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【课堂新坐标】2017届高三理科数学通用版二轮复习课件第1部分专题2突破点5数列的通项与求和

时间:2017-01-04


2017版高三二轮复习与策略
核 心 知 识 · 聚 焦

突破点 5 数列的通项与求和
热 点 题 型 · 探 究

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

提炼 1 an 和 Sn 的关系 Sn 为其前 n 项和, 若 an 为数列{an}的通项, 则有
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

在使

用这个关系式时,一定要注意区分 n=1,n≥2 两种情况,求出结果后,判断这两 种情况能否整合在一起.

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提炼 2 求数列通项常用的方法 (1)定义法: ①形如 an+1=an+c(c 为常数), 直接利用定义判断其为等差数列. ② 形如 an+1=kan(k 为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如 an+1=an+f(n),利用 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an- an-1),求其通项公式. an + 1 a2 a3 an (3)叠乘法:形如 an =f(n)≠0,利用 an=a1· …· a1· a2 · an-1,求其通项公式. (4)待定系数法:形如 an+1=pan+q(其中 p,q 均为常数,pq(p-1)≠0),先用 q 待定系数法把原递推公式转化为 an+1-t=p(an-t),其中 t=1-p,再转化为等比 数列求解.

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(5)构造法:形如 an+1=pan+qn(其中 p,q 均为常数,pq(p-1)≠0),先在原递
? an+1 p an 1 an? + n+ ,构造新数列{b }?其中b = n?,得 b 推公式两边同除以 qn 1,得qn+1=q· n n ? q? n +1 q q

p 1 bn+q,接下来用待定系数法求解. =q· (6)取对数法:形如 an+1=pam n (p>0,an>0),先在原递推公式两边同时取对数, 再利用待定系数法求解.

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提炼 3 数列求和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减 法是常用的两种方法.

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回访 1 an 与 Sn 的关系 1.(2015· 全国卷Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1, 则 Sn=__________.

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1 -n [∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 又 Sn≠0,∴Sn-Sn+1=1,即Sn+1-Sn=-1.
?1? 1 ? ? 又S1=-1,∴?Sn?是首项为-1,公差为-1 的等差数列,

1 1 ∴Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,即 Sn=-n.]

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2 1 2.(2013· 全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+3,则{an}的通项公式是 an=________.
(-2)
n-1

2 1 [当 n=1 时,S1=3a1+3,∴a1=1.

1? 2 2 1 ?2 ? a + 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3an+3-? - ?3 n 1 3?=3(an-an-1), an ∴an=-2an-1,即an-1=-2, ∴{an}是以 1 为首项的等比数列,其公比为-2,
- - ∴an=1×(-2)n 1,即 an=(-2)n 1.]

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回访 2 数列求和 3.(2015· 全国卷Ⅰ改编)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2 n+2an=4Sn +3,则 (1){an}的通项公式为__________; 1 (2)设 bn=anan+1,则数列{bn}的前 n 项和为__________.

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n (2)3?2n+3?

(1)an=2n+1

[(1)由 a2 n+2an=4Sn+3,①

可知 a2 n+1+2an+1=4Sn+1+3.②
2 a ②-①,得 a2 - + n 1 n+2(an+1-an)=4an+1, 2 2 即 2(an+1+an)=an +1-an=(an+1+an)(an+1-an).

由 an>0,得 an+1-an=2. 又 a2 1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.

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(2)由 an=2n+1 可知 1 1 bn=anan+1=?2n+1??2n+3?= 1 ? 1? ? 1 ? ? 2? ?2n+1-2n+3?. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn=
? 1 ? 1 ? 1 1? ?1 1? 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? ??3-5?+?5-7?+…+?2n+1-2n+3??

n =3?2n+3?.]

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4.(2012· 全国卷)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为 ________.
1 830 [∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15 -a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1, a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2 +…+a60=(a1+a2+a3 +a4)+(a5 +a6+a7+a8)+…+ (a57 +a58 +a59 +a60)=10+26+42+…+234 15×?10+234? = =1 830.] 2

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热点题型 1 数列中的 an 与 Sn 的关系 数列中的 an 与 Sn 的关系 题型分析: 以数列中 an 与 Sn 间的递推关系为载体, 考查数列通项公式的求法, 以及推理论证的能力. 2an 数列{an}中,a1=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 anSn-S2 = n 1(n≥2).求数列{an}的通项公式. 【导学号:85952024】

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2an 由已知,当 n≥2 时,anSn-S2 =1, n

[解]

2?Sn-Sn-1? 所以?Sn-Sn-1?Sn-S2 =1,2 分 n 2?Sn-Sn-1? 即 -Sn-1Sn =1, 1 1 1 所以Sn-Sn-1=2.4 分 又 S1=a1=1,

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?1? ? ? 所以数列?Sn?是首项为

1 1,公差为2的等差数列,6 分

n+1 1 1 所以Sn=1+2(n-1)= 2 , 2 即 Sn=n+1.8 分 2 2 2 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n+1-n=-n?n+1?.10 分 ?1,n=1, ? 2 12 分 因此 an=? ? n 2. ?-n?n+1?, ≥

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给出 Sn 与 an 的递推关系,求 an,常用思路:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an. 提醒:在利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式时,务必验证 n=1 时的情形.

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[变式训练 1]

(1)(2016· 合肥三模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-

2n ,则 Sn=__________. (2)已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 2Sn+2=3an(n∈N*), 则 an=__________.

