (Ⅱ)? f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? a ( a ? 0 )

依题意, x1 , x 2 是方程 f ? ( x ) ? 0 的两个根,且 | x1 | ? | x 2 |? 2 2
? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x 1 x 2 ? 2 | x 1 x 2 | ? 8 .
2

? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 2 | x1 x 2 |? 8
2

? (?
2

2b 3a

) ? 2 ? (?
2

a 3

)?2|?

a 3

| ? 8,? b

2

? 3 a (6 ? a ). …………7 分
2

? b ? 0,? 0 ? a ? 6 .
2

…………8 分
2

设 p ( a ) ? 3 a (6 ? a ), 则 p ?( a ) ? ? 9 a ? 36 a . 由 p ? ( a ) ? 0 得 0 ? a ? 4,由 p ?( a ) ? 0 得 a ? 4.

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即:函数 p ( a ) 在区间 (0, 4 ] 上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,…………10 分
? 当 a ? 4 时, p ( a ) 有极大值为 96,

? p ( a ) 在 (0, 6] 上的最大值是 96,
? b 的最大值为 4 6 . …………12 分

21.解: (1)设 { a n }公 比 为 q ,由 题 意 得 q ? 0 . 且?
? a 1 ( q ? 2 ) ? 3, 即? 2 ? 3 a 2 ? 5 a 3 ? 2 a 4 , ? 2 q ? 5 q ? 3 ? 0, ? a 2 ? 2 a 1 ? 3,

………………2 分

6 ? a ? ? , ? 1 ? a1 ? 3, ? 5 解之得 ? 或? ? q ? 3, ? q ? ? 1 ( 舍 去 ), ? ? 2

………………4 分

所以数列 { a n }的 通 项 公 式 为 a n ? 3 ? 3

n ?1

? 3 ,n ? N .
n * n

…………6 分 ………………8 分

(2)由(1)可得 b n ? log 3 a n ? n , 所 以 a n b n ? n ? 3 . 所以 S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 ,
2 3 n

所以 3 S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
2 3 4 2 3

n ?1

,
n ?1

两式相减得, 2 S n ? ? 3 ? (3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? n ? 3
n

………………10 分

? ? (3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? n ? 3
2 3 n

n ?1 n ?1

? ?

3(1 ? 3 )
n

1? 3

? n ?3

n ?1

?

3 ? ( 2 n ? 1) ? 3 2

所以数列 { a n b n }的 前 n 项 和 为 S n ?

3 ? ( 2 n ? 1) ? 3 4

n ?1

………………12 分

22.解: (I)点 M 到点 F (0,1) 的距离比它到直线 l : y ? ? 2 的距离小 1。 ∴点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F (0,1) 的距离与它到直线 l ? : y ? ? 1 的距离相等 ∴点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l ? 为准线的抛物线, 所以曲线 C 的方程为 x ? 4 y
2

………………2 分

(II)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 即 y ? kx ? (2 ? 2 k ) ,
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代入 x ? 4 y 得 x ? 4 kx ? 8( k ? 1) ? 0
2 2 2

(*)

………………3 分

? ? 16( k ? 2 k ? 2) ? 0 对 k ? R 恒成立,所以,直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交

点 设交点 A,B 的坐标分别为 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? 8( k ? 1)
?| A B |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

?

(1 ? k ) [( x 2 ? x1 ) ? 4 x 2 x1 ] ? 4 (1 ? k )( k
2 2 2

2

? 2k ? 2)

……5 分 点 0 到直线 m 的距离 d ?
1 2
4 2

| 2 ? 2k | 1? k
2

…………6 分

? S ?ABO ?

| A B | ?d ? 4 | k ? 1 |

k

2

? 2 k ? 2 ? 4 ( k ? 1) ? ( k ? 1)
4

2

? S ? A B O ? 4 2 ,? 4 ( k ? 1) ? ( k ? 1)
4 2 2

? 4 2,
2

? ( k ? 1) ? ( k ? 1) ? 2 ? 0, ( k ? 1) ? 1或 ( k ? 1) ? ? 2 (舍去)

? k ? 0 或 k ? 2 …………8 分

当 k ? 0时 ,方程(*)的解为 ? 2 2 若 x1 ? 2 2 , x 2 ? ? 2 2 , 则 ? ?
2?2 2 ?2 2 ? 2
2 ? ?2 2 2 2 ?2

? 3 ? 2 2 …………9 分

若 x1 ? ? 2 2 , x 2 ? 2 2 , 则 ? ?

?

?

? 3 ? 2 2 …………10 分

当 k ? 2 ,方程(*)的解为 4 ? 2 2 若 x1 ? 4 ? 2 2 , x 2 ? 4 ? 2 2 ,
2? 4?2 2 4?2 2 ?2

则? ?

?

?

? 3 ? 2 2 …………11 分

若 x1 ? 4 ? 2 2 , x 2 ? 4 ? 2 2 ,
2? 4?2 2 4?2 2 ?2

则? ?

?

?

? 3 ? 2 2 …………12 分

所以, ? ? 3 ? 2 2 或 ? ? 3 ? 2 2

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