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(1)n· 2n(n∈N*) (2)2×3n-1(n∈N*) [(1)由 Sn=2an-2n 得当 n=1 时,S1=a1
?Sn? Sn Sn-1 ? ? =2;当 n≥2 时,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即2n-2n-1=1,所以数列?2n?是首项为 1,

Sn 2n(n≥2),当 n=1 时,也符合上式,所以 公差为 1 的等差数列,则2n=n,Sn=n· Sn=n· 2n(n∈N*). (2)因为 2Sn+2=3an,① 所以 2Sn+1+2=3an+1,②

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an+1 由②-①,得 2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,所以 2an+1=3an+1-3an,即 an =3. 当 n=1 时,2+2S1=3a1,所以 a1=2,所以数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列,
n-1 a 2 3 (n∈N*).] 所以 n= ×

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热点题型 2 裂项相消法求和 题型分析:裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后,某些项可以相
? ? 1 ? ? ? ? 互抵消从而求和的方法, 主要适用于? ?anan+1? ? ? ? 1 ? ? ? ? 或? ?anan+2? ?

?其中{an}为等差数列?等形

式的数列求和.

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已知等差数列{an}的公差 d≠0, 它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成等比数列, (1)求数列{an}的通项公式;
?1? ? (2)若数列? ?Sn?的前

1 3 n 项和为 Tn,求证:6≤Tn<8.

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[解]

(1)由已知及等差数列的性质得 S5=5a3,∴a3=14,1 分

2 a22.2 分 又 a2,a7,a22 成等比数列,即 a7 =a2·

由(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)且 d≠0, 3 解得 a1=2d,∴a1=6,d=4.4 分 故数列{an}的通项公式为 an=4n+2,n∈N*.6 分

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n?a1+an? 1 1 ? 1 1 1? ? ? 2 ? (2)证明:由(1)得 Sn= =2n +4n,Sn=2n2+4n=4? 2 ?n-n+2?,8 分 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=41-3+2-4+…+n-n+2 1 ? 3 1? ? 1 ? ? =8-4? ?n+1+n+2?.10 分 3 1?1 1? 1 ? + 又 Tn≥T1=8-4? ?2 3?=6, 1 3 所以6≤Tn<8.12 分

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裂项相消法的基本思想就是把通项 an 分拆成 an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形 式,常见的裂项方式有: 1 ? 1 1? ?1 ? ? (1)n?n+k?=k? ?n-n+k?; 1 ? 1 1? ? 1 ? ? (2)?2n-1??2n+1?=2? ?2n-1-2n+1?; 1 (3) n+ n+k=k( n+k- n). 提醒:在裂项变形时,务必注意裂项前的系数. 1

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[变式训练 2] =8.

(名师押题)已知数列{an}是递增的等比数列, a2a3 且 a1+a4=9,

(1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn=SnSn+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2017版高三二轮复习与策略 [解] (1)由题设知 a1· a4=a2· a3=8,2 分

? ?a1=1, a1+a4=9,可得? ? ?a4=8 ? ?a1=8, ? 或? ?a4=1.

(舍去)4 分

- - 由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn 1=2n 1.6 分

a1?1-qn? (2)Sn= 1-q =2n-1.8 分 an+1 Sn+1-Sn 1 1 又 bn=SnSn+1= SnSn+1 =Sn-Sn+1,10 分 所以
?1 ?1 1 ? 1? ?1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? Tn=b1+b2+…+bn=?S1-S2?+?S2-S3?+…+? ?Sn-Sn+1?=S1-Sn+1=1-

1 2n+1-1.12 分

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热点题型 3 错位相减法求和 题型分析:限于数列解答题的位置较为靠前,加上错位相减法的运算量相对 较大,故在近 5 年中仅有 1 年对该命题点作了考查,但其仍是命题的热点之一, 务必加强训练. 1 已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N ),b1+2b2
*

1 1 +3b3+…+nbn=bn+1-1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

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(1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(n∈N*).2 分 由题意知: 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2.3 分 1 当 n≥2 时,nbn=bn+1-bn.4 分 bn+1 bn 整理得n+1= n ,所以 bn=n(n∈N*).6 分 [解] (2)由(1)知 anbn=n· 2n, 22+3· 23+…+n· 2n, 因此 Tn=2+2· 2Tn=22+2· 23+3· 24+…+n· 2n+1,8 分 2n+1.9 分 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n· + 故 Tn=(n-1)2n 1+2(n∈N*).12 分

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运用错位相减法求和应注意:一是判断模型,即判断数列{an},{bn}中一个为 等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,一般先乘以公比,再把前 n 项和退 后一个位置来书写,这样避免两式相减时看错列;三是相减,相减时一定要注意 式中最后一项的符号,考生常在此步出错,一定要细心. 提醒:为保证结果正确,可对得到的和取 n=1,2 进行验证.

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[变式训练 3]

已知在公比大于 1 的等比数列{an}中,a2,a4 是函数 f(x)=(x

-2)(x-8)的两个零点. (1)求数列{an }的通项公式; (2)求数列{2nan}的前 n 项和 Sn.

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[解] (1)因为 a2,a4 是函数 f(x)=(x-2)(x-8)的两个零点,且等比数列{an}

的公比 q 大于 1,所以 a2=2,a4=8,2 分
- 所以 q=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2n 1(n∈N*).6 分

(2)由(1)知 2nan=n×2n ,所以 Sn=1×2+2×22+…+n×2n,①7 分 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②8 分 2-2n×2 + + 由①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n 1= 1-2 -n×2n 1,11 分
+ 所以 Sn=2+(n-1)×2n 1(n∈N*).12 分


